Номер 244, страница 309 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 244, страница 309.

Условие.

244. В конус, радиус основания которого $R$ и высота $H$, требуется вписать цилиндр, имеющий наибольшую площадь полной поверхности. Найдите радиус цилиндра.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота. В конус вписан цилиндр с радиусом основания $r$ и высотой $h$, причем оси конуса и цилиндра совпадают.

Для нахождения связи между размерами цилиндра ($r$, $h$) и конуса ($R$, $H$) рассмотрим их осевое сечение. Сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник с высотой $H$ и основанием $2R$. Сечение вписанного цилиндра — это прямоугольник высотой $h$ и основанием $2r$.

Из подобия прямоугольных треугольников в осевом сечении (большого, образованного высотой и радиусом конуса, и малого, находящегося над цилиндром) следует соотношение:

$$ \frac{H - h}{r} = \frac{H}{R} $$

Из этого соотношения выразим высоту цилиндра $h$ через его радиус $r$:

$$ H - h = \frac{rH}{R} $$$$ h = H - \frac{rH}{R} = H \left(1 - \frac{r}{R}\right) $$

Радиус вписанного цилиндра $r$ может принимать значения в интервале $0 < r < R$.

Площадь полной поверхности цилиндра $S$ складывается из площади боковой поверхности и площадей двух оснований:

$$ S = 2\pi r h + 2\pi r^2 $$

Чтобы найти наибольшее значение площади, выразим ее как функцию одной переменной $r$, подставив найденное выражение для $h$:

$$ S(r) = 2\pi r \left(H \left(1 - \frac{r}{R}\right)\right) + 2\pi r^2 $$$$ S(r) = 2\pi \left(rH - \frac{H}{R}r^2 + r^2\right) $$$$ S(r) = 2\pi \left( \left(1 - \frac{H}{R}\right)r^2 + Hr \right) $$

Теперь необходимо найти максимум функции $S(r)$ на интервале $r \in (0, R)$. Функция $S(r)$ является квадратичной относительно $r$. Ее поведение (направление ветвей параболы) зависит от знака коэффициента при $r^2$, то есть от выражения $1 - \frac{H}{R}$.

Найдем производную функции $S(r)$ по $r$ для определения точек экстремума:

$$ S'(r) = \frac{d}{dr} S(r) = 2\pi \left( 2\left(1 - \frac{H}{R}\right)r + H \right) $$

Приравняем производную к нулю:

$$ 2\left(1 - \frac{H}{R}\right)r + H = 0 $$$$ 2\left(\frac{R-H}{R}\right)r = -H $$

Отсюда находим критическую точку:

$$ r = \frac{-HR}{2(R-H)} = \frac{HR}{2(H-R)} $$

Проанализируем полученный результат и исследуем поведение функции $S(r)$ в зависимости от соотношения $H$ и $R$.

Случай 1: $H > 2R$

В этом случае $H > R$, поэтому коэффициент при $r^2$ в функции $S(r)$, равный $1 - H/R$, отрицателен. Это означает, что $S(r)$ является параболой, ветви которой направлены вниз. Следовательно, в своей вершине функция имеет максимум. Проверим, находится ли абсцисса вершины $r = \frac{HR}{2(H-R)}$ в интервале $(0, R)$.

Поскольку $H > R > 0$, то $H-R > 0$, и, значит, $r > 0$.Проверим второе условие, $r < R$:

$$ \frac{HR}{2(H-R)} < R $$

Так как $R>0$, можно разделить на $R$:

$$ \frac{H}{2(H-R)} < 1 $$

Так как $H-R>0$, можно умножить на $2(H-R)$:

$$ H < 2(H-R) \Rightarrow H < 2H - 2R \Rightarrow 2R < H $$

Это условие совпадает с условием, рассматриваемым в данном случае. Таким образом, если $H > 2R$, то максимум площади полной поверхности достигается при радиусе $r = \frac{HR}{2(H-R)}$.

Случай 2: $H \le 2R$

Этот случай можно разделить на три подслучая: $R < H \le 2R$, $H=R$ и $H < R$.

• Если $R < H \le 2R$, то $1 - H/R < 0$, и $S(r)$ — парабола с ветвями вниз. Однако ее вершина $r = \frac{HR}{2(H-R)}$ находится в точке $r \ge R$. Это означает, что на всем интервале $(0, R)$ функция $S(r)$ монотонно возрастает.
• Если $H = R$, то коэффициент при $r^2$ равен нулю, и функция $S(r) = 2\pi H r$ является линейной и возрастающей на $(0, R)$.
• Если $H < R$, то коэффициент при $r^2$ положителен, и $S(r)$ — парабола с ветвями вверх, которая возрастает для всех положительных $r$.

Во всех этих подслучаях, когда $H \le 2R$, функция $S(r)$ монотонно возрастает на интервале $(0, R)$. Это означает, что наибольшее значение не достигается внутри интервала. Площадь поверхности стремится к своему максимуму, когда $r \to R$, но при этом высота цилиндра $h \to 0$, и он вырождается в плоский диск. Следовательно, не существует вписанного (невырожденного) цилиндра, который имеет наибольшую площадь полной поверхности.

Поскольку в задаче требуется найти радиус цилиндра, это подразумевает существование такого решения. Решение существует только при выполнении условия из первого случая.

Ответ: Если высота конуса $H$ больше удвоенного радиуса его основания $R$ (то есть $H > 2R$), то радиус вписанного цилиндра с наибольшей площадью полной поверхности равен $r = \frac{HR}{2(H-R)}$. Если $H \le 2R$, то цилиндра с наибольшей площадью полной поверхности не существует (площадь поверхности монотонно возрастает по мере приближения радиуса цилиндра $r$ к $R$).