Номер 238, страница 309 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 238, страница 309.

Условие.

238. Сумма длин диагоналей параллелограмма равна 12 см. Найдите наименьшее значение суммы квадратов всех его сторон.

Решение 1.

Решение 5.

238.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а его диагонали — $d_1$ и $d_2$. Сумма квадратов всех его сторон равна $S = a^2 + b^2 + a^2 + b^2 = 2(a^2 + b^2)$.

Воспользуемся свойством параллелограмма, согласно которому сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. Это можно записать в виде формулы: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$.

Таким образом, задача сводится к нахождению наименьшего значения выражения $d_1^2 + d_2^2$ при заданном условии.

По условию задачи, сумма длин диагоналей равна 12 см: $d_1 + d_2 = 12$.

Выразим одну диагональ через другую: $d_2 = 12 - d_1$. Подставим это выражение в сумму квадратов, которую необходимо минимизировать:

$F(d_1) = d_1^2 + (12 - d_1)^2$

Раскроем скобки:

$F(d_1) = d_1^2 + 144 - 24d_1 + d_1^2 = 2d_1^2 - 24d_1 + 144$.

Мы получили квадратичную функцию $F(d_1)$. Её график — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $d_1^2$ (равный 2) положителен. Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Абсцисса вершины параболы $x_0$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае переменная — $d_1$, а коэффициенты $a=2$ и $b=-24$.

$d_{1, \text{вершина}} = -\frac{-24}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$.

Следовательно, наименьшее значение суммы квадратов диагоналей достигается при $d_1 = 6$ см. Тогда вторая диагональ $d_2 = 12 - 6 = 6$ см.

Вычислим это наименьшее значение:

$F_{min} = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$.

Поскольку сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей, то искомое наименьшее значение суммы квадратов всех сторон параллелограмма также равно 72.

Ответ: 72 см².