Номер 235, страница 309 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения - номер 235, страница 309.

Условие.

235. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (если они существуют) на данном промежутке:

а) $f(x) = 18x^2 + 8x^3 - 3x^4, [1; 3];$

б) $f(x) = 2 \cos x - \cos 2x, [0; \pi];$

в) $f(x) = \frac{2}{x} + x^2, [\frac{1}{2}; 1];$

г) $f(x) = \sin x - x, [-\pi; \pi].$

Решение 1.

Решение 5.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом промежутке (отрезке) используется следующий алгоритм:

1. Найти производную функции $f'(x)$.
2. Найти стационарные и критические точки функции (решив уравнение $f'(x)=0$ и найдя точки, где производная не существует).
3. Выбрать те из найденных точек, которые принадлежат данному отрезку.
4. Вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка.
5. Среди полученных значений найти наибольшее и наименьшее.

а)

Дана функция $f(x) = 18x^2 + 8x^3 - 3x^4$ на отрезке $[1; 3]$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (18x^2 + 8x^3 - 3x^4)' = 36x + 24x^2 - 12x^3$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$36x + 24x^2 - 12x^3 = 0$

$-12x(x^2 - 2x - 3) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$, и корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$, которыми являются $x_2 = 3$ и $x_3 = -1$.

3. Из всех критических точек ($ -1, 0, 3$) отрезку $[1; 3]$ принадлежит только точка $x=3$.

4. Вычисляем значения функции на концах отрезка $x=1$, $x=3$ (точка $x=3$ является и концом отрезка, и критической точкой):

$f(1) = 18(1)^2 + 8(1)^3 - 3(1)^4 = 18 + 8 - 3 = 23$.

$f(3) = 18(3)^2 + 8(3)^3 - 3(3)^4 = 18 \cdot 9 + 8 \cdot 27 - 3 \cdot 81 = 162 + 216 - 243 = 135$.

5. Сравнивая значения $f(1)=23$ и $f(3)=135$, заключаем, что наименьшее значение функции равно $23$, а наибольшее равно $135$.

Ответ: наименьшее значение $23$, наибольшее значение $135$.

б)

Дана функция $f(x) = 2 \cos x - \cos 2x$ на отрезке $[0; \pi]$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (2 \cos x - \cos 2x)' = -2 \sin x - (-\sin 2x \cdot 2) = -2 \sin x + 2 \sin 2x$.

2. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$-2 \sin x + 2 \sin 2x = 0$

$\sin 2x - \sin x = 0$

$2 \sin x \cos x - \sin x = 0$

$\sin x (2 \cos x - 1) = 0$

Отсюда либо $\sin x = 0$, либо $2 \cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2}$.

3. На отрезке $[0; \pi]$ уравнение $\sin x = 0$ имеет корни $x=0$ и $x=\pi$. Уравнение $\cos x = \frac{1}{2}$ имеет корень $x=\frac{\pi}{3}$.

4. Вычисляем значения функции в точках $x=0$, $x=\frac{\pi}{3}$, $x=\pi$:

$f(0) = 2 \cos 0 - \cos(0) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$.

$f(\frac{\pi}{3}) = 2 \cos(\frac{\pi}{3}) - \cos(2\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

$f(\pi) = 2 \cos \pi - \cos(2\pi) = 2(-1) - 1 = -3$.

5. Сравнивая значения $1$, $\frac{3}{2}$ и $-3$, находим, что наименьшее значение функции равно $-3$, а наибольшее равно $\frac{3}{2}$.

Ответ: наименьшее значение $-3$, наибольшее значение $\frac{3}{2}$.

в)

Дана функция $f(x) = \frac{2}{x} + x^2$ на отрезке $[\frac{1}{2}; 1]$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (\frac{2}{x} + x^2)' = -\frac{2}{x^2} + 2x$.

2. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$-\frac{2}{x^2} + 2x = 0 \Rightarrow 2x = \frac{2}{x^2} \Rightarrow x^3 = 1 \Rightarrow x = 1$.

3. Критическая точка $x=1$ принадлежит отрезку $[\frac{1}{2}; 1]$ и является его правым концом.

4. Вычисляем значения функции на концах отрезка $x=\frac{1}{2}$ и $x=1$:

$f(\frac{1}{2}) = \frac{2}{1/2} + (\frac{1}{2})^2 = 4 + \frac{1}{4} = \frac{17}{4} = 4.25$.

$f(1) = \frac{2}{1} + 1^2 = 2 + 1 = 3$.

5. Сравнивая значения $\frac{17}{4}$ и $3$, видим, что наименьшее значение функции равно $3$, а наибольшее равно $\frac{17}{4}$.

Ответ: наименьшее значение $3$, наибольшее значение $\frac{17}{4}$.

г)

Дана функция $f(x) = \sin x - x$ на отрезке $[-\pi; \pi]$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (\sin x - x)' = \cos x - 1$.

2. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = 1$.

3. На отрезке $[-\pi; \pi]$ это уравнение имеет единственный корень $x=0$.

4. Вычисляем значения функции в точке $x=0$ и на концах отрезка $x=-\pi$ и $x=\pi$:

$f(-\pi) = \sin(-\pi) - (-\pi) = 0 + \pi = \pi$.

$f(0) = \sin(0) - 0 = 0$.

$f(\pi) = \sin(\pi) - \pi = 0 - \pi = -\pi$.

5. Сравнивая значения $\pi$, $0$ и $-\pi$, находим, что наименьшее значение функции равно $-\pi$, а наибольшее равно $\pi$.

Ответ: наименьшее значение $-\pi$, наибольшее значение $\pi$.