Номер 229, страница 308 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 229, страница 308.

Условие.

229. Вычислите приближенное значение выражения:

a) $\sqrt{9,009}$;

б) $1,0001^{15}$;

в) $0,999^{-5}$;

г) $\sqrt[3]{8,008}$.

Решение 1.

Решение 5.

Для решения данных задач мы воспользуемся приближенной формулой, основанной на понятии дифференциала функции: $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$, где $x_0$ — точка, близкая к искомому значению, в которой легко вычислить значение функции, $\Delta x$ — малое приращение аргумента, а $f'(x_0)$ — значение производной функции в точке $x_0$.

а) $\sqrt{9.009}$

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x}$. Выберем точку $x_0 = 9$, так как она близка к $9.009$ и корень из нее легко извлекается. Тогда приращение аргумента $\Delta x = 9.009 - 9 = 0.009$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Вычислим значения функции и ее производной в точке $x_0 = 9$:

$f(x_0) = f(9) = \sqrt{9} = 3$.

$f'(x_0) = f'(9) = \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$.

Подставим найденные значения в формулу приближения:

$\sqrt{9.009} \approx f(9) + f'(9) \cdot 0.009 = 3 + \frac{1}{6} \cdot 0.009 = 3 + 0.0015 = 3.0015$.

Ответ: $3.0015$.

б) $1.0001^{15}$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^{15}$. В качестве $x_0$ выберем $1$. Тогда приращение $\Delta x = 1.0001 - 1 = 0.0001$.

Производная функции: $f'(x) = (x^{15})' = 15x^{14}$.

Вычислим значения в точке $x_0 = 1$:

$f(x_0) = f(1) = 1^{15} = 1$.

$f'(x_0) = f'(1) = 15 \cdot 1^{14} = 15$.

Подставим значения в формулу:

$1.0001^{15} \approx f(1) + f'(1) \cdot 0.0001 = 1 + 15 \cdot 0.0001 = 1 + 0.0015 = 1.0015$.

Ответ: $1.0015$.

в) $0.999^{-5}$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^{-5}$. В качестве $x_0$ выберем $1$. Тогда приращение $\Delta x = 0.999 - 1 = -0.001$.

Производная функции: $f'(x) = (x^{-5})' = -5x^{-6}$.

Вычислим значения в точке $x_0 = 1$:

$f(x_0) = f(1) = 1^{-5} = 1$.

$f'(x_0) = f'(1) = -5 \cdot 1^{-6} = -5$.

Подставим значения в формулу:

$0.999^{-5} \approx f(1) + f'(1) \cdot (-0.001) = 1 + (-5) \cdot (-0.001) = 1 + 0.005 = 1.005$.

Ответ: $1.005$.

г) $\sqrt[3]{8.008}$

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}$. Выберем точку $x_0 = 8$, так как кубический корень из $8$ легко вычисляется. Тогда приращение $\Delta x = 8.008 - 8 = 0.008$.

Производная функции: $f'(x) = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Вычислим значения в точке $x_0 = 8$:

$f(x_0) = f(8) = \sqrt[3]{8} = 2$.

$f'(x_0) = f'(8) = \frac{1}{3\sqrt[3]{8^2}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{64}} = \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}$.

Подставим значения в формулу:

$\sqrt[3]{8.008} \approx f(8) + f'(8) \cdot 0.008 = 2 + \frac{1}{12} \cdot 0.008 = 2 + \frac{0.008}{12} = 2 + \frac{8}{12000} = 2 + \frac{1}{1500}$.

Переводя дробь в десятичную форму, получаем $1/1500 = 0.000\overline{6}$.

Следовательно, $\sqrt[3]{8.008} \approx 2 + 0.000\overline{6} = 2.000\overline{6}$.

Ответ: $2.000\overline{6}$.