Номер 223, страница 307 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 223, страница 307.

Условие.

223. Решите уравнение $f'(x) = 0$, если:

а) $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1;$

б) $f(x) = 1.5 \sin 2x - 5 \sin x - x;$

в) $f(x) = - \frac{x^5}{5} + \frac{10x^3}{3} - 9x;$

г) $f(x) = x + \cos 2x.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Дана функция $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$.
Чтобы решить уравнение $f'(x) = 0$, сначала найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.
$f'(x) = (x^4 - 2x^2 + 1)' = 4x^{4-1} - 2 \cdot 2x^{2-1} + 0 = 4x^3 - 4x$.
Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
$4x^3 - 4x = 0$
Вынесем общий множитель $4x$ за скобки:
$4x(x^2 - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
Либо $4x = 0$, откуда $x = 0$.
Либо $x^2 - 1 = 0$, откуда $x^2 = 1$, что дает $x = 1$ и $x = -1$.
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $x = -1; 0; 1$.

б) Дана функция $f(x) = 1,5 \sin 2x - 5 \sin x - x$.
Найдем производную функции, используя правила дифференцирования тригонометрических функций и правило дифференцирования сложной функции $(\sin(u(x)))' = \cos(u(x)) \cdot u'(x)$.
$f'(x) = (1,5 \sin 2x - 5 \sin x - x)' = 1,5 \cdot (\cos 2x) \cdot (2x)' - 5 \cos x - 1 = 1,5 \cdot 2 \cos 2x - 5 \cos x - 1 = 3 \cos 2x - 5 \cos x - 1$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$3 \cos 2x - 5 \cos x - 1 = 0$
Используем формулу двойного угла для косинуса $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$, чтобы привести уравнение к квадратному относительно $\cos x$.
$3(2\cos^2 x - 1) - 5 \cos x - 1 = 0$
$6\cos^2 x - 3 - 5 \cos x - 1 = 0$
$6\cos^2 x - 5 \cos x - 4 = 0$
Сделаем замену $y = \cos x$, где $|y| \le 1$.
$6y^2 - 5y - 4 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-4) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 11}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$.
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 11}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$.
Вернемся к замене. Первый корень $y_1 = \frac{4}{3}$ не подходит, так как $\cos x$ не может быть больше 1.
Рассмотрим второй корень: $\cos x = -\frac{1}{2}$.
Это стандартное тригонометрическое уравнение, решения которого: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем решения.
Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Дана функция $f(x) = -\frac{x^5}{5} + \frac{10x^3}{3} - 9x$.
Найдем производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции:
$f'(x) = (-\frac{1}{5}x^5 + \frac{10}{3}x^3 - 9x)' = -\frac{1}{5} \cdot 5x^4 + \frac{10}{3} \cdot 3x^2 - 9 = -x^4 + 10x^2 - 9$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$-x^4 + 10x^2 - 9 = 0$
Умножим обе части на -1:
$x^4 - 10x^2 + 9 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$ ($y \ge 0$):
$y^2 - 10y + 9 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения $y_1 = 1$ и $y_2 = 9$. Оба корня неотрицательные.
Вернемся к замене:
1) $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
2) $x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.
Уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $x = -3; -1; 1; 3$.

г) Дана функция $f(x) = x + \cos 2x$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (x + \cos 2x)' = 1 - (\sin 2x) \cdot (2x)' = 1 - 2\sin 2x$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$1 - 2\sin 2x = 0$
$2\sin 2x = 1$
$\sin 2x = \frac{1}{2}$
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решения задаются формулой:
$2x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, получаем:
$2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$
Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.