Номер 221, страница 306 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения - номер 221, страница 306.

Условие.

221. a) $f(x) = 2^x + \lg x;$

в) $f(x) = x^2 \cdot 5^{2x};$

б) $f(x) = e^{-3x} + 2 \log_3 2x;$

г) $f(x) = \frac{\ln x}{e^x + e^{-x}}.$

Решение 1.

Решение 5.

а) Чтобы найти производную функции $f(x) = 2^x + \lg x$, мы воспользуемся правилом дифференцирования суммы, согласно которому производная суммы функций равна сумме их производных: $f'(x) = (2^x)' + (\lg x)'$.

1. Найдём производную первого слагаемого, $2^x$. Это показательная функция. Производная функции $a^x$ равна $a^x \ln a$. В нашем случае $a=2$, поэтому $(2^x)' = 2^x \ln 2$.

2. Найдём производную второго слагаемого, $\lg x$. Это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $\lg x = \log_{10} x$. Производная логарифмической функции $\log_a x$ равна $\frac{1}{x \ln a}$. Для десятичного логарифма $a=10$, следовательно, $(\lg x)' = \frac{1}{x \ln 10}$.

3. Сложим полученные производные, чтобы найти производную исходной функции: $f'(x) = 2^x \ln 2 + \frac{1}{x \ln 10}$.

Ответ: $f'(x) = 2^x \ln 2 + \frac{1}{x \ln 10}$

б) Дана функция $f(x) = e^{-3x} + 2 \log_3 2x$. Найдём её производную как сумму производных: $f'(x) = (e^{-3x})' + (2 \log_3 2x)'$.

1. Найдём производную $e^{-3x}$. Это сложная функция. Воспользуемся цепным правилом: $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$. Здесь внешняя функция $g(u) = e^u$, а внутренняя $h(x) = u = -3x$. Производная внешней функции $(e^u)' = e^u$. Производная внутренней функции $(-3x)' = -3$. Таким образом, $(e^{-3x})' = e^{-3x} \cdot (-3) = -3e^{-3x}$.

2. Найдём производную $2 \log_3 2x$. Вынесем константу 2 за знак производной: $2 (\log_3 2x)'$. Это также сложная функция. Внешняя функция $g(u) = \log_3 u$, внутренняя $h(x) = u = 2x$. Производная внешней функции $(\log_3 u)' = \frac{1}{u \ln 3}$. Производная внутренней функции $(2x)' = 2$. По цепному правилу: $(\log_3 2x)' = \frac{1}{2x \ln 3} \cdot 2 = \frac{1}{x \ln 3}$. Умножим на константу 2: $(2 \log_3 2x)' = \frac{2}{x \ln 3}$.

3. Сложим результаты: $f'(x) = -3e^{-3x} + \frac{2}{x \ln 3}$.

Ответ: $f'(x) = -3e^{-3x} + \frac{2}{x \ln 3}$

в) Для нахождения производной функции $f(x) = x^2 \cdot 5^{2x}$ мы используем правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

1. Определим функции $u$ и $v$: $u(x) = x^2$ и $v(x) = 5^{2x}$.

2. Найдём их производные. Производная $u(x)=x^2$ равна $u'(x) = 2x$.

3. Для нахождения производной $v(x) = 5^{2x}$ применим цепное правило. Внешняя функция $g(w) = 5^w$, внутренняя $h(x) = w = 2x$. Производная внешней функции $(5^w)' = 5^w \ln 5$. Производная внутренней функции $(2x)' = 2$. Тогда $v'(x) = (5^{2x})' = 5^{2x} \ln 5 \cdot 2 = 2 \cdot 5^{2x} \ln 5$.

4. Подставим найденные производные в формулу для производной произведения: $f'(x) = (2x) \cdot (5^{2x}) + (x^2) \cdot (2 \cdot 5^{2x} \ln 5)$.

5. Упростим выражение, вынеся за скобки общий множитель $2x \cdot 5^{2x}$: $f'(x) = 2x \cdot 5^{2x} (1 + x \ln 5)$.

Ответ: $f'(x) = 2x \cdot 5^{2x}(1 + x \ln 5)$

г) Чтобы найти производную функции $f(x) = \frac{\ln x}{e^x + e^{-x}}$, мы используем правило дифференцирования частного: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

1. Определим функции $u$ и $v$: $u(x) = \ln x$ и $v(x) = e^x + e^{-x}$.

2. Найдём их производные. Производная $u(x) = \ln x$ равна $u'(x) = \frac{1}{x}$.

3. Производная $v(x) = e^x + e^{-x}$ равна $v'(x) = (e^x)' + (e^{-x})' = e^x - e^{-x}$.

4. Подставим найденные выражения в формулу для производной частного: $f'(x) = \frac{\frac{1}{x}(e^x + e^{-x}) - (\ln x)(e^x - e^{-x})}{(e^x + e^{-x})^2}$.

5. Упростим числитель дроби. Приведём его к общему знаменателю $x$: $\frac{1}{x}(e^x + e^{-x}) - (\ln x)(e^x - e^{-x}) = \frac{e^x + e^{-x} - x (\ln x)(e^x - e^{-x})}{x}$.

6. Подставим упрощённый числитель обратно в выражение для производной: $f'(x) = \frac{e^x + e^{-x} - x(\ln x)(e^x - e^{-x})}{x(e^x + e^{-x})^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{e^x + e^{-x} - x(e^x - e^{-x})\ln x}{x(e^x + e^{-x})^2}$