Номер 227, страница 308 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 227, страница 308.
№227 (с. 308)
Условие. №227 (с. 308)
скриншот условия

227. Функции $u, v, w$ дифференцируемы в точке $x$. Докажите, что $(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'.$
Решение 1. №227 (с. 308)

Решение 5. №227 (с. 308)
Для доказательства формулы производной произведения трех функций $(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'$ воспользуемся известным правилом дифференцирования произведения двух функций. Если функции $f(x)$ и $g(x)$ дифференцируемы в точке $x$, то их произведение также дифференцируемо в этой точке, и его производная вычисляется по формуле:
$(f \cdot g)' = f'g + fg'$
Представим произведение трех функций $u, v, w$ как произведение двух сомножителей, сгруппировав первые две функции. Пусть $f = uv$ и $g = w$. Тогда искомая производная будет производной от произведения $(f \cdot g) = (uv)w$.
Применим правило дифференцирования произведения к выражению $((uv)w)'$:
$( (uv)w )' = (uv)' \cdot w + (uv) \cdot w'$
Теперь нам необходимо найти производную сомножителя $(uv)'$. Для этого мы снова применяем правило дифференцирования произведения для функций $u$ и $v$:
$(uv)' = u'v + uv'$
Подставим полученное выражение для $(uv)'$ в нашу предыдущую формулу:
$( (uv)w )' = (u'v + uv')w + uvw'$
Наконец, раскроем скобки, умножив многочлен $(u'v + uv')$ на $w$:
$(u'v + uv')w = u'vw + uv'w$
Собирая все вместе, мы получаем окончательную формулу:
$(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'$
Таким образом, формула доказана.
Ответ: Утверждение доказывается путем двукратного применения правила дифференцирования произведения двух функций. Сначала мы рассматриваем $uvw$ как $(uv)w$, получая $(uv)'w + (uv)w'$. Затем, раскрывая $(uv)'$ как $u'v + uv'$, и подставляя обратно, получаем $(u'v + uv')w + uvw'$, что после раскрытия скобок дает требуемое выражение $u'vw + uv'w + uvw'$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 227 расположенного на странице 308 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №227 (с. 308), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.