Номер 227, страница 308 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения - номер 227, страница 308.

Условие.

227. Функции $u, v, w$ дифференцируемы в точке $x$. Докажите, что $(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'.$

Решение 1.

Решение 5.

Для доказательства формулы производной произведения трех функций $(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'$ воспользуемся известным правилом дифференцирования произведения двух функций. Если функции $f(x)$ и $g(x)$ дифференцируемы в точке $x$, то их произведение также дифференцируемо в этой точке, и его производная вычисляется по формуле:

$(f \cdot g)' = f'g + fg'$

Представим произведение трех функций $u, v, w$ как произведение двух сомножителей, сгруппировав первые две функции. Пусть $f = uv$ и $g = w$. Тогда искомая производная будет производной от произведения $(f \cdot g) = (uv)w$.

Применим правило дифференцирования произведения к выражению $((uv)w)'$:

$( (uv)w )' = (uv)' \cdot w + (uv) \cdot w'$

Теперь нам необходимо найти производную сомножителя $(uv)'$. Для этого мы снова применяем правило дифференцирования произведения для функций $u$ и $v$:

$(uv)' = u'v + uv'$

Подставим полученное выражение для $(uv)'$ в нашу предыдущую формулу:

$( (uv)w )' = (u'v + uv')w + uvw'$

Наконец, раскроем скобки, умножив многочлен $(u'v + uv')$ на $w$:

$(u'v + uv')w = u'vw + uv'w$

Собирая все вместе, мы получаем окончательную формулу:

$(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Утверждение доказывается путем двукратного применения правила дифференцирования произведения двух функций. Сначала мы рассматриваем $uvw$ как $(uv)w$, получая $(uv)'w + (uv)w'$. Затем, раскрывая $(uv)'$ как $u'v + uv'$, и подставляя обратно, получаем $(u'v + uv')w + uvw'$, что после раскрытия скобок дает требуемое выражение $u'vw + uv'w + uvw'$.