Номер 226, страница 308 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 226, страница 308.

Условие.

226. а) $x_1$ и $x_2$;б) $x_3$ и $x_5$;в) $x_4$ и $x_5$;г) $x_2$ и $x_4$ (рис. 155).

y






x
a $x_1$

$x_2$

0
$x_3$ $x_4$
$x_5$ b

Рис. 155

Решение 1.

Решение 5.

Для решения задачи проанализируем график функции $y = f(x)$, представленный на рисунке. Значение функции $f(x)$ в точке определяется положением графика относительно оси абсцисс (оси $x$): если график выше оси, значение положительно; если ниже — отрицательно; если на оси — равно нулю. Знак производной $f'(x)$ определяется поведением функции: если функция возрастает (график идет вверх слева направо), производная положительна; если убывает (график идет вниз) — отрицательна; в точках экстремума (локальных максимумах и минимумах с гладкой кривой) производная равна нулю.

Поскольку вопрос сформулирован неполно, наиболее вероятная постановка задачи — сравнить значения функции и ее производной в указанных парах точек.

а) $x_1$ и $x_2$;

Сравним значения функции $f(x)$. В точке $x_1$ график расположен выше оси $x$, поэтому $f(x_1) > 0$. В точке $x_2$ график расположен ниже оси $x$, поэтому $f(x_2) < 0$. Так как любое положительное число больше любого отрицательного, то $f(x_1) > f(x_2)$.

Сравним значения производной $f'(x)$. В окрестности точки $x_1$ функция убывает, так как ее график направлен вниз. Следовательно, производная в этой точке отрицательна: $f'(x_1) < 0$. Точка $x_2$ является точкой локального минимума, в которой касательная к графику горизонтальна, поэтому производная равна нулю: $f'(x_2) = 0$. Сравнивая отрицательное число и ноль, получаем $f'(x_1) < f'(x_2)$.

Ответ: $f(x_1) > f(x_2)$ и $f'(x_1) < f'(x_2)$.

б) $x_3$ и $x_5$;

Сравним значения функции $f(x)$. В точке $x_3$ график пересекает ось $x$, значит, значение функции равно нулю: $f(x_3) = 0$. В точке $x_5$ график находится ниже оси $x$, поэтому значение функции отрицательно: $f(x_5) < 0$. Следовательно, $f(x_3) > f(x_5)$.

Сравним значения производной $f'(x)$. В окрестности точки $x_3$ функция возрастает (график идет вверх), поэтому производная положительна: $f'(x_3) > 0$. В окрестности точки $x_5$ функция убывает (график идет вниз), поэтому производная отрицательна: $f'(x_5) < 0$. Сравнивая положительное и отрицательное числа, получаем $f'(x_3) > f'(x_5)$.

Ответ: $f(x_3) > f(x_5)$ и $f'(x_3) > f'(x_5)$.

в) $x_4$ и $x_5$;

Сравним значения функции $f(x)$. В точке $x_4$ график находится выше оси $x$, поэтому $f(x_4) > 0$. В точке $x_5$ график находится ниже оси $x$, поэтому $f(x_5) < 0$. Следовательно, $f(x_4) > f(x_5)$.

Сравним значения производной $f'(x)$. В обеих точках, $x_4$ и $x_5$, функция убывает, поэтому $f'(x_4) < 0$ и $f'(x_5) < 0$. Судя по графику, участок, содержащий эти точки, является отрезком прямой линии. У прямой линии наклон (значение производной) постоянен во всех ее точках. Исходя из этого допущения, $f'(x_4) = f'(x_5)$.

Ответ: $f(x_4) > f(x_5)$ и $f'(x_4) = f'(x_5)$.

г) $x_2$ и $x_4$;

Сравним значения функции $f(x)$. В точке $x_2$ график находится ниже оси $x$, поэтому $f(x_2) < 0$. В точке $x_4$ график находится выше оси $x$, поэтому $f(x_4) > 0$. Следовательно, $f(x_2) < f(x_4)$.

Сравним значения производной $f'(x)$. Точка $x_2$ — это точка локального минимума, где производная равна нулю: $f'(x_2) = 0$. В точке $x_4$ функция убывает, поэтому ее производная отрицательна: $f'(x_4) < 0$. Сравнивая ноль и отрицательное число, получаем $f'(x_2) > f'(x_4)$.

Ответ: $f(x_2) < f(x_4)$ и $f'(x_2) > f'(x_4)$.