Номер 220, страница 306 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 220, страница 306.

Условие.

220. a) $f(x) = \frac{3}{x^3} - \sqrt[5]{x} + \frac{5}{\sqrt[3]{x}};

б) $f(x) = (2 - \sqrt{x}) \operatorname{tg} x;

в) $f(x) = \frac{x^3 - 3x}{1-2x};

г) $f(x) = \frac{\sin x}{1-2 \cos x}.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Чтобы найти производную функции $f(x) = \frac{3}{x^3} - \sqrt[5]{x} + \frac{5}{\sqrt[3]{x}}$, сначала представим ее в виде суммы степенных функций: $f(x) = 3x^{-3} - x^{1/5} + 5x^{-1/3}$.
Применим правило дифференцирования суммы и формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = (3x^{-3})' - (x^{1/5})' + (5x^{-1/3})' = 3 \cdot (-3)x^{-3-1} - \frac{1}{5}x^{\frac{1}{5}-1} + 5 \cdot (-\frac{1}{3})x^{-\frac{1}{3}-1} = -9x^{-4} - \frac{1}{5}x^{-4/5} - \frac{5}{3}x^{-4/3}$.
Вернемся к записи с дробями и корнями: $f'(x) = -\frac{9}{x^4} - \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}} - \frac{5}{3\sqrt[3]{x^4}}$ или $f'(x) = -\frac{9}{x^4} - \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}} - \frac{5}{3x\sqrt[3]{x}}$.
Ответ: $f'(x) = -\frac{9}{x^4} - \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}} - \frac{5}{3x\sqrt[3]{x}}$.

б) Функция $f(x) = (2-\sqrt{x}) \tg x$ является произведением двух функций: $u(x) = 2 - \sqrt{x}$ и $v(x) = \tg x$. Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Сначала найдем производные сомножителей:
$u'(x) = (2 - x^{1/2})' = -\frac{1}{2}x^{-1/2} = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$v'(x) = (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Теперь подставим их в формулу производной произведения:
$f'(x) = u'v + uv' = \left(-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\tg x + (2-\sqrt{x})\frac{1}{\cos^2 x} = -\frac{\tg x}{2\sqrt{x}} + \frac{2-\sqrt{x}}{\cos^2 x}$.
Ответ: $f'(x) = -\frac{\tg x}{2\sqrt{x}} + \frac{2-\sqrt{x}}{\cos^2 x}$.

в) Функция $f(x) = \frac{x^3 - 3x}{1 - 2x}$ является частным двух функций: $u(x) = x^3 - 3x$ и $v(x) = 1 - 2x$. Применим правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Найдем производные числителя и знаменателя:
$u'(x) = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3$.
$v'(x) = (1 - 2x)' = -2$.
Подставим в формулу и упростим числитель:
$f'(x) = \frac{(3x^2 - 3)(1 - 2x) - (x^3 - 3x)(-2)}{(1 - 2x)^2} = \frac{(3x^2 - 6x^3 - 3 + 6x) - (-2x^3 + 6x)}{(1 - 2x)^2} = \frac{3x^2 - 6x^3 - 3 + 6x + 2x^3 - 6x}{(1 - 2x)^2} = \frac{-4x^3 + 3x^2 - 3}{(1 - 2x)^2}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{-4x^3 + 3x^2 - 3}{(1 - 2x)^2}$.

г) Функция $f(x) = \frac{\sin x}{1 - 2 \cos x}$ является частным двух функций: $u(x) = \sin x$ и $v(x) = 1 - 2 \cos x$. Применим правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Найдем производные числителя и знаменателя:
$u'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
$v'(x) = (1 - 2 \cos x)' = -2(-\sin x) = 2 \sin x$.
Подставим в формулу:
$f'(x) = \frac{(\cos x)(1 - 2 \cos x) - (\sin x)(2 \sin x)}{(1 - 2 \cos x)^2}$.
Упростим числитель, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:
$\cos x - 2\cos^2 x - 2\sin^2 x = \cos x - 2(\cos^2 x + \sin^2 x) = \cos x - 2(1) = \cos x - 2$.
Таким образом, производная равна:
$f'(x) = \frac{\cos x - 2}{(1 - 2 \cos x)^2}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{\cos x - 2}{(1 - 2 \cos x)^2}$.