Номер 215, страница 306 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств - номер 215, страница 306.

Условие.

215. Сумма квадратов цифр положительного двузначного числа равна 13. Если из этого числа вычесть 9, то получится число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Найдите это число.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть искомое двузначное число имеет вид $10a + b$, где $a$ — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Так как число положительное и двузначное, то $a$ — это целое число от 1 до 9, а $b$ — целое число от 0 до 9.

Согласно первому условию, сумма квадратов цифр числа равна 13. Запишем это в виде уравнения:
$a^2 + b^2 = 13$

Согласно второму условию, если из этого числа вычесть 9, то получится число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, имеет вид $10b + a$. Запишем второе уравнение:
$(10a + b) - 9 = 10b + a$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} a^2 + b^2 = 13 \\ (10a + b) - 9 = 10b + a \end{cases}$

Упростим второе уравнение:
$10a - a + b - 10b = 9$
$9a - 9b = 9$
Разделим обе части уравнения на 9:
$a - b = 1$
Отсюда выразим $a$:
$a = b + 1$

Подставим выражение для $a$ в первое уравнение системы:
$(b + 1)^2 + b^2 = 13$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$b^2 + 2b + 1 + b^2 = 13$
$2b^2 + 2b + 1 - 13 = 0$
$2b^2 + 2b - 12 = 0$
Разделим все уравнение на 2 для упрощения:
$b^2 + b - 6 = 0$

Найдем корни этого уравнения, например, по теореме Виета. Сумма корней равна -1, а их произведение равно -6. Корнями являются числа 2 и -3.
$b_1 = 2$
$b_2 = -3$

Так как $b$ — это цифра, она не может быть отрицательной. Следовательно, значение $b = -3$ нам не подходит.
Остается единственное возможное значение: $b = 2$.

Теперь найдем соответствующее значение $a$:
$a = b + 1 = 2 + 1 = 3$

Таким образом, цифра десятков равна 3, а цифра единиц равна 2. Искомое число — 32.

Проверим найденное решение:
1. Сумма квадратов цифр: $3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$. Условие выполняется.
2. Разность числа и 9: $32 - 9 = 23$. Число 23 записано теми же цифрами, что и 32, но в обратном порядке. Условие выполняется.

Ответ: 32