Номер 211, страница 305 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств - номер 211, страница 305.

Условие.

211. Двое рабочих совместно могут выполнить плановое задание за 12 дней. Если половину задания будет выполнять один рабочий, а затем вторую половину — другой, то все задание будет выполнено за 25 дней. За сколько дней может выполнить задание каждый рабочий?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть первый рабочий может выполнить все задание за $x$ дней, а второй — за $y$ дней.

Тогда производительность (скорость работы) первого рабочего равна $\frac{1}{x}$ части задания в день, а производительность второго — $\frac{1}{y}$ части задания в день.

Согласно первому условию, двое рабочих совместно могут выполнить плановое задание за 12 дней. Работая вместе, их общая производительность составляет $(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$ части задания в день. За 12 дней они выполнят все задание (которое мы принимаем за 1). Получаем первое уравнение:

$12 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 1$

Из которого следует:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$

Согласно второму условию, если половину задания будет выполнять один рабочий, а затем вторую половину — другой, то все задание будет выполнено за 25 дней. Время, за которое первый рабочий выполнит половину задания ($\frac{1}{2}$), равно $t_1 = \frac{1/2}{1/x} = \frac{x}{2}$ дней. Время, за которое второй рабочий выполнит вторую половину задания, равно $t_2 = \frac{1/2}{1/y} = \frac{y}{2}$ дней. Общее время составит 25 дней. Получаем второе уравнение:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 25$

Умножим обе части второго уравнения на 2:

$x + y = 50$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \\ x + y = 50 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = 50 - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{50 - x} = \frac{1}{12}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(50 - x)$:

$\frac{50 - x + x}{x(50 - x)} = \frac{1}{12}$

$\frac{50}{50x - x^2} = \frac{1}{12}$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$50 \cdot 12 = 1 \cdot (50x - x^2)$

$600 = 50x - x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 50x + 600 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 50$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 600$. Легко подобрать корни: 20 и 30.

Проверим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 600 = 2500 - 2400 = 100$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{50 \pm 10}{2}$

$x_1 = \frac{50 + 10}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$x_2 = \frac{50 - 10}{2} = \frac{40}{2} = 20$

Мы получили два возможных значения для времени выполнения работы одним из рабочих.

Найдем соответствующие значения для $y$ из уравнения $y = 50 - x$:

Если $x = 30$, то $y = 50 - 30 = 20$.

Если $x = 20$, то $y = 50 - 20 = 30$.

Оба решения приводят к одному и тому же результату: один рабочий выполняет задание за 20 дней, а другой — за 30 дней.

Ответ: один рабочий может выполнить задание за 20 дней, а другой — за 30 дней.