Номер 204, страница 304 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 204, страница 304.

Условие.

204. Для перевозки 60 т груза затребовали некоторое количество машин. В связи с тем что на каждую машину погрузили на 0,5 т меньше запланированного, дополнительно было затребовано еще 4 машины. Сколько машин было запланировано первоначально?

Решение 1.

Решение 5.

Пусть $x$ — это количество машин, которое было запланировано первоначально.

Тогда, согласно плану, на каждую машину должны были погрузить $\frac{60}{x}$ тонн груза.

По факту на каждую машину погрузили на 0,5 т меньше запланированного, то есть по $\frac{60}{x} - 0.5$ тонны.

При этом количество машин увеличилось на 4, то есть стало равно $x + 4$.

Общий вес перевезенного груза остается 60 тонн. Составим уравнение, умножив фактическое количество машин на фактический вес груза в одной машине:

$(x + 4) \cdot (\frac{60}{x} - 0.5) = 60$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$x \cdot \frac{60}{x} - x \cdot 0.5 + 4 \cdot \frac{60}{x} - 4 \cdot 0.5 = 60$

$60 - 0.5x + \frac{240}{x} - 2 = 60$

Вычтем 60 из обеих частей уравнения и приведем подобные слагаемые:

$-0.5x + \frac{240}{x} - 2 = 0$

Умножим все уравнение на $x$ (при условии, что $x \neq 0$, что верно, так как $x$ — это количество машин):

$-0.5x^2 - 2x + 240 = 0$

Для удобства умножим уравнение на -2, чтобы избавиться от десятичной дроби и отрицательного коэффициента при $x^2$:

$x^2 + 4x - 480 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$a = 1, b = 4, c = -480$

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-480) = 16 + 1920 = 1936$

$\sqrt{D} = \sqrt{1936} = 44$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-4 + 44}{2 \cdot 1} = \frac{40}{2} = 20$

$x_2 = \frac{-4 - 44}{2 \cdot 1} = \frac{-48}{2} = -24$

Так как количество машин не может быть отрицательным числом, корень $x_2 = -24$ не подходит по смыслу задачи.

Следовательно, первоначально было запланировано 20 машин.

Выполним проверку.

Планировалось: 20 машин, по $60 / 20 = 3$ тонны на машину.

Фактически: $20 + 4 = 24$ машины, по $3 - 0.5 = 2.5$ тонны на машину.

Общий груз: $24 \cdot 2.5 = 60$ тонн. Условия задачи выполняются.

Ответ: 20 машин.