Номер 198, страница 304 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств - номер 198, страница 304.

Условие.

198. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде равна 15 км, прошла $139\frac{1}{3}$ км вниз по течению реки и вернулась обратно. Найдите скорость течения реки, если на весь путь затрачено 20 ч.

Решение 1.

Решение 5.

Пусть $x$ км/ч — искомая скорость течения реки.

Собственная скорость моторной лодки (скорость в стоячей воде) равна 15 км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки составляет $(15 + x)$ км/ч, а скорость лодки против течения реки — $(15 - x)$ км/ч.

Расстояние, которое лодка прошла вниз по течению и обратно, равно $139 \frac{1}{3}$ км в каждую сторону. Переведем это расстояние в неправильную дробь для удобства вычислений: $S = 139 \frac{1}{3} = \frac{139 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{417 + 1}{3} = \frac{418}{3}$ км.

Время, которое лодка затратила на путь по течению, можно выразить формулой $t_1 = \frac{S}{v_{по\_теч}} = \frac{418/3}{15 + x}$ часов.

Время, которое лодка затратила на обратный путь против течения, составляет $t_2 = \frac{S}{v_{против\_теч}} = \frac{418/3}{15 - x}$ часов.

По условию задачи, на весь путь было затрачено 20 часов. Составим уравнение, сложив время движения по течению и против течения: $t_1 + t_2 = 20$ $\frac{418/3}{15 + x} + \frac{418/3}{15 - x} = 20$

Вынесем общий множитель $\frac{418}{3}$ за скобки: $\frac{418}{3} \left( \frac{1}{15 + x} + \frac{1}{15 - x} \right) = 20$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(15 + x)(15 - x)$, который по формуле разности квадратов равен $15^2 - x^2 = 225 - x^2$: $\frac{418}{3} \left( \frac{1 \cdot (15 - x) + 1 \cdot (15 + x)}{(15 + x)(15 - x)} \right) = 20$ $\frac{418}{3} \left( \frac{15 - x + 15 + x}{225 - x^2} \right) = 20$ $\frac{418}{3} \cdot \frac{30}{225 - x^2} = 20$

Сократим множители 3 и 30 в левой части уравнения: $\frac{418 \cdot 10}{225 - x^2} = 20$ $\frac{4180}{225 - x^2} = 20$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$. Домножим обе части на $(225 - x^2)$: $4180 = 20 \cdot (225 - x^2)$

Разделим обе части уравнения на 20: $\frac{4180}{20} = 225 - x^2$ $209 = 225 - x^2$

Выразим $x^2$: $x^2 = 225 - 209$ $x^2 = 16$

Найдем $x$, взяв квадратный корень. Так как скорость не может быть отрицательной величиной, нас интересует только положительный корень. $x = \sqrt{16}$ $x = 4$

Следовательно, скорость течения реки равна 4 км/ч.

Ответ: 4 км/ч.