Номер 193, страница 303 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 193, страница 303.
№193 (с. 303)
Условие. №193 (с. 303)
скриншот условия

193. а) $\begin{cases} 3^x \cdot 7^y = 63, \\ 3^x + 7^y = 16; \end{cases}$
б) $\begin{cases} 3^x - 2^{2y} = 77, \\ \sqrt{3^x} - 2^y = 7; \end{cases}$
в) $\begin{cases} 4^x \cdot 4^y = 64, \\ 4^x - 4^y = 63; \end{cases}$
г) $\begin{cases} \sqrt{2^x} - 3^y = -7, \\ 2^x - 3^y = -5. \end{cases}$
Решение 1. №193 (с. 303)

Решение 5. №193 (с. 303)
a)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 3^x \cdot 7^y = 63, \\ 3^x + 7^y = 16 \end{cases} $
Сделаем замену переменных. Пусть $u = 3^x$ и $v = 7^y$. Так как показательные функции всегда положительны, то $u > 0$ и $v > 0$.
Система примет вид:
$ \begin{cases} u \cdot v = 63, \\ u + v = 16 \end{cases} $
Согласно теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 16t + 63 = 0$.
Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 63 = 256 - 252 = 4$.
Корни: $t_1 = \frac{16 + \sqrt{4}}{2} = \frac{16 + 2}{2} = 9$ и $t_2 = \frac{16 - \sqrt{4}}{2} = \frac{16 - 2}{2} = 7$.
Это дает нам два возможных случая для пар $(u, v)$:
Случай 1: $u = 9$ и $v = 7$.
Возвращаемся к исходным переменным:
$3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2$.
$7^y = 7 \implies 7^y = 7^1 \implies y = 1$.
Получили решение $(2, 1)$.
Случай 2: $u = 7$ и $v = 9$.
Возвращаемся к исходным переменным:
$3^x = 7 \implies x = \log_3 7$.
$7^y = 9 \implies y = \log_7 9$.
Получили решение $(\log_3 7, \log_7 9)$.
Ответ: $(2, 1)$, $(\log_3 7, \log_7 9)$.
б)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 3^x - 2^{2y} = 77, \\ \sqrt{3^x} - 2^y = 7 \end{cases} $
Заметим, что $\sqrt{3^x} = 3^{x/2}$ и $2^{2y} = (2^y)^2$. Сделаем замену переменных. Пусть $u = 3^{x/2}$ и $v = 2^y$. Условия: $u > 0, v > 0$.
Тогда $3^x = (3^{x/2})^2 = u^2$ и $2^{2y} = v^2$.
Система примет вид:
$ \begin{cases} u^2 - v^2 = 77, \\ u - v = 7 \end{cases} $
Разложим первое уравнение на множители как разность квадратов: $(u - v)(u + v) = 77$.
Подставим во второе уравнение значение $u-v=7$ из первого: $7(u + v) = 77$.
Отсюда $u + v = 11$.
Теперь имеем простую систему линейных уравнений:
$ \begin{cases} u - v = 7, \\ u + v = 11 \end{cases} $
Сложив два уравнения, получим: $2u = 18 \implies u = 9$.
Подставив $u=9$ в любое из уравнений, найдем $v$: $9 + v = 11 \implies v = 2$.
Возвращаемся к исходным переменным:
$u = 3^{x/2} = 9 \implies 3^{x/2} = 3^2 \implies x/2 = 2 \implies x = 4$.
$v = 2^y = 2 \implies 2^y = 2^1 \implies y = 1$.
Ответ: $(4, 1)$.
в)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 4^x \cdot 4^y = 64, \\ 4^x - 4^y = 63 \end{cases} $
Сделаем замену переменных. Пусть $u = 4^x$ и $v = 4^y$. Условия: $u > 0, v > 0$.
Система примет вид:
$ \begin{cases} u \cdot v = 64, \\ u - v = 63 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $u$: $u = v + 63$.
Подставим это выражение в первое уравнение: $(v + 63) \cdot v = 64$.
Раскроем скобки и получим квадратное уравнение: $v^2 + 63v - 64 = 0$.
Найдем корни, например, по теореме Виета. Произведение корней равно -64, а сумма -63. Корни: $v_1 = 1$ и $v_2 = -64$.
Так как $v = 4^y$ должно быть положительным, корень $v_2 = -64$ является посторонним.
Следовательно, $v = 1$.
Тогда $u = v + 63 = 1 + 63 = 64$.
Возвращаемся к исходным переменным:
$u = 4^x = 64 \implies 4^x = 4^3 \implies x = 3$.
$v = 4^y = 1 \implies 4^y = 4^0 \implies y = 0$.
Ответ: $(3, 0)$.
г)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \sqrt{2^x - 3^y} = -7, \\ 2^x - 3^y = -5 \end{cases} $
Рассмотрим первое уравнение: $\sqrt{2^x - 3^y} = -7$.
По определению, арифметический квадратный корень ($\sqrt{a}$) из действительного числа не может быть отрицательным, то есть $\sqrt{a} \ge 0$ для любого $a \ge 0$.
В левой части уравнения стоит арифметический корень, значение которого всегда неотрицательно. В правой части стоит отрицательное число (-7).
Равенство неотрицательного числа отрицательному невозможно. Следовательно, первое уравнение системы не имеет решений в действительных числах.
Поскольку одно из уравнений системы не имеет решений, вся система не имеет решений.
Ответ: решений нет.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 193 расположенного на странице 303 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №193 (с. 303), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.