Номер 193, страница 303 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств - номер 193, страница 303.

Условие.

193. а) $\begin{cases} 3^x \cdot 7^y = 63, \\ 3^x + 7^y = 16; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3^x - 2^{2y} = 77, \\ \sqrt{3^x} - 2^y = 7; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 4^x \cdot 4^y = 64, \\ 4^x - 4^y = 63; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \sqrt{2^x} - 3^y = -7, \\ 2^x - 3^y = -5. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 5.

a)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3^x \cdot 7^y = 63, \\ 3^x + 7^y = 16 \end{cases} $

Сделаем замену переменных. Пусть $u = 3^x$ и $v = 7^y$. Так как показательные функции всегда положительны, то $u > 0$ и $v > 0$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} u \cdot v = 63, \\ u + v = 16 \end{cases} $

Согласно теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 16t + 63 = 0$.

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 63 = 256 - 252 = 4$.

Корни: $t_1 = \frac{16 + \sqrt{4}}{2} = \frac{16 + 2}{2} = 9$ и $t_2 = \frac{16 - \sqrt{4}}{2} = \frac{16 - 2}{2} = 7$.

Это дает нам два возможных случая для пар $(u, v)$:

Случай 1: $u = 9$ и $v = 7$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2$.

$7^y = 7 \implies 7^y = 7^1 \implies y = 1$.

Получили решение $(2, 1)$.

Случай 2: $u = 7$ и $v = 9$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$3^x = 7 \implies x = \log_3 7$.

$7^y = 9 \implies y = \log_7 9$.

Получили решение $(\log_3 7, \log_7 9)$.

Ответ: $(2, 1)$, $(\log_3 7, \log_7 9)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3^x - 2^{2y} = 77, \\ \sqrt{3^x} - 2^y = 7 \end{cases} $

Заметим, что $\sqrt{3^x} = 3^{x/2}$ и $2^{2y} = (2^y)^2$. Сделаем замену переменных. Пусть $u = 3^{x/2}$ и $v = 2^y$. Условия: $u > 0, v > 0$.

Тогда $3^x = (3^{x/2})^2 = u^2$ и $2^{2y} = v^2$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} u^2 - v^2 = 77, \\ u - v = 7 \end{cases} $

Разложим первое уравнение на множители как разность квадратов: $(u - v)(u + v) = 77$.

Подставим во второе уравнение значение $u-v=7$ из первого: $7(u + v) = 77$.

Отсюда $u + v = 11$.

Теперь имеем простую систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} u - v = 7, \\ u + v = 11 \end{cases} $

Сложив два уравнения, получим: $2u = 18 \implies u = 9$.

Подставив $u=9$ в любое из уравнений, найдем $v$: $9 + v = 11 \implies v = 2$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$u = 3^{x/2} = 9 \implies 3^{x/2} = 3^2 \implies x/2 = 2 \implies x = 4$.

$v = 2^y = 2 \implies 2^y = 2^1 \implies y = 1$.

Ответ: $(4, 1)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 4^x \cdot 4^y = 64, \\ 4^x - 4^y = 63 \end{cases} $

Сделаем замену переменных. Пусть $u = 4^x$ и $v = 4^y$. Условия: $u > 0, v > 0$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} u \cdot v = 64, \\ u - v = 63 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $u$: $u = v + 63$.

Подставим это выражение в первое уравнение: $(v + 63) \cdot v = 64$.

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение: $v^2 + 63v - 64 = 0$.

Найдем корни, например, по теореме Виета. Произведение корней равно -64, а сумма -63. Корни: $v_1 = 1$ и $v_2 = -64$.

Так как $v = 4^y$ должно быть положительным, корень $v_2 = -64$ является посторонним.

Следовательно, $v = 1$.

Тогда $u = v + 63 = 1 + 63 = 64$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$u = 4^x = 64 \implies 4^x = 4^3 \implies x = 3$.

$v = 4^y = 1 \implies 4^y = 4^0 \implies y = 0$.

Ответ: $(3, 0)$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{2^x - 3^y} = -7, \\ 2^x - 3^y = -5 \end{cases} $

Рассмотрим первое уравнение: $\sqrt{2^x - 3^y} = -7$.

По определению, арифметический квадратный корень ($\sqrt{a}$) из действительного числа не может быть отрицательным, то есть $\sqrt{a} \ge 0$ для любого $a \ge 0$.

В левой части уравнения стоит арифметический корень, значение которого всегда неотрицательно. В правой части стоит отрицательное число (-7).

Равенство неотрицательного числа отрицательному невозможно. Следовательно, первое уравнение системы не имеет решений в действительных числах.

Поскольку одно из уравнений системы не имеет решений, вся система не имеет решений.

Ответ: решений нет.