Страница 303 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

191. а) $ \begin{cases} 9^{x+y} = 729, \\ 3^{x-y-1} = 1; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 2^x - 2^y = 16, \\ x+y = 9; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} (\sqrt{5})^{x-y} = 25, \\ 2^{6y-x-1} = 1; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 3^x + 3^y = 28, \\ x-y = 3. \end{cases} $

а)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 9^{x+y} = 729 \\ 3^{x-y-1} = 1 \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение. Представим обе части уравнения как степени с основанием 3. Поскольку $9 = 3^2$ и $729 = 9^3 = (3^2)^3 = 3^6$, уравнение принимает вид: $(3^2)^{x+y} = 3^6$, что равносильно $3^{2(x+y)} = 3^6$. Приравнивая показатели степени, получаем: $2(x+y) = 6$, откуда $x+y = 3$.

Преобразуем второе уравнение. Представим 1 как $3^0$: $3^{x-y-1} = 3^0$. Приравнивая показатели степени, получаем: $x-y-1 = 0$, откуда $x-y = 1$.

В результате мы получили систему линейных уравнений: $ \begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = 1 \end{cases} $ Сложим два уравнения системы: $(x+y) + (x-y) = 3+1$, что дает $2x = 4$, и следовательно $x=2$.

Подставим найденное значение $x=2$ в первое уравнение $x+y=3$: $2+y=3$, откуда $y=1$.

Ответ: $(2; 1)$.

б)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2^x - 2^y = 16 \\ x + y = 9 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 9 - x$. Подставим это выражение в первое уравнение: $2^x - 2^{9-x} = 16$.

Используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, перепишем уравнение: $2^x - \frac{2^9}{2^x} = 16$. Сделаем замену переменной: пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$. Уравнение примет вид: $t - \frac{512}{t} = 16$.

Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателя: $t^2 - 512 = 16t$. Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $t^2 - 16t - 512 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-512) = 256 + 2048 = 2304$. $\sqrt{D} = \sqrt{2304} = 48$. Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm 48}{2}$. $t_1 = \frac{16+48}{2} = 32$. $t_2 = \frac{16-48}{2} = -16$.

Поскольку $t = 2^x > 0$, корень $t_2 = -16$ является посторонним. Возвращаемся к замене: $2^x = t_1 = 32$. Так как $32 = 2^5$, то $x=5$.

Теперь найдем $y$ из уравнения $y = 9 - x$: $y = 9 - 5 = 4$.

Ответ: $(5; 4)$.

в)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} (\sqrt{5})^{x-y} = 25 \\ 2^{6y-x-1} = 1 \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение. Представим обе части как степени с основанием 5. Так как $\sqrt{5} = 5^{1/2}$ и $25 = 5^2$, уравнение принимает вид: $(5^{1/2})^{x-y} = 5^2$, что равносильно $5^{\frac{x-y}{2}} = 5^2$. Приравнивая показатели, получаем: $\frac{x-y}{2} = 2$, откуда $x-y = 4$.

Преобразуем второе уравнение. Представим 1 как $2^0$: $2^{6y-x-1} = 2^0$. Приравнивая показатели, получаем: $6y-x-1 = 0$, откуда $6y-x = 1$.

Получили систему линейных уравнений: $ \begin{cases} x-y = 4 \\ -x+6y = 1 \end{cases} $ Сложим два уравнения системы: $(x-y) + (-x+6y) = 4+1$, что дает $5y=5$, и следовательно $y=1$.

Подставим $y=1$ в первое уравнение $x-y=4$: $x-1=4$, откуда $x=5$.

Ответ: $(5; 1)$.

г)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3^x + 3^y = 28 \\ x - y = 3 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x$: $x = y + 3$. Подставим это выражение в первое уравнение: $3^{y+3} + 3^y = 28$.

Используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, перепишем уравнение: $3^y \cdot 3^3 + 3^y = 28$. Вынесем общий множитель $3^y$ за скобки: $3^y(3^3+1) = 28$.

Вычислим выражение в скобках: $3^y(27+1) = 28$, $28 \cdot 3^y = 28$.

Разделим обе части уравнения на 28: $3^y = 1$. Так как $1 = 3^0$, получаем $y=0$.

Теперь найдем $x$ из уравнения $x = y + 3$: $x = 0+3=3$.

Ответ: $(3; 0)$.

192. a) $\begin{cases} 4^{\log_4 2x} - y = -1, \\ 5^{2x-y} + 5^x = 5,2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2^x + 3^y = 17, \\ 2^{x+2} - 3^{y+1} = 5; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 3^{\log_3 (y+x)} = 2, \\ 2^{2x+y} = 16; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \log_{\sqrt{2}} (y-x) = 4, \\ 3^x + 2 \cdot 3^{y-2} = 171. \end{cases}$

а)

Рассмотрим систему уравнений:
$\begin{cases} 4^{\log_4 2x} - y = -1 \\ 5^{2x-y} + 5^x = 5,2 \end{cases}$

1. Упростим первое уравнение, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. Область допустимых значений для этого уравнения: $2x > 0$, то есть $x > 0$.
$4^{\log_4 2x} = 2x$.
Таким образом, первое уравнение принимает вид:
$2x - y = -1$.

2. Выразим $y$ через $x$ из полученного уравнения:
$y = 2x + 1$.

3. Подставим выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$5^{2x-y} + 5^x = 5,2$
$5^{2x - (2x+1)} + 5^x = 5,2$
$5^{-1} + 5^x = 5,2$
$\frac{1}{5} + 5^x = 5,2$
$0,2 + 5^x = 5,2$.

4. Решим полученное уравнение относительно $x$:
$5^x = 5,2 - 0,2$
$5^x = 5$
$5^x = 5^1$
$x = 1$.
Это значение удовлетворяет условию $x > 0$.

5. Найдем соответствующее значение $y$:
$y = 2x + 1 = 2(1) + 1 = 3$.

Таким образом, решение системы - пара чисел $(1, 3)$.

Ответ: $(1, 3)$.

б)

Рассмотрим систему уравнений:
$\begin{cases} 2^x + 3^y = 17 \\ 2^{x+2} - 3^{y+1} = 5 \end{cases}$

1. Преобразуем второе уравнение, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x$
$3^{y+1} = 3^y \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^y$
Система примет вид:
$\begin{cases} 2^x + 3^y = 17 \\ 4 \cdot 2^x - 3 \cdot 3^y = 5 \end{cases}$

2. Введем новые переменные. Пусть $a = 2^x$ и $b = 3^y$, где $a > 0$ и $b > 0$. Система станет линейной относительно $a$ и $b$:
$\begin{cases} a + b = 17 \\ 4a - 3b = 5 \end{cases}$

3. Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $a$: $a = 17 - b$. Подставим во второе уравнение:
$4(17 - b) - 3b = 5$
$68 - 4b - 3b = 5$
$68 - 7b = 5$
$7b = 63$
$b = 9$.

4. Найдем $a$:
$a = 17 - b = 17 - 9 = 8$.
Значения $a=8$ и $b=9$ удовлетворяют условиям $a>0, b>0$.

5. Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:
$a = 2^x \implies 8 = 2^x \implies 2^3 = 2^x \implies x=3$.
$b = 3^y \implies 9 = 3^y \implies 3^2 = 3^y \implies y=2$.

Таким образом, решение системы - пара чисел $(3, 2)$.

Ответ: $(3, 2)$.

в)

Рассмотрим систему уравнений:
$\begin{cases} 3^{\log_3(y+x)} = 2 \\ 2^{2x+y} = 16 \end{cases}$

1. Упростим первое уравнение, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. Область допустимых значений: $y+x > 0$.
$3^{\log_3(y+x)} = y+x$.
Уравнение принимает вид:
$y + x = 2$.
Так как $2 > 0$, ОДЗ выполняется.

2. Упростим второе уравнение. Представим $16$ как степень двойки: $16 = 2^4$.
$2^{2x+y} = 2^4$.
Приравнивая показатели степени, получаем:
$2x + y = 4$.

3. Решим полученную систему линейных уравнений:
$\begin{cases} x + y = 2 \\ 2x + y = 4 \end{cases}$
Вычтем первое уравнение из второго:
$(2x+y) - (x+y) = 4 - 2$
$x = 2$.

4. Подставим значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$2 + y = 2$
$y = 0$.

Таким образом, решение системы - пара чисел $(2, 0)$.

Ответ: $(2, 0)$.

г)

Рассмотрим систему уравнений:
$\begin{cases} \log_{\sqrt{2}}(y-x) = 4 \\ 3^x + 2 \cdot 3^{y-2} = 171 \end{cases}$

1. Решим первое уравнение. По определению логарифма $\log_a b = c \iff a^c = b$. Область допустимых значений: $y-x > 0$.
$y-x = (\sqrt{2})^4$.
$(\sqrt{2})^4 = (2^{1/2})^4 = 2^2 = 4$.
Получаем уравнение: $y - x = 4$.
Так как $4>0$, ОДЗ выполняется.

2. Выразим $y$ через $x$:
$y = x + 4$.

3. Подставим выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$3^x + 2 \cdot 3^{(x+4)-2} = 171$
$3^x + 2 \cdot 3^{x+2} = 171$.

4. Упростим и решим полученное экспоненциальное уравнение:
$3^x + 2 \cdot (3^x \cdot 3^2) = 171$
$3^x + 2 \cdot 9 \cdot 3^x = 171$
$3^x + 18 \cdot 3^x = 171$.
Вынесем $3^x$ за скобки:
$3^x(1 + 18) = 171$
$19 \cdot 3^x = 171$
$3^x = \frac{171}{19}$
$3^x = 9$
$3^x = 3^2$
$x = 2$.

5. Найдем соответствующее значение $y$:
$y = x + 4 = 2 + 4 = 6$.

Таким образом, решение системы - пара чисел $(2, 6)$.

Ответ: $(2, 6)$.

193. а) $\begin{cases} 3^x \cdot 7^y = 63, \\ 3^x + 7^y = 16; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3^x - 2^{2y} = 77, \\ \sqrt{3^x} - 2^y = 7; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 4^x \cdot 4^y = 64, \\ 4^x - 4^y = 63; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \sqrt{2^x} - 3^y = -7, \\ 2^x - 3^y = -5. \end{cases}$

a)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3^x \cdot 7^y = 63, \\ 3^x + 7^y = 16 \end{cases} $

Сделаем замену переменных. Пусть $u = 3^x$ и $v = 7^y$. Так как показательные функции всегда положительны, то $u > 0$ и $v > 0$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} u \cdot v = 63, \\ u + v = 16 \end{cases} $

Согласно теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 16t + 63 = 0$.

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 63 = 256 - 252 = 4$.

Корни: $t_1 = \frac{16 + \sqrt{4}}{2} = \frac{16 + 2}{2} = 9$ и $t_2 = \frac{16 - \sqrt{4}}{2} = \frac{16 - 2}{2} = 7$.

Это дает нам два возможных случая для пар $(u, v)$:

Случай 1: $u = 9$ и $v = 7$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2$.

$7^y = 7 \implies 7^y = 7^1 \implies y = 1$.

Получили решение $(2, 1)$.

Случай 2: $u = 7$ и $v = 9$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$3^x = 7 \implies x = \log_3 7$.

$7^y = 9 \implies y = \log_7 9$.

Получили решение $(\log_3 7, \log_7 9)$.

Ответ: $(2, 1)$, $(\log_3 7, \log_7 9)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3^x - 2^{2y} = 77, \\ \sqrt{3^x} - 2^y = 7 \end{cases} $

Заметим, что $\sqrt{3^x} = 3^{x/2}$ и $2^{2y} = (2^y)^2$. Сделаем замену переменных. Пусть $u = 3^{x/2}$ и $v = 2^y$. Условия: $u > 0, v > 0$.

Тогда $3^x = (3^{x/2})^2 = u^2$ и $2^{2y} = v^2$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} u^2 - v^2 = 77, \\ u - v = 7 \end{cases} $

Разложим первое уравнение на множители как разность квадратов: $(u - v)(u + v) = 77$.

Подставим во второе уравнение значение $u-v=7$ из первого: $7(u + v) = 77$.

Отсюда $u + v = 11$.

Теперь имеем простую систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} u - v = 7, \\ u + v = 11 \end{cases} $

Сложив два уравнения, получим: $2u = 18 \implies u = 9$.

Подставив $u=9$ в любое из уравнений, найдем $v$: $9 + v = 11 \implies v = 2$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$u = 3^{x/2} = 9 \implies 3^{x/2} = 3^2 \implies x/2 = 2 \implies x = 4$.

$v = 2^y = 2 \implies 2^y = 2^1 \implies y = 1$.

Ответ: $(4, 1)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 4^x \cdot 4^y = 64, \\ 4^x - 4^y = 63 \end{cases} $

Сделаем замену переменных. Пусть $u = 4^x$ и $v = 4^y$. Условия: $u > 0, v > 0$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} u \cdot v = 64, \\ u - v = 63 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $u$: $u = v + 63$.

Подставим это выражение в первое уравнение: $(v + 63) \cdot v = 64$.

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение: $v^2 + 63v - 64 = 0$.

Найдем корни, например, по теореме Виета. Произведение корней равно -64, а сумма -63. Корни: $v_1 = 1$ и $v_2 = -64$.

Так как $v = 4^y$ должно быть положительным, корень $v_2 = -64$ является посторонним.

Следовательно, $v = 1$.

Тогда $u = v + 63 = 1 + 63 = 64$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$u = 4^x = 64 \implies 4^x = 4^3 \implies x = 3$.

$v = 4^y = 1 \implies 4^y = 4^0 \implies y = 0$.

Ответ: $(3, 0)$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{2^x - 3^y} = -7, \\ 2^x - 3^y = -5 \end{cases} $

Рассмотрим первое уравнение: $\sqrt{2^x - 3^y} = -7$.

По определению, арифметический квадратный корень ($\sqrt{a}$) из действительного числа не может быть отрицательным, то есть $\sqrt{a} \ge 0$ для любого $a \ge 0$.

В левой части уравнения стоит арифметический корень, значение которого всегда неотрицательно. В правой части стоит отрицательное число (-7).

Равенство неотрицательного числа отрицательному невозможно. Следовательно, первое уравнение системы не имеет решений в действительных числах.

Поскольку одно из уравнений системы не имеет решений, вся система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

194. a) $ \lg x - \lg y = 1 $,

$ \lg^2 x + \lg^2 y = 5; $

б) $ \log_2 (x^2 + y^2) = 5 $,

$ 2 \log_4 x + \log_2 y = 4; $

в) $ \lg x - \lg y = 7 $,

$ \lg x + \lg y = 5; $

г) $ \log_2 (x + 1) = \log_2 \left(y + \frac{1}{4}\right) $,

$ \log_2 x - 2 \log_2 \left(y - \frac{1}{2}\right) = 0. $

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \lg x - \lg y = 1 \\ \lg^2 x + \lg^2 y = 5 \end{cases} $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$, $y > 0$.

Введем замену переменных. Пусть $u = \lg x$ и $v = \lg y$. Система примет вид: $$ \begin{cases} u - v = 1 \\ u^2 + v^2 = 5 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $u$: $u = 1 + v$.
Подставим это выражение во второе уравнение: $$ (1 + v)^2 + v^2 = 5 $$ $$ 1 + 2v + v^2 + v^2 = 5 $$ $$ 2v^2 + 2v - 4 = 0 $$ Разделим уравнение на 2: $$ v^2 + v - 2 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $v$. По теореме Виета, корни уравнения: $v_1 = 1$ и $v_2 = -2$.
Рассмотрим два случая.

Случай 1: $v = 1$.
Тогда $u = 1 + v = 1 + 1 = 2$.
Возвращаемся к исходным переменным:
$\lg x = 2 \implies x = 10^2 = 100$.
$\lg y = 1 \implies y = 10^1 = 10$.
Получили пару $(100, 10)$. Эта пара удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $v = -2$.
Тогда $u = 1 + v = 1 - 2 = -1$.
Возвращаемся к исходным переменным:
$\lg x = -1 \implies x = 10^{-1} = 0.1$.
$\lg y = -2 \implies y = 10^{-2} = 0.01$.
Получили пару $(0.1, 0.01)$. Эта пара также удовлетворяет ОДЗ.

Обе пары являются решениями системы.

Ответ: $(100, 10)$, $(0.1, 0.01)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \log_2(x^2 + y^2) = 5 \\ 2 \log_4 x + \log_2 y = 4 \end{cases} $$ ОДЗ: $x > 0$, $y > 0$.

Преобразуем каждое уравнение системы.
Из первого уравнения по определению логарифма: $$ x^2 + y^2 = 2^5 = 32 $$

Во втором уравнении приведем логарифм к основанию 2, используя формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$: $$ 2 \log_4 x = 2 \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = 2 \frac{\log_2 x}{2} = \log_2 x $$ Тогда второе уравнение примет вид: $$ \log_2 x + \log_2 y = 4 $$ Используя свойство суммы логарифмов: $$ \log_2(xy) = 4 $$ Отсюда по определению логарифма: $$ xy = 2^4 = 16 $$

Получили систему алгебраических уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 32 \\ xy = 16 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $y = \frac{16}{x}$ (это возможно, так как $x>0$) и подставим в первое: $$ x^2 + \left(\frac{16}{x}\right)^2 = 32 $$ $$ x^2 + \frac{256}{x^2} = 32 $$ Умножим обе части на $x^2$: $$ x^4 + 256 = 32x^2 $$ $$ x^4 - 32x^2 + 256 = 0 $$ Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$ ($t>0$): $$ t^2 - 32t + 256 = 0 $$ Это полный квадрат: $(t - 16)^2 = 0$.
Отсюда $t = 16$.

Возвращаемся к переменной $x$: $$ x^2 = 16 $$ Так как по ОДЗ $x > 0$, то $x = 4$.
Находим $y$: $$ y = \frac{16}{x} = \frac{16}{4} = 4 $$ Решение $(4, 4)$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(4, 4)$.

в)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \lg x - \lg y = 7 \\ \lg x + \lg y = 5 \end{cases} $$ ОДЗ: $x > 0$, $y > 0$.

Это линейная система относительно $\lg x$ и $\lg y$. Сложим два уравнения системы: $$ (\lg x - \lg y) + (\lg x + \lg y) = 7 + 5 $$ $$ 2 \lg x = 12 $$ $$ \lg x = 6 $$ Отсюда $x = 10^6 = 1000000$.

Подставим $\lg x = 6$ во второе уравнение системы: $$ 6 + \lg y = 5 $$ $$ \lg y = 5 - 6 = -1 $$ Отсюда $y = 10^{-1} = 0.1$.

Полученная пара $(1000000, 0.1)$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(1000000, 0.1)$.

г)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \log_2(x+1) = \log_2(y + \frac{1}{4}) \\ \log_2 x - 2\log_2(y - \frac{1}{2}) = 0 \end{cases} $$ ОДЗ определяется условиями: $$ \begin{cases} x+1 > 0 \implies x > -1 \\ y + \frac{1}{4} > 0 \implies y > -\frac{1}{4} \\ x > 0 \\ y - \frac{1}{2} > 0 \implies y > \frac{1}{2} \end{cases} $$ Объединяя условия, получаем: $x > 0$, $y > \frac{1}{2}$.

Из первого уравнения, так как основания логарифмов равны, приравниваем аргументы: $$ x + 1 = y + \frac{1}{4} $$ $$ y = x + 1 - \frac{1}{4} \implies y = x + \frac{3}{4} $$

Преобразуем второе уравнение: $$ \log_2 x = 2\log_2\left(y - \frac{1}{2}\right) $$ Используя свойство степени логарифма: $$ \log_2 x = \log_2\left(\left(y - \frac{1}{2}\right)^2\right) $$ Приравниваем аргументы: $$ x = \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 $$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе: $$ x = \left(\left(x + \frac{3}{4}\right) - \frac{1}{2}\right)^2 $$ $$ x = \left(x + \frac{1}{4}\right)^2 $$ $$ x = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{4} + \left(\frac{1}{4}\right)^2 $$ $$ x = x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} $$ $$ x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} = 0 $$ Это полный квадрат: $$ \left(x - \frac{1}{4}\right)^2 = 0 $$ Отсюда $x = \frac{1}{4}$.

Находим $y$: $$ y = x + \frac{3}{4} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1 $$ Решение $(\frac{1}{4}, 1)$ удовлетворяет ОДЗ ($x = \frac{1}{4} > 0$ и $y = 1 > \frac{1}{2}$).

Ответ: $(\frac{1}{4}, 1)$.

195. a) $\begin{cases} y - \log_3 x = 1, \\ x^y = 3^{12}; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3^{1 + \log_3 (x^2 + y^2)} = 15, \\ \log_3 (x^2 - y^2) - \log_3 (x - y) = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \log_5 x + 3^{\log_3 y} = 7, \\ x^y = 5^{12}; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 5^{1 + \log_5 (x^2 - y^2)} = 25, \\ \log_5 (x^2 - y^2) = \log_5 (x + y). \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} y - \log_3 x = 1, \\ x^y = 3^{12} \end{cases} $
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется из условия существования логарифма: $x > 0$.
Прологарифмируем второе уравнение системы по основанию 3, так как обе части уравнения положительны:
$\log_3(x^y) = \log_3(3^{12})$
Используя свойство логарифма $\log_a(b^c) = c \log_a b$, получаем:
$y \cdot \log_3 x = 12$
Теперь система имеет вид:
$ \begin{cases} y - \log_3 x = 1, \\ y \cdot \log_3 x = 12 \end{cases} $
Введем новые переменные. Пусть $u = y$ и $v = \log_3 x$. Система примет вид:
$ \begin{cases} u - v = 1, \\ uv = 12 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $u$: $u = 1 + v$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(1+v)v = 12$
$v^2 + v - 12 = 0$
Это квадратное уравнение. Его корни по теореме Виета: $v_1 = 3$ и $v_2 = -4$.
Теперь вернемся к исходным переменным.
Случай 1: $v = 3$.
$\log_3 x = 3$, откуда $x = 3^3 = 27$.
$u = 1 + v = 1 + 3 = 4$, откуда $y = 4$.
Получили решение $(27, 4)$. Проверим его, подставив в исходную систему:
$4 - \log_3 27 = 4 - 3 = 1$. (Верно)
$27^4 = (3^3)^4 = 3^{12}$. (Верно)
Случай 2: $v = -4$.
$\log_3 x = -4$, откуда $x = 3^{-4} = \frac{1}{81}$.
$u = 1 + v = 1 - 4 = -3$, откуда $y = -3$.
Получили решение $(\frac{1}{81}, -3)$. Проверим его:
$-3 - \log_3(\frac{1}{81}) = -3 - (-4) = 1$. (Верно)
$(\frac{1}{81})^{-3} = (3^{-4})^{-3} = 3^{12}$. (Верно)
Оба решения удовлетворяют ОДЗ ($x>0$).
Ответ: $(27, 4)$, $(\frac{1}{81}, -3)$.

б)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 3^{1+\log_3(x^2+y^2)} = 15, \\ \log_3(x^2-y^2) - \log_3(x-y) = 0 \end{cases} $
ОДЗ: $x^2+y^2 > 0$ (выполняется для всех $(x,y)$, кроме $(0,0)$), $x^2-y^2 > 0$, $x-y > 0$.
Из $x-y > 0$ и $x^2-y^2 = (x-y)(x+y) > 0$ следует, что $x+y > 0$.
Итак, ОДЗ: $x-y>0$ и $x+y>0$.
Упростим первое уравнение, используя свойства степени $a^{m+n}=a^m a^n$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$3^1 \cdot 3^{\log_3(x^2+y^2)} = 15$
$3(x^2+y^2) = 15$
$x^2+y^2 = 5$
Упростим второе уравнение, используя свойство логарифма $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$:
$\log_3(\frac{x^2-y^2}{x-y}) = 0$
По определению логарифма:
$\frac{x^2-y^2}{x-y} = 3^0 = 1$
$\frac{(x-y)(x+y)}{x-y} = 1$
Так как по ОДЗ $x-y \neq 0$, можем сократить:
$x+y=1$
Получили систему:
$ \begin{cases} x^2+y^2=5, \\ x+y=1 \end{cases} $
Из второго уравнения $y=1-x$. Подставим в первое:
$x^2+(1-x)^2 = 5$
$x^2+1-2x+x^2=5$
$2x^2-2x-4=0$
$x^2-x-2=0$
Корни квадратного уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.
Случай 1: $x=2$.
$y = 1 - 2 = -1$.
Проверим пару $(2, -1)$ по ОДЗ:
$x-y = 2 - (-1) = 3 > 0$. (Верно)
$x+y = 2 + (-1) = 1 > 0$. (Верно)
Решение $(2, -1)$ подходит.
Случай 2: $x=-1$.
$y = 1 - (-1) = 2$.
Проверим пару $(-1, 2)$ по ОДЗ:
$x-y = -1 - 2 = -3$. Условие $x-y>0$ не выполняется.
Это посторонний корень.
Ответ: $(2, -1)$.

в)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \log_5 x + 3^{\log_3 y} = 7, \\ x^y = 5^{12} \end{cases} $
ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$.
Упростим первое уравнение, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$\log_5 x + y = 7$
Прологарифмируем второе уравнение по основанию 5:
$\log_5(x^y) = \log_5(5^{12})$
$y \cdot \log_5 x = 12$
Получаем систему:
$ \begin{cases} \log_5 x + y = 7, \\ y \cdot \log_5 x = 12 \end{cases} $
Сделаем замену: $u = \log_5 x$ и $v = y$.
$ \begin{cases} u + v = 7, \\ uv = 12 \end{cases} $
По теореме, обратной теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 7t + 12 = 0$.
Корни уравнения: $t_1 = 3, t_2 = 4$.
Возможны два случая.
Случай 1: $u=3, v=4$.
$\log_5 x = 3 \implies x = 5^3 = 125$.
$y = 4$.
Решение $(125, 4)$ удовлетворяет ОДЗ ($125>0, 4>0$).
Случай 2: $u=4, v=3$.
$\log_5 x = 4 \implies x = 5^4 = 625$.
$y = 3$.
Решение $(625, 3)$ удовлетворяет ОДЗ ($625>0, 3>0$).
Проверим оба решения в исходной системе. Они оба подходят.
Ответ: $(125, 4)$, $(625, 3)$.

г)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 5^{1+\log_5(x^2-y^2)} = 25, \\ \log_5(x^2-y^2) = \log_5(x+y) \end{cases} $
ОДЗ: $x^2-y^2 > 0$ и $x+y > 0$.
Из этих условий следует, что $(x-y)(x+y) > 0$, и так как $x+y > 0$, то и $x-y>0$.
Упростим первое уравнение:
$5^1 \cdot 5^{\log_5(x^2-y^2)} = 25$
$5(x^2-y^2) = 25$
$x^2-y^2 = 5$
Рассмотрим второе уравнение. Так как основания логарифмов равны, приравняем их аргументы:
$x^2-y^2 = x+y$
Теперь у нас есть система из двух полученных уравнений:
$ \begin{cases} x^2-y^2 = 5, \\ x^2-y^2 = x+y \end{cases} $
Отсюда следует, что $x+y=5$.
Подставим это выражение в первое уравнение преобразованной системы:
$(x-y)(x+y) = 5$
$(x-y) \cdot 5 = 5$
$x-y = 1$
Получили простую систему линейных уравнений:
$ \begin{cases} x+y=5, \\ x-y=1 \end{cases} $
Сложим два уравнения: $(x+y)+(x-y) = 5+1 \implies 2x=6 \implies x=3$.
Вычтем второе уравнение из первого: $(x+y)-(x-y) = 5-1 \implies 2y=4 \implies y=2$.
Получили решение $(3, 2)$.
Проверим его по ОДЗ:
$x+y = 3+2 = 5 > 0$. (Верно)
$x-y = 3-2 = 1 > 0$. (Верно)
Решение подходит.
Ответ: $(3, 2)$.

196. a) $\begin{cases} \log_4 x - \log_2 y = 0, \\ x^2 - 2y^2 = 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3^{2\sqrt{x}-\sqrt{y}} = 81, \\ \lg \sqrt{xy} = 1 + \lg 3; \end{cases}$

В) $\begin{cases} \log_9 x - \log_3 y = 0, \\ x^2 - 5y^2 + 4 = 0; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} 2 \log_2 x - 3^y = 15, \\ 3^y \log_2 x = 2 \log_2 x + 3^{y+1}. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \log_4 x - \log_2 y = 0, \\ x^2 - 2y^2 = 8; \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$x > 0, y > 0$.

Преобразуем первое уравнение системы, используя формулу перехода к новому основанию логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$:

$\log_4 x - \log_2 y = 0$

$\log_{2^2} x - \log_2 y = 0$

$\frac{1}{2}\log_2 x - \log_2 y = 0$

$\log_2 x^{1/2} = \log_2 y$

$\log_2 \sqrt{x} = \log_2 y$

Из равенства логарифмов следует равенство их аргументов:

$\sqrt{x} = y$

Так как $y > 0$, можно возвести обе части в квадрат: $x = y^2$.

Подставим выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(y^2)^2 - 2y^2 = 8$

$y^4 - 2y^2 - 8 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $z = y^2$. Так как $y > 0$, то $z > 0$.

$z^2 - 2z - 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2$

$z_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4$

$z_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2$

Корень $z_2 = -2$ не удовлетворяет условию $z > 0$. Следовательно, $z=4$.

Вернемся к переменной $y$:

$y^2 = 4$

Так как по ОДЗ $y > 0$, то $y = 2$.

Найдем $x$:

$x = y^2 = 2^2 = 4$.

Полученное решение $(4; 2)$ удовлетворяет ОДЗ ($4 > 0, 2 > 0$).

Проверим решение, подставив в исходную систему:

$\log_4 4 - \log_2 2 = 1 - 1 = 0$

$4^2 - 2 \cdot 2^2 = 16 - 2 \cdot 4 = 16 - 8 = 8$

Оба уравнения верны.

Ответ: $(4; 2)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3^{2\sqrt{x} - \sqrt{y}} = 81, \\ \lg \sqrt{xy} = 1 + \lg 3; \end{cases} $

Найдем ОДЗ. Из-за наличия квадратных корней и логарифма, переменные должны удовлетворять условиям $x \ge 0, y \ge 0$ и $xy > 0$. Отсюда следует, что $x > 0, y > 0$.

Преобразуем первое уравнение:

$3^{2\sqrt{x} - \sqrt{y}} = 3^4$

$2\sqrt{x} - \sqrt{y} = 4$

Преобразуем второе уравнение, используя свойства логарифмов ($\lg 10 = 1$ и $\lg a + \lg b = \lg(ab)$):

$\lg \sqrt{xy} = \lg 10 + \lg 3$

$\lg \sqrt{xy} = \lg (10 \cdot 3)$

$\lg \sqrt{xy} = \lg 30$

$\sqrt{xy} = 30$

Возведем обе части в квадрат: $xy = 900$.

Получили новую систему:

$ \begin{cases} 2\sqrt{x} - \sqrt{y} = 4, \\ xy = 900; \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $\sqrt{y} = 2\sqrt{x} - 4$. Так как $\sqrt{y} \ge 0$, то $2\sqrt{x} - 4 \ge 0$, откуда $\sqrt{x} \ge 2$ и $x \ge 4$.

Возведем в квадрат: $y = (2\sqrt{x} - 4)^2 = 4x - 16\sqrt{x} + 16$.

Подставим это во второе уравнение $xy=900$:

$x(4x - 16\sqrt{x} + 16) = 900$

Сделаем замену $t = \sqrt{x}$, тогда $x=t^2$. Условие $x \ge 4$ превращается в $t \ge 2$.

$t^2(4t^2 - 16t + 16) = 900$

$4t^4 - 16t^3 + 16t^2 - 900 = 0$

Разделим на 4: $t^4 - 4t^3 + 4t^2 - 225 = 0$

$(t^2 - 2t)^2 - 225 = 0$

$(t^2 - 2t - 15)(t^2 - 2t + 15) = 0$

Рассмотрим уравнение $t^2 - 2t + 15 = 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 4 - 60 = -56 < 0$, действительных корней нет.

Рассмотрим уравнение $t^2 - 2t - 15 = 0$. Корни по теореме Виета: $t_1 = 5, t_2 = -3$.

Так как $t = \sqrt{x}$, то $t \ge 0$. Корень $t_2 = -3$ не подходит. Остается $t=5$, что удовлетворяет условию $t \ge 2$.

Вернемся к переменной $x$:

$\sqrt{x} = 5 \implies x = 25$.

Найдем $y$ из уравнения $xy=900$:

$y = \frac{900}{25} = 36$.

Решение $(25; 36)$ удовлетворяет ОДЗ ($25 > 0, 36 > 0$).

Проверка:

$3^{2\sqrt{25} - \sqrt{36}} = 3^{2 \cdot 5 - 6} = 3^{10-6} = 3^4 = 81$

$\lg\sqrt{25 \cdot 36} = \lg\sqrt{900} = \lg 30$. Также $1 + \lg 3 = \lg 10 + \lg 3 = \lg 30$.

Оба уравнения верны.

Ответ: $(25; 36)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \log_9 x - \log_3 y = 0, \\ x^2 - 5y^2 + 4 = 0; \end{cases} $

ОДЗ: $x > 0, y > 0$.

Преобразуем первое уравнение:

$\log_{3^2} x - \log_3 y = 0$

$\frac{1}{2}\log_3 x - \log_3 y = 0$

$\log_3 \sqrt{x} = \log_3 y$

$\sqrt{x} = y \implies x = y^2$.

Подставим $x = y^2$ во второе уравнение:

$(y^2)^2 - 5y^2 + 4 = 0$

$y^4 - 5y^2 + 4 = 0$

Сделаем замену $z = y^2$. Условие $z > 0$.

$z^2 - 5z + 4 = 0$

По теореме Виета, корни $z_1 = 1, z_2 = 4$. Оба корня положительны.

Рассмотрим оба случая:

1) $z = 1 \implies y^2 = 1$. Так как $y > 0$, то $y = 1$. Тогда $x = y^2 = 1^2 = 1$. Получили решение $(1; 1)$.

2) $z = 4 \implies y^2 = 4$. Так как $y > 0$, то $y = 2$. Тогда $x = y^2 = 2^2 = 4$. Получили решение $(4; 2)$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Проверим решение $(1; 1)$:

$\log_9 1 - \log_3 1 = 0 - 0 = 0$

$1^2 - 5 \cdot 1^2 + 4 = 1 - 5 + 4 = 0$

Верно.

Проверим решение $(4; 2)$:

$\log_9 4 - \log_3 2 = \log_{3^2} 2^2 - \log_3 2 = \frac{2}{2}\log_3 2 - \log_3 2 = \log_3 2 - \log_3 2 = 0$

$4^2 - 5 \cdot 2^2 + 4 = 16 - 5 \cdot 4 + 4 = 16 - 20 + 4 = 0$

Верно.

Ответ: $(1; 1), (4; 2)$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2 \log_2 x - 3^y = 15, \\ 3^y \log_2 x = 2 \log_2 x + 3^{y+1}; \end{cases} $

ОДЗ: $x > 0$.

Сделаем замену переменных. Пусть $a = \log_2 x$ и $b = 3^y$. Так как $y$ может быть любым действительным числом, $b = 3^y > 0$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} 2a - b = 15, \\ b \cdot a = 2a + 3b; \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $b$: $b = 2a - 15$.

Так как $b > 0$, то $2a - 15 > 0$, откуда $a > 7.5$.

Подставим $b = 2a - 15$ во второе уравнение:

$(2a - 15)a = 2a + 3(2a - 15)$

$2a^2 - 15a = 2a + 6a - 45$

$2a^2 - 15a = 8a - 45$

$2a^2 - 23a + 45 = 0$

Решим квадратное уравнение для $a$:

$D = (-23)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 45 = 529 - 360 = 169 = 13^2$

$a_1 = \frac{23 + 13}{4} = \frac{36}{4} = 9$

$a_2 = \frac{23 - 13}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$

Проверим корни по условию $a > 7.5$.

$a_1 = 9$ удовлетворяет условию $9 > 7.5$.

$a_2 = 2.5$ не удовлетворяет условию $2.5 > 7.5$, поэтому это посторонний корень.

Итак, $a = 9$.

Найдем $b$: $b = 2a - 15 = 2 \cdot 9 - 15 = 18 - 15 = 3$.

Вернемся к исходным переменным:

$a = \log_2 x = 9 \implies x = 2^9 = 512$.

$b = 3^y = 3 \implies 3^y = 3^1 \implies y = 1$.

Получили решение $(512; 1)$. Оно удовлетворяет ОДЗ ($512 > 0$).

Проверка:

$2\log_2 512 - 3^1 = 2 \cdot 9 - 3 = 18 - 3 = 15$

$3^1 \log_2 512 = 3 \cdot 9 = 27$. И $2\log_2 512 + 3^{1+1} = 2 \cdot 9 + 3^2 = 18 + 9 = 27$.

Оба уравнения верны.

Ответ: $(512; 1)$.