Страница 308 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

225. а) $x_1$ и $x_2$;

б) $x_1$ и $x_3$;

в) $x_2$ и $x_4$;

г) $x_3$ и $x_5$ (рис. 154).

Рис. 154

а) $x_1$ и $x_2$
Для сравнения значений функции $f(x_1)$ и $f(x_2)$ необходимо сравнить их ординаты (значения по оси y) на графике. Обе точки ($x_1$ и $x_2$) соответствуют положительным значениям функции, так как их точки на графике находятся выше оси Ox. Из рисунка видно, что на интервале, содержащем $x_1$ и $x_2$, функция возрастает. Следовательно, точка графика с абсциссой $x_2$ расположена выше, чем точка с абсциссой $x_1$. Таким образом, значение функции в точке $x_2$ больше, чем в точке $x_1$.
Ответ: $f(x_2) > f(x_1)$.

б) $x_1$ и $x_3$
Значения функции в точках $x_1$ и $x_3$ также положительны, поскольку соответствующие точки на графике лежат выше оси абсцисс. Визуально сравнивая высоту точек на графике, соответствующих абсциссам $x_1$ и $x_3$, мы видим, что точка с абсциссой $x_1$ расположена выше, чем точка с абсциссой $x_3$.
Ответ: $f(x_1) > f(x_3)$.

в) $x_2$ и $x_4$
Точка графика с абсциссой $x_2$ находится выше оси Ox, следовательно, $f(x_2)$ — положительное число ($f(x_2) > 0$). Точка графика с абсциссой $x_4$ находится ниже оси Ox, что означает, что $f(x_4)$ — отрицательное число ($f(x_4) < 0$). Любое положительное число больше любого отрицательного.
Ответ: $f(x_2) > f(x_4)$.

г) $x_3$ и $x_5$
Обе точки ($x_3$ и $x_5$) соответствуют положительным значениям функции, так как их точки на графике лежат выше оси Ox. Визуально сравнивая высоту этих точек, можно заключить, что точка с абсциссой $x_5$ находится выше, чем точка с абсциссой $x_3$.
Ответ: $f(x_5) > f(x_3)$.

226. а) $x_1$ и $x_2$;б) $x_3$ и $x_5$;в) $x_4$ и $x_5$;г) $x_2$ и $x_4$ (рис. 155).

y






x
a $x_1$

$x_2$

0
$x_3$ $x_4$
$x_5$ b

Рис. 155

Для решения задачи проанализируем график функции $y = f(x)$, представленный на рисунке. Значение функции $f(x)$ в точке определяется положением графика относительно оси абсцисс (оси $x$): если график выше оси, значение положительно; если ниже — отрицательно; если на оси — равно нулю. Знак производной $f'(x)$ определяется поведением функции: если функция возрастает (график идет вверх слева направо), производная положительна; если убывает (график идет вниз) — отрицательна; в точках экстремума (локальных максимумах и минимумах с гладкой кривой) производная равна нулю.

Поскольку вопрос сформулирован неполно, наиболее вероятная постановка задачи — сравнить значения функции и ее производной в указанных парах точек.

Сравним значения функции $f(x)$. В точке $x_1$ график расположен выше оси $x$, поэтому $f(x_1) > 0$. В точке $x_2$ график расположен ниже оси $x$, поэтому $f(x_2) < 0$. Так как любое положительное число больше любого отрицательного, то $f(x_1) > f(x_2)$.

Сравним значения производной $f'(x)$. В окрестности точки $x_1$ функция убывает, так как ее график направлен вниз. Следовательно, производная в этой точке отрицательна: $f'(x_1) < 0$. Точка $x_2$ является точкой локального минимума, в которой касательная к графику горизонтальна, поэтому производная равна нулю: $f'(x_2) = 0$. Сравнивая отрицательное число и ноль, получаем $f'(x_1) < f'(x_2)$.

Ответ: $f(x_1) > f(x_2)$ и $f'(x_1) < f'(x_2)$.

Сравним значения функции $f(x)$. В точке $x_3$ график пересекает ось $x$, значит, значение функции равно нулю: $f(x_3) = 0$. В точке $x_5$ график находится ниже оси $x$, поэтому значение функции отрицательно: $f(x_5) < 0$. Следовательно, $f(x_3) > f(x_5)$.

Сравним значения производной $f'(x)$. В окрестности точки $x_3$ функция возрастает (график идет вверх), поэтому производная положительна: $f'(x_3) > 0$. В окрестности точки $x_5$ функция убывает (график идет вниз), поэтому производная отрицательна: $f'(x_5) < 0$. Сравнивая положительное и отрицательное числа, получаем $f'(x_3) > f'(x_5)$.

Ответ: $f(x_3) > f(x_5)$ и $f'(x_3) > f'(x_5)$.

Сравним значения функции $f(x)$. В точке $x_4$ график находится выше оси $x$, поэтому $f(x_4) > 0$. В точке $x_5$ график находится ниже оси $x$, поэтому $f(x_5) < 0$. Следовательно, $f(x_4) > f(x_5)$.

Сравним значения производной $f'(x)$. В обеих точках, $x_4$ и $x_5$, функция убывает, поэтому $f'(x_4) < 0$ и $f'(x_5) < 0$. Судя по графику, участок, содержащий эти точки, является отрезком прямой линии. У прямой линии наклон (значение производной) постоянен во всех ее точках. Исходя из этого допущения, $f'(x_4) = f'(x_5)$.

Ответ: $f(x_4) > f(x_5)$ и $f'(x_4) = f'(x_5)$.

Сравним значения функции $f(x)$. В точке $x_2$ график находится ниже оси $x$, поэтому $f(x_2) < 0$. В точке $x_4$ график находится выше оси $x$, поэтому $f(x_4) > 0$. Следовательно, $f(x_2) < f(x_4)$.

Сравним значения производной $f'(x)$. Точка $x_2$ — это точка локального минимума, где производная равна нулю: $f'(x_2) = 0$. В точке $x_4$ функция убывает, поэтому ее производная отрицательна: $f'(x_4) < 0$. Сравнивая ноль и отрицательное число, получаем $f'(x_2) > f'(x_4)$.

Ответ: $f(x_2) < f(x_4)$ и $f'(x_2) > f'(x_4)$.

227. Функции $u, v, w$ дифференцируемы в точке $x$. Докажите, что $(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'.$

Для доказательства формулы производной произведения трех функций $(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'$ воспользуемся известным правилом дифференцирования произведения двух функций. Если функции $f(x)$ и $g(x)$ дифференцируемы в точке $x$, то их произведение также дифференцируемо в этой точке, и его производная вычисляется по формуле:

$(f \cdot g)' = f'g + fg'$

Представим произведение трех функций $u, v, w$ как произведение двух сомножителей, сгруппировав первые две функции. Пусть $f = uv$ и $g = w$. Тогда искомая производная будет производной от произведения $(f \cdot g) = (uv)w$.

Применим правило дифференцирования произведения к выражению $((uv)w)'$:

$( (uv)w )' = (uv)' \cdot w + (uv) \cdot w'$

Теперь нам необходимо найти производную сомножителя $(uv)'$. Для этого мы снова применяем правило дифференцирования произведения для функций $u$ и $v$:

$(uv)' = u'v + uv'$

Подставим полученное выражение для $(uv)'$ в нашу предыдущую формулу:

$( (uv)w )' = (u'v + uv')w + uvw'$

Наконец, раскроем скобки, умножив многочлен $(u'v + uv')$ на $w$:

$(u'v + uv')w = u'vw + uv'w$

Собирая все вместе, мы получаем окончательную формулу:

$(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Утверждение доказывается путем двукратного применения правила дифференцирования произведения двух функций. Сначала мы рассматриваем $uvw$ как $(uv)w$, получая $(uv)'w + (uv)w'$. Затем, раскрывая $(uv)'$ как $u'v + uv'$, и подставляя обратно, получаем $(u'v + uv')w + uvw'$, что после раскрытия скобок дает требуемое выражение $u'vw + uv'w + uvw'$.

228. Вычислите приближенное значение функции в точках $x_1$ и $x_2$:

a) $f(x)=\frac{1}{3}x^3 - x$, $x_1 = 2,0057$, $x_2 = 1,979$;

б) $f(x)=2 + 4x - x^2 + \frac{1}{4}x^4$, $x_1 = 3,005$, $x_2 = 1,98$.

а)

Для вычисления приближенных значений функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x$ в точках $x_1 = 2,0057$ и $x_2 = 1,979$ воспользуемся формулой приближенного вычисления с помощью дифференциала: $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$.

В качестве "удобной" точки $x_0$ выберем $x_0 = 2$, так как она близка к обеим заданным точкам $x_1$ и $x_2$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 2$:

$f(x_0) = f(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - 2 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{8-6}{3} = \frac{2}{3}$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 1 = x^2 - 1$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(x_0) = f'(2) = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$.

Теперь вычислим приближенные значения для $x_1$ и $x_2$.

Для точки $x_1 = 2,0057$:

Приращение аргумента $\Delta x_1 = x_1 - x_0 = 2,0057 - 2 = 0,0057$.

Подставляем значения в формулу:

$f(2,0057) \approx f(2) + f'(2) \cdot \Delta x_1 = \frac{2}{3} + 3 \cdot 0,0057 = \frac{2}{3} + 0,0171$.

Так как $\frac{2}{3} \approx 0,6667$, то:

$f(2,0057) \approx 0,6667 + 0,0171 = 0,6838$.

Для точки $x_2 = 1,979$:

Приращение аргумента $\Delta x_2 = x_2 - x_0 = 1,979 - 2 = -0,021$.

Подставляем значения в формулу:

$f(1,979) \approx f(2) + f'(2) \cdot \Delta x_2 = \frac{2}{3} + 3 \cdot (-0,021) = \frac{2}{3} - 0,063$.

$f(1,979) \approx 0,6667 - 0,063 = 0,6037$.

Ответ: $f(2,0057) \approx 0,6838$; $f(1,979) \approx 0,6037$.

б)

Дана функция $f(x) = 2 + 4x - x^2 + \frac{1}{4}x^4$ и точки $x_1 = 3,005$ и $x_2 = 1,98$.

Используем ту же формулу приближенного вычисления: $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (2 + 4x - x^2 + \frac{1}{4}x^4)' = 4 - 2x + \frac{1}{4} \cdot 4x^3 = 4 - 2x + x^3$.

Поскольку точки $x_1$ и $x_2$ находятся вблизи разных целых чисел, для каждой из них выберем свою опорную точку $x_0$.

Для точки $x_1 = 3,005$:

Выберем $x_0 = 3$.

1. Значение функции в точке $x_0 = 3$:

$f(3) = 2 + 4(3) - 3^2 + \frac{1}{4}(3)^4 = 2 + 12 - 9 + \frac{81}{4} = 5 + 20,25 = 25,25$.

2. Значение производной в точке $x_0 = 3$:

$f'(3) = 4 - 2(3) + 3^3 = 4 - 6 + 27 = 25$.

3. Приращение аргумента $\Delta x_1 = x_1 - x_0 = 3,005 - 3 = 0,005$.

4. Приближенное значение функции:

$f(3,005) \approx f(3) + f'(3) \cdot \Delta x_1 = 25,25 + 25 \cdot 0,005 = 25,25 + 0,125 = 25,375$.

Для точки $x_2 = 1,98$:

Выберем $x_0 = 2$.

1. Значение функции в точке $x_0 = 2$:

$f(2) = 2 + 4(2) - 2^2 + \frac{1}{4}(2)^4 = 2 + 8 - 4 + \frac{16}{4} = 6 + 4 = 10$.

2. Значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(2) = 4 - 2(2) + 2^3 = 4 - 4 + 8 = 8$.

3. Приращение аргумента $\Delta x_2 = x_2 - x_0 = 1,98 - 2 = -0,02$.

4. Приближенное значение функции:

$f(1,98) \approx f(2) + f'(2) \cdot \Delta x_2 = 10 + 8 \cdot (-0,02) = 10 - 0,16 = 9,84$.

Ответ: $f(3,005) \approx 25,375$; $f(1,98) \approx 9,84$.

229. Вычислите приближенное значение выражения:

a) $\sqrt{9,009}$;

б) $1,0001^{15}$;

в) $0,999^{-5}$;

г) $\sqrt[3]{8,008}$.

Для решения данных задач мы воспользуемся приближенной формулой, основанной на понятии дифференциала функции: $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$, где $x_0$ — точка, близкая к искомому значению, в которой легко вычислить значение функции, $\Delta x$ — малое приращение аргумента, а $f'(x_0)$ — значение производной функции в точке $x_0$.

а) $\sqrt{9.009}$

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x}$. Выберем точку $x_0 = 9$, так как она близка к $9.009$ и корень из нее легко извлекается. Тогда приращение аргумента $\Delta x = 9.009 - 9 = 0.009$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Вычислим значения функции и ее производной в точке $x_0 = 9$:

$f(x_0) = f(9) = \sqrt{9} = 3$.

$f'(x_0) = f'(9) = \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$.

Подставим найденные значения в формулу приближения:

$\sqrt{9.009} \approx f(9) + f'(9) \cdot 0.009 = 3 + \frac{1}{6} \cdot 0.009 = 3 + 0.0015 = 3.0015$.

Ответ: $3.0015$.

б) $1.0001^{15}$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^{15}$. В качестве $x_0$ выберем $1$. Тогда приращение $\Delta x = 1.0001 - 1 = 0.0001$.

Производная функции: $f'(x) = (x^{15})' = 15x^{14}$.

Вычислим значения в точке $x_0 = 1$:

$f(x_0) = f(1) = 1^{15} = 1$.

$f'(x_0) = f'(1) = 15 \cdot 1^{14} = 15$.

Подставим значения в формулу:

$1.0001^{15} \approx f(1) + f'(1) \cdot 0.0001 = 1 + 15 \cdot 0.0001 = 1 + 0.0015 = 1.0015$.

Ответ: $1.0015$.

в) $0.999^{-5}$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^{-5}$. В качестве $x_0$ выберем $1$. Тогда приращение $\Delta x = 0.999 - 1 = -0.001$.

Производная функции: $f'(x) = (x^{-5})' = -5x^{-6}$.

Вычислим значения в точке $x_0 = 1$:

$f(x_0) = f(1) = 1^{-5} = 1$.

$f'(x_0) = f'(1) = -5 \cdot 1^{-6} = -5$.

Подставим значения в формулу:

$0.999^{-5} \approx f(1) + f'(1) \cdot (-0.001) = 1 + (-5) \cdot (-0.001) = 1 + 0.005 = 1.005$.

Ответ: $1.005$.

г) $\sqrt[3]{8.008}$

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}$. Выберем точку $x_0 = 8$, так как кубический корень из $8$ легко вычисляется. Тогда приращение $\Delta x = 8.008 - 8 = 0.008$.

Производная функции: $f'(x) = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Вычислим значения в точке $x_0 = 8$:

$f(x_0) = f(8) = \sqrt[3]{8} = 2$.

$f'(x_0) = f'(8) = \frac{1}{3\sqrt[3]{8^2}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{64}} = \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}$.

Подставим значения в формулу:

$\sqrt[3]{8.008} \approx f(8) + f'(8) \cdot 0.008 = 2 + \frac{1}{12} \cdot 0.008 = 2 + \frac{0.008}{12} = 2 + \frac{8}{12000} = 2 + \frac{1}{1500}$.

Переводя дробь в десятичную форму, получаем $1/1500 = 0.000\overline{6}$.

Следовательно, $\sqrt[3]{8.008} \approx 2 + 0.000\overline{6} = 2.000\overline{6}$.

Ответ: $2.000\overline{6}$.

Найдите промежутки возрастания и убывания, точки максимума и минимума функций (230, 231).

230. a) $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 4x^2 - 7x + 18;$

б) $f(x) = \frac{2x^2}{3-x};$

в) $f(x) = \frac{x(x^3-4)}{2};$

г) $f(x) = \frac{x}{4-x}.$

а) $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 4x^2 - 7x + 18$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции:

$f'(x) = (-\frac{1}{3}x^3 + 4x^2 - 7x + 18)' = -\frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 4 \cdot 2x - 7 = -x^2 + 8x - 7$.

3. Найдём критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$-x^2 + 8x - 7 = 0$

$x^2 - 8x + 7 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 7$.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: $(-\infty; 1)$, $(1; 7)$, $(7; +\infty)$.

График производной $y = -x^2 + 8x - 7$ — это парабола с ветвями, направленными вниз.

• На интервале $(-\infty; 1)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция $f(x)$ убывает.
• На интервале $(1; 7)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает.
• На интервале $(7; +\infty)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция $f(x)$ убывает.

5. В точке $x = 1$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка минимума. $x_{min} = 1$.

В точке $x = 7$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка максимума. $x_{max} = 7$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1; 7]$, убывает на промежутках $(-\infty; 1]$ и $[7; +\infty)$; точка минимума $x_{min} = 1$, точка максимума $x_{max} = 7$.

б) $f(x) = \frac{2x^2}{3-x}$

1. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $3 - x \neq 0$, откуда $x \neq 3$. $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Найдём производную функции по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(2x^2)'(3-x) - 2x^2(3-x)'}{(3-x)^2} = \frac{4x(3-x) - 2x^2(-1)}{(3-x)^2} = \frac{12x - 4x^2 + 2x^2}{(3-x)^2} = \frac{12x - 2x^2}{(3-x)^2} = \frac{2x(6-x)}{(3-x)^2}$.

3. Найдём критические точки из условия $f'(x) = 0$:

$\frac{2x(6-x)}{(3-x)^2} = 0$

$2x(6-x) = 0$, при этом $(3-x)^2 \neq 0$.

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 6$.

4. Исследуем знак производной на интервалах, учитывая точку разрыва $x=3$: $(-\infty; 0)$, $(0; 3)$, $(3; 6)$, $(6; +\infty)$.

Знаменатель $(3-x)^2$ всегда положителен при $x \neq 3$. Знак производной определяется знаком числителя $2x(6-x)$.

• На интервале $(-\infty; 0)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
• На интервале $(0; 3)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• На интервале $(3; 6)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• На интервале $(6; +\infty)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.

5. В точке $x = 0$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка минимума. $x_{min} = 0$.

В точке $x = 6$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка максимума. $x_{max} = 6$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[0; 3)$ и $(3; 6]$, убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[6; +\infty)$; точка минимума $x_{min} = 0$, точка максимума $x_{max} = 6$.

в) $f(x) = \frac{x(x^3-4)}{2}$

1. Преобразуем функцию: $f(x) = \frac{x^4 - 4x}{2} = \frac{1}{2}x^4 - 2x$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции:

$f'(x) = (\frac{1}{2}x^4 - 2x)' = \frac{1}{2} \cdot 4x^3 - 2 = 2x^3 - 2$.

3. Найдём критические точки из условия $f'(x) = 0$:

$2x^3 - 2 = 0$

$2x^3 = 2$

$x^3 = 1$

$x = 1$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

• При $x < 1$, $x^3 < 1$, $f'(x) = 2(x^3-1) < 0$, функция убывает.
• При $x > 1$, $x^3 > 1$, $f'(x) = 2(x^3-1) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x = 1$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка минимума. $x_{min} = 1$. Точек максимума нет.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 1]$; точка минимума $x_{min} = 1$, точек максимума нет.

г) $f(x) = \frac{x}{4-x}$

1. Область определения функции: $4 - x \neq 0$, откуда $x \neq 4$. $D(f) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

2. Найдём производную функции:

$f'(x) = (\frac{x}{4-x})' = \frac{(x)'(4-x) - x(4-x)'}{(4-x)^2} = \frac{1 \cdot (4-x) - x(-1)}{(4-x)^2} = \frac{4-x+x}{(4-x)^2} = \frac{4}{(4-x)^2}$.

3. Найдём критические точки. Уравнение $f'(x) = 0$ не имеет решений, так как $\frac{4}{(4-x)^2}$ никогда не равно нулю.

4. Исследуем знак производной. Так как числитель $4 > 0$ и знаменатель $(4-x)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $f'(x) > 0$ на всей области определения.

Следовательно, функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty; 4)$ и $(4; +\infty)$.

5. Так как производная не меняет знак и не обращается в ноль, у функции нет точек максимума и минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 4)$ и $(4; +\infty)$; промежутков убывания нет; точек максимума и минимума нет.

231. а) $f(x) = \cos 2x - 2 \cos x$;

б) $f(x) = 2 - \sin \frac{x}{2}$;

в) $f(x) = 2 \sin x + \cos 2x$;

г) $f(x) = 3x - \cos 3x$.

а)

Чтобы найти первообразную для функции $f(x) = \cos 2x - 2 \cos x$, необходимо найти ее неопределенный интеграл $F(x) = \int f(x) \,dx$.

Используем свойство линейности интеграла (интеграл суммы/разности равен сумме/разности интегралов):

$F(x) = \int (\cos 2x - 2 \cos x) \,dx = \int \cos 2x \,dx - \int 2 \cos x \,dx = \int \cos 2x \,dx - 2 \int \cos x \,dx$.

Теперь найдем каждый интеграл по отдельности, используя табличные интегралы:

1. Для первого интеграла применим формулу $\int \cos(kx) \,dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$. В нашем случае $k=2$.

$\int \cos 2x \,dx = \frac{1}{2} \sin 2x$.

2. Для второго интеграла воспользуемся основной формулой $\int \cos x \,dx = \sin x + C$.

$2 \int \cos x \,dx = 2 \sin x$.

Объединяя результаты и добавляя общую константу интегрирования $C$, получаем семейство всех первообразных:

$F(x) = \frac{1}{2} \sin 2x - 2 \sin x + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{2} \sin 2x - 2 \sin x + C$.

б)

Найдем неопределенный интеграл для функции $f(x) = 2 - \sin \frac{x}{2}$ для нахождения ее первообразной.

$F(x) = \int (2 - \sin \frac{x}{2}) \,dx = \int 2 \,dx - \int \sin \frac{x}{2} \,dx$.

Найдем каждый интеграл:

1. Интеграл от константы: $\int 2 \,dx = 2x$.

2. Для второго интеграла применим формулу $\int \sin(kx) \,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$. В данном случае $k = \frac{1}{2}$.

$\int \sin \frac{x}{2} \,dx = -\frac{1}{1/2} \cos \frac{x}{2} = -2 \cos \frac{x}{2}$.

Вычитая второй результат из первого и добавляя константу интегрирования $C$, получаем:

$F(x) = 2x - (-2 \cos \frac{x}{2}) + C = 2x + 2 \cos \frac{x}{2} + C$.

Ответ: $F(x) = 2x + 2 \cos \frac{x}{2} + C$.

в)

Найдем первообразную для функции $f(x) = 2 \sin x + \cos 2x$, вычислив ее неопределенный интеграл.

$F(x) = \int (2 \sin x + \cos 2x) \,dx = \int 2 \sin x \,dx + \int \cos 2x \,dx = 2 \int \sin x \,dx + \int \cos 2x \,dx$.

Найдем каждый интеграл:

1. Интеграл от синуса: $2 \int \sin x \,dx = -2 \cos x$.

2. Интеграл от косинуса двойного угла (как в пункте а)): $\int \cos 2x \,dx = \frac{1}{2} \sin 2x$.

Складывая результаты и добавляя константу интегрирования $C$, получаем:

$F(x) = -2 \cos x + \frac{1}{2} \sin 2x + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{2} \sin 2x - 2 \cos x + C$.

г)

Для нахождения первообразной функции $f(x) = 3x - \cos 3x$ найдем ее неопределенный интеграл.

$F(x) = \int (3x - \cos 3x) \,dx = \int 3x \,dx - \int \cos 3x \,dx$.

Найдем каждый интеграл:

1. Интеграл от степенной функции по формуле $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$\int 3x \,dx = 3 \int x^1 \,dx = 3 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{3}{2}x^2$.

2. Интеграл от косинуса по формуле $\int \cos(kx) \,dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$. Здесь $k=3$.

$\int \cos 3x \,dx = \frac{1}{3} \sin 3x$.

Вычитая второй результат из первого и добавляя константу интегрирования $C$, получаем:

$F(x) = \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{3} \sin 3x + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{3} \sin 3x + C$.

Исследуйте функцию и постройте ее график (232—234).

232. a) $f(x) = x^2 (x - 2)^2$;

б) $f(x) = \frac{8}{x} + \frac{x}{2}$;

в) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x$;

г) $f(x) = \frac{x}{4 - x^2}$.

а) $f(x) = x^2(x-2)^2$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения.
Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.
$D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и периодичность.
$f(-x) = (-x)^2(-x-2)^2 = x^2(-(x+2))^2 = x^2(x+2)^2$.
Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной. Функция непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью OY: $x=0 \implies f(0) = 0^2(0-2)^2 = 0$. Точка пересечения (0, 0).
- С осью OX: $f(x)=0 \implies x^2(x-2)^2 = 0$. Корни $x=0$ и $x=2$. Точки пересечения (0, 0) и (2, 0). В этих точках график касается оси OX, так как кратность корней равна 2.

4. Асимптоты.
- Вертикальных асимптот нет, так как функция определена на всей числовой оси.
- Наклонные (и горизонтальные) асимптоты. Раскроем скобки: $f(x) = x^2(x^2 - 4x + 4) = x^4 - 4x^3 + 4x^2$.
$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} x^4 = +\infty$.
Горизонтальных асимптот нет. Наклонных асимптот также нет.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
Найдем первую производную: $f'(x) = (x^4 - 4x^3 + 4x^2)' = 4x^3 - 12x^2 + 8x$.
Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $4x^3 - 12x^2 + 8x = 0 \implies 4x(x^2 - 3x + 2) = 0 \implies 4x(x-1)(x-2) = 0$.
Критические точки: $x_1=0$, $x_2=1$, $x_3=2$.
Исследуем знак производной на интервалах:
- $(-\infty; 0)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
- $(0; 1)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- $(1; 2)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
- $(2; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
Точка $x=0$ - точка локального минимума, $f(0)=0$.
Точка $x=1$ - точка локального максимума, $f(1) = 1^2(1-2)^2 = 1$.
Точка $x=2$ - точка локального минимума, $f(2) = 2^2(2-2)^2 = 0$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
Найдем вторую производную: $f''(x) = (4x^3 - 12x^2 + 8x)' = 12x^2 - 24x + 8$.
Приравняем вторую производную к нулю: $12x^2 - 24x + 8 = 0 \implies 3x^2 - 6x + 2 = 0$.
$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.
$x_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.42$, $x_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 1.58$.
Исследуем знак второй производной:
- $(-\infty; 1 - \frac{\sqrt{3}}{3})$: $f''(x) > 0$, график вогнутый (выпуклый вниз).
- $(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}; 1 + \frac{\sqrt{3}}{3})$: $f''(x) < 0$, график выпуклый (выпуклый вверх).
- $(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$: $f''(x) > 0$, график вогнутый (выпуклый вниз).
Точки $x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ - точки перегиба. Значения функции в этих точках: $f(1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{9}$.

7. Построение графика.
На основе проведенного исследования строим график. График имеет форму буквы 'W'. Он касается оси Ox в точках (0,0) и (2,0), которые являются точками минимума. Между ними, в точке (1,1), находится локальный максимум. Точки перегиба $(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9})$ и $(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9})$.

Ответ: Функция $f(x) = x^2(x-2)^2$ определена для всех $x$. Пересекает оси в точках (0,0) и (2,0). Локальные минимумы в точках (0,0) и (2,0), локальный максимум в точке (1,1). Точки перегиба при $x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$. Асимптот нет. График представляет собой W-образную кривую.

б) $f(x) = \frac{8}{x} + \frac{x}{2}$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения.
Функция не определена, когда знаменатель равен нулю: $x \neq 0$.
$D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Четность и периодичность.
$f(-x) = \frac{8}{-x} + \frac{-x}{2} = -(\frac{8}{x} + \frac{x}{2}) = -f(x)$.
Функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат. Функция непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью OY: $x=0$ не входит в область определения, пересечения нет.
- С осью OX: $f(x)=0 \implies \frac{8}{x} + \frac{x}{2} = 0 \implies \frac{16+x^2}{2x} = 0$. Уравнение $16+x^2=0$ не имеет действительных корней. Пересечений с осью OX нет.

4. Асимптоты.
- Вертикальная асимптота: $x=0$.
$\lim_{x \to 0^+} (\frac{8}{x} + \frac{x}{2}) = +\infty$, $\lim_{x \to 0^-} (\frac{8}{x} + \frac{x}{2}) = -\infty$.
- Наклонная асимптота $y=kx+b$:
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (\frac{8}{x^2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
$b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} (\frac{8}{x} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2}x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{8}{x} = 0$.
Наклонная асимптота: $y = \frac{1}{2}x$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
$f'(x) = (\frac{8}{x} + \frac{x}{2})' = -\frac{8}{x^2} + \frac{1}{2}$.
$f'(x)=0 \implies -\frac{8}{x^2} + \frac{1}{2} = 0 \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4$.
Критические точки: $x_1=-4$, $x_2=4$.
- $(-\infty; -4)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- $(-4; 0)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
- $(0; 4)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
- $(4; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
$x=-4$ - точка локального максимума, $f(-4) = \frac{8}{-4} + \frac{-4}{2} = -4$. Точка (-4, -4).
$x=4$ - точка локального минимума, $f(4) = \frac{8}{4} + \frac{4}{2} = 4$. Точка (4, 4).

6. Промежутки выпуклости и вогнутости.
$f''(x) = (-\frac{8}{x^2})' = (-8x^{-2})' = 16x^{-3} = \frac{16}{x^3}$.
$f''(x)$ не равна нулю нигде. Знак зависит от знака $x$.
- $(-\infty; 0)$: $f''(x) < 0$, график выпуклый (вверх).
- $(0; +\infty)$: $f''(x) > 0$, график вогнутый (вниз).
Точек перегиба нет.

7. Построение графика.
График состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Ось OY ($x=0$) - вертикальная асимптота, прямая $y=x/2$ - наклонная асимптота. Ветвь в первой четверти имеет точку минимума (4,4). Ветвь в третьей четверти имеет точку максимума (-4,-4).

Ответ: Функция $f(x) = \frac{8}{x} + \frac{x}{2}$ нечетная, с областью определения $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Вертикальная асимптота $x=0$, наклонная асимптота $y = \frac{1}{2}x$. Локальный максимум в точке (-4,-4), локальный минимум в точке (4,4). График выпуклый на $(-\infty; 0)$ и вогнутый на $(0; +\infty)$.

в) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения.
Функция - многочлен, определена для всех $x$. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и периодичность.
$f(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 - 9(-x) = -x^3 - 3x^2 + 9x$.
$f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$. Функция общего вида. Непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью OY: $x=0 \implies f(0)=0$. Точка (0, 0).
- С осью OX: $f(x)=0 \implies x(x^2 - 3x - 9) = 0$.
$x_1=0$. $x^2 - 3x - 9 = 0 \implies x_{2,3} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4(1)(-9)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{3 \pm 3\sqrt{5}}{2}$.
Точки пересечения: (0, 0), $(\frac{3-3\sqrt{5}}{2}, 0) \approx (-1.85, 0)$, $(\frac{3+3\sqrt{5}}{2}, 0) \approx (4.85, 0)$.

4. Асимптоты.
Функция является многочленом, поэтому вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот нет.
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x+1)(x-3)$.
Критические точки: $x=-1$ и $x=3$.
- $(-\infty; -1)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- $(-1; 3)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
- $(3; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
$x=-1$ - точка локального максимума, $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) = -1 - 3 + 9 = 5$. Точка (-1, 5).
$x=3$ - точка локального минимума, $f(3) = 3^3 - 3(3)^2 - 9(3) = 27 - 27 - 27 = -27$. Точка (3, -27).

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$f''(x) = (3x^2 - 6x - 9)' = 6x - 6 = 6(x-1)$.
$f''(x)=0 \implies x=1$.
- $(-\infty; 1)$: $f''(x) < 0$, график выпуклый (вверх).
- $(1; +\infty)$: $f''(x) > 0$, график вогнутый (вниз).
$x=1$ - точка перегиба. $f(1) = 1 - 3 - 9 = -11$. Точка (1, -11).

7. Построение графика.
Наносим на координатную плоскость точки пересечения с осями, точки экстремумов и точку перегиба и соединяем их плавной линией с учетом интервалов монотонности и выпуклости. Получаем график кубической параболы.

Ответ: Функция $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x$ - кубическая парабола. Пересечение с осями в точках $(0,0)$, $(\frac{3 \pm 3\sqrt{5}}{2}, 0)$. Локальный максимум в (-1, 5), локальный минимум в (3, -27). Точка перегиба в (1, -11). Асимптот нет.

г) $f(x) = \frac{x}{4-x^2}$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения.
$4-x^2 \neq 0 \implies x \neq \pm 2$.
$D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Четность и периодичность.
$f(-x) = \frac{-x}{4-(-x)^2} = \frac{-x}{4-x^2} = -f(x)$.
Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат. Непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью OY: $x=0 \implies f(0)=0$. Точка (0, 0).
- С осью OX: $f(x)=0 \implies \frac{x}{4-x^2}=0 \implies x=0$. Точка (0, 0).

4. Асимптоты.
- Вертикальные асимптоты: $x=-2$ и $x=2$.
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to 2^-} f(x) = +\infty$.
$\lim_{x \to -2^+} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to -2^-} f(x) = +\infty$.
- Горизонтальная асимптота:
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{4-x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{-x^2} = 0$.
Горизонтальная асимптота: $y=0$ (ось OX).

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
$f'(x) = \frac{(x)'(4-x^2) - x(4-x^2)'}{(4-x^2)^2} = \frac{1(4-x^2) - x(-2x)}{(4-x^2)^2} = \frac{4-x^2+2x^2}{(4-x^2)^2} = \frac{x^2+4}{(4-x^2)^2}$.
$f'(x) > 0$ для всех $x$ из области определения, так как $x^2+4>0$ и $(4-x^2)^2>0$ при $x \neq \pm 2$.
Функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty, -2)$, $(-2, 2)$, $(2, +\infty)$. Точек экстремума нет.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$f''(x) = \left(\frac{x^2+4}{(4-x^2)^2}\right)' = \frac{2x(4-x^2)^2 - (x^2+4) \cdot 2(4-x^2)(-2x)}{(4-x^2)^4} = \frac{2x(4-x^2)( (4-x^2) + 2(x^2+4) )}{(4-x^2)^4} = \frac{2x(x^2+12)}{(4-x^2)^3}$.
$f''(x)=0$ при $x=0$.
- $(-\infty; -2)$: $f''(x) > 0$, график вогнутый (вниз).
- $(-2; 0)$: $f''(x) < 0$, график выпуклый (вверх).
- $(0; 2)$: $f''(x) > 0$, график вогнутый (вниз).
- $(2; +\infty)$: $f''(x) < 0$, график выпуклый (вверх).
$x=0$ - точка перегиба. $f(0)=0$. Точка (0, 0).

7. Построение графика.
График состоит из трех ветвей. Центральная ветвь проходит через начало координат (точка перегиба) и возрастает от $-\infty$ до $+\infty$ между асимптотами $x=-2$ и $x=2$. Левая ветвь возрастает от 0 (горизонтальная асимптота) до $+\infty$ (у асимптоты $x=-2$). Правая ветвь возрастает от $-\infty$ (у асимптоты $x=2$) до 0 (горизонтальная асимптота).

Ответ: Функция $f(x) = \frac{x}{4-x^2}$ нечетная, с областью определения $x \neq \pm 2$. Вертикальные асимптоты $x=-2$ и $x=2$, горизонтальная асимптота $y=0$. Функция возрастает на всей области определения. Точек экстремума нет. Точка перегиба в (0,0). График вогнутый на $(-\infty, -2)$ и $(0,2)$, выпуклый на $(-2,0)$ и $(2, +\infty)$.