Номер 230, страница 308 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 230, страница 308.
№230 (с. 308)
Условие. №230 (с. 308)
скриншот условия

Найдите промежутки возрастания и убывания, точки максимума и минимума функций (230, 231).
230. a) $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 4x^2 - 7x + 18;$
б) $f(x) = \frac{2x^2}{3-x};$
в) $f(x) = \frac{x(x^3-4)}{2};$
г) $f(x) = \frac{x}{4-x}.$
Решение 1. №230 (с. 308)

Решение 3. №230 (с. 308)

Решение 5. №230 (с. 308)
а) $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 4x^2 - 7x + 18$
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Найдём производную функции:
$f'(x) = (-\frac{1}{3}x^3 + 4x^2 - 7x + 18)' = -\frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 4 \cdot 2x - 7 = -x^2 + 8x - 7$.
3. Найдём критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$-x^2 + 8x - 7 = 0$
$x^2 - 8x + 7 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 7$.
4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: $(-\infty; 1)$, $(1; 7)$, $(7; +\infty)$.
График производной $y = -x^2 + 8x - 7$ — это парабола с ветвями, направленными вниз.
- На интервале $(-\infty; 1)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция $f(x)$ убывает.
- На интервале $(1; 7)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает.
- На интервале $(7; +\infty)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция $f(x)$ убывает.
5. В точке $x = 1$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка минимума. $x_{min} = 1$.
В точке $x = 7$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка максимума. $x_{max} = 7$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[1; 7]$, убывает на промежутках $(-\infty; 1]$ и $[7; +\infty)$; точка минимума $x_{min} = 1$, точка максимума $x_{max} = 7$.
б) $f(x) = \frac{2x^2}{3-x}$
1. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $3 - x \neq 0$, откуда $x \neq 3$. $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
2. Найдём производную функции по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(2x^2)'(3-x) - 2x^2(3-x)'}{(3-x)^2} = \frac{4x(3-x) - 2x^2(-1)}{(3-x)^2} = \frac{12x - 4x^2 + 2x^2}{(3-x)^2} = \frac{12x - 2x^2}{(3-x)^2} = \frac{2x(6-x)}{(3-x)^2}$.
3. Найдём критические точки из условия $f'(x) = 0$:
$\frac{2x(6-x)}{(3-x)^2} = 0$
$2x(6-x) = 0$, при этом $(3-x)^2 \neq 0$.
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 6$.
4. Исследуем знак производной на интервалах, учитывая точку разрыва $x=3$: $(-\infty; 0)$, $(0; 3)$, $(3; 6)$, $(6; +\infty)$.
Знаменатель $(3-x)^2$ всегда положителен при $x \neq 3$. Знак производной определяется знаком числителя $2x(6-x)$.
- На интервале $(-\infty; 0)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
- На интервале $(0; 3)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(3; 6)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(6; +\infty)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
5. В точке $x = 0$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка минимума. $x_{min} = 0$.
В точке $x = 6$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка максимума. $x_{max} = 6$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $[0; 3)$ и $(3; 6]$, убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[6; +\infty)$; точка минимума $x_{min} = 0$, точка максимума $x_{max} = 6$.
в) $f(x) = \frac{x(x^3-4)}{2}$
1. Преобразуем функцию: $f(x) = \frac{x^4 - 4x}{2} = \frac{1}{2}x^4 - 2x$.
Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Найдём производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{2}x^4 - 2x)' = \frac{1}{2} \cdot 4x^3 - 2 = 2x^3 - 2$.
3. Найдём критические точки из условия $f'(x) = 0$:
$2x^3 - 2 = 0$
$2x^3 = 2$
$x^3 = 1$
$x = 1$.
4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.
- При $x < 1$, $x^3 < 1$, $f'(x) = 2(x^3-1) < 0$, функция убывает.
- При $x > 1$, $x^3 > 1$, $f'(x) = 2(x^3-1) > 0$, функция возрастает.
5. В точке $x = 1$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка минимума. $x_{min} = 1$. Точек максимума нет.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[1; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 1]$; точка минимума $x_{min} = 1$, точек максимума нет.
г) $f(x) = \frac{x}{4-x}$
1. Область определения функции: $4 - x \neq 0$, откуда $x \neq 4$. $D(f) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.
2. Найдём производную функции:
$f'(x) = (\frac{x}{4-x})' = \frac{(x)'(4-x) - x(4-x)'}{(4-x)^2} = \frac{1 \cdot (4-x) - x(-1)}{(4-x)^2} = \frac{4-x+x}{(4-x)^2} = \frac{4}{(4-x)^2}$.
3. Найдём критические точки. Уравнение $f'(x) = 0$ не имеет решений, так как $\frac{4}{(4-x)^2}$ никогда не равно нулю.
4. Исследуем знак производной. Так как числитель $4 > 0$ и знаменатель $(4-x)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $f'(x) > 0$ на всей области определения.
Следовательно, функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty; 4)$ и $(4; +\infty)$.
5. Так как производная не меняет знак и не обращается в ноль, у функции нет точек максимума и минимума.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 4)$ и $(4; +\infty)$; промежутков убывания нет; точек максимума и минимума нет.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 230 расположенного на странице 308 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №230 (с. 308), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.