Номер 237, страница 309 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 237, страница 309.

Условие.

237. Сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна 20 см. Какой длины должны быть катеты, чтобы площадь треугольника была наибольшей?

Решение 1.

Решение 5.

Пусть длины катетов прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$. Согласно условию задачи, их сумма составляет 20 см:
$a + b = 20$

Площадь $S$ прямоугольного треугольника определяется как половина произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} a \cdot b$

Для того чтобы найти максимальное значение площади, выразим площадь как функцию одной переменной. Из первого уравнения выразим $b$ через $a$:
$b = 20 - a$

Теперь подставим это выражение в формулу площади:
$S(a) = \frac{1}{2} a (20 - a) = \frac{1}{2} (20a - a^2) = 10a - \frac{1}{2}a^2$

Полученная функция $S(a) = -\frac{1}{2}a^2 + 10a$ является квадратичной. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $a^2$ отрицателен ($- \frac{1}{2} < 0$). Максимальное значение такой функции достигается в вершине параболы.

Абсциссу вершины параболы, заданной уравнением $y = Ax^2 + Bx + C$, находят по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$. В нашем случае $A = -\frac{1}{2}$ и $B = 10$.

Найдем значение $a$, при котором площадь $S$ будет максимальной:
$a = -\frac{10}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = -\frac{10}{-1} = 10$ см.

Итак, один катет равен 10 см. Найдем длину второго катета:
$b = 20 - a = 20 - 10 = 10$ см.

Таким образом, для того чтобы площадь прямоугольного треугольника была наибольшей, он должен быть равнобедренным.

Ответ: чтобы площадь треугольника была наибольшей, длины катетов должны быть по 10 см каждая.