Номер 240, страница 309 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 240, страница 309.

Условие.

240. Картина высотой 1,4 м повешена на стену так, что ее нижний край на 1,8 м выше глаз наблюдателя. На каком расстоянии от стены должен встать наблюдатель, чтобы его положение было наиболее благоприятно для осмотра картины (т. е. чтобы угол зрения по вертикали был наибольшим)?

Решение 5.

Для решения этой задачи необходимо найти расстояние от стены, при котором угол зрения на картину по вертикали будет максимальным. Пусть $x$ — искомое расстояние от наблюдателя до стены в метрах.

Обозначим уровень глаз наблюдателя как горизонтальную прямую. Пусть нижний край картины находится на высоте $h_1$ от этой прямой, а верхний край — на высоте $h_2$. Согласно условию, высота картины составляет $1,4$ м, а ее нижний край на $1,8$ м выше глаз наблюдателя. Таким образом, имеем:

$h_1 = 1,8$ м

$h_2 = 1,8 + 1,4 = 3,2$ м

Пусть $\alpha$ — угол между горизонтальной линией взгляда и направлением на нижний край картины, а $\beta$ — угол между горизонтальной линией взгляда и направлением на верхний край картины. Угол зрения по вертикали, который мы хотим максимизировать, равен $\gamma = \beta - \alpha$.

Из прямоугольных треугольников, образованных глазом наблюдателя, точкой на стене на уровне глаз и краями картины, можно выразить тангенсы этих углов:

$tan(\alpha) = \frac{h_1}{x} = \frac{1,8}{x}$

$tan(\beta) = \frac{h_2}{x} = \frac{3,2}{x}$

Для максимизации угла $\gamma$ (который является острым углом в интервале $(0, \pi/2)$), можно максимизировать его тангенс, так как функция тангенса на этом интервале является возрастающей. Используем формулу тангенса разности углов:

$tan(\gamma) = tan(\beta - \alpha) = \frac{tan(\beta) - tan(\alpha)}{1 + tan(\beta) \cdot tan(\alpha)}$

Подставим выражения для $tan(\alpha)$ и $tan(\beta)$:

$tan(\gamma) = \frac{\frac{3,2}{x} - \frac{1,8}{x}}{1 + \frac{3,2}{x} \cdot \frac{1,8}{x}} = \frac{\frac{1,4}{x}}{1 + \frac{5,76}{x^2}} = \frac{\frac{1,4}{x}}{\frac{x^2 + 5,76}{x^2}} = \frac{1,4x}{x^2 + 5,76}$

Теперь нам нужно найти максимум функции $f(x) = \frac{1,4x}{x^2 + 5,76}$ при $x > 0$. Для этого найдем ее производную по $x$ и приравняем к нулю.

Используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 1,4x$ и $v(x) = x^2 + 5,76$. Тогда $u'(x) = 1,4$ и $v'(x) = 2x$.

$f'(x) = \frac{1,4(x^2 + 5,76) - 1,4x(2x)}{(x^2 + 5,76)^2} = \frac{1,4x^2 + 1,4 \cdot 5,76 - 2,8x^2}{(x^2 + 5,76)^2} = \frac{1,4(5,76 - x^2)}{(x^2 + 5,76)^2}$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$f'(x) = 0 \implies 1,4(5,76 - x^2) = 0$

$5,76 - x^2 = 0$

$x^2 = 5,76$

Так как расстояние $x$ должно быть положительным, берем положительный корень:

$x = \sqrt{5,76} = 2,4$ м

Чтобы убедиться, что это точка максимума, проверим знак производной. Знаменатель $(x^2 + 5,76)^2$ всегда положителен, поэтому знак производной определяется знаком выражения $(5,76 - x^2)$.

Если $0 < x < 2,4$, то $x^2 < 5,76$, и производная $f'(x)$ положительна, следовательно, функция $f(x)$ возрастает.

Если $x > 2,4$, то $x^2 > 5,76$, и производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно, функция $f(x)$ убывает.

Таким образом, при переходе через точку $x = 2,4$ производная меняет знак с плюса на минус, что соответствует точке максимума. Значит, при $x = 2,4$ м угол зрения $\gamma$ будет наибольшим.

Ответ: Наблюдатель должен встать на расстоянии 2,4 м от стены.