Номер 247, страница 310 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 247, страница 310.

Условие.

247. Найдите высоту конуса наименьшего объема, описанного около полушара радиусом $R$ так, чтобы центр основания конуса лежал в центре шара.

Решение 1.

Решение 5.

Обозначим высоту конуса как $H$, а радиус его основания как $r$. Радиус полушара, вокруг которого описан конус, равен $R$. Условие, что центр основания конуса лежит в центре шара, означает, что основание полушара лежит в плоскости основания конуса, и их центры совпадают. Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 H$. Наша задача — найти такое значение $H$, при котором объем $V$ будет минимальным.

Для нахождения связи между $H$ и $r$ рассмотрим осевое сечение всей геометрической фигуры. Сечением конуса будет равнобедренный треугольник, а сечением полушара — полукруг радиуса $R$, вписанный в этот треугольник так, что его диаметр лежит на основании треугольника. Пусть $\alpha$ — угол между высотой конуса и его образующей. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса $H$, радиусом основания $r$ и образующей, справедливо соотношение: $\tan \alpha = \frac{r}{H}$.

Образующая конуса является касательной к полукругу. Радиус полукруга $R$, проведенный из центра к точке касания, перпендикулярен образующей. Рассмотрим другой прямоугольный треугольник, у которого гипотенузой является высота конуса $H$ (отрезок от вершины до центра основания), а катетом, противолежащим углу $\alpha$, — радиус полушара $R$. Для этого треугольника справедливо: $\sin \alpha = \frac{R}{H}$.

Используя тригонометрическое тождество $\cot^2 \alpha + 1 = \csc^2 \alpha$, где $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{H}{r}$ и $\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha} = \frac{H}{R}$, получим связь между $r$ и $H$:$\left(\frac{H}{r}\right)^2 + 1 = \left(\frac{H}{R}\right)^2$$\frac{H^2}{r^2} = \frac{H^2}{R^2} - 1 = \frac{H^2 - R^2}{R^2}$Выразим отсюда $r^2$:$r^2 = \frac{H^2 R^2}{H^2 - R^2}$. Заметим, что из этого следует $H > R$, что соответствует геометрическому смыслу задачи.

Подставим полученное выражение для $r^2$ в формулу объема конуса, чтобы получить функцию одной переменной $H$:$V(H) = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{H^2 R^2}{H^2 - R^2}\right) H = \frac{\pi R^2}{3} \frac{H^3}{H^2 - R^2}$.

Для нахождения минимума объема найдем производную функции $V(H)$ по $H$ и приравняем ее к нулю. Константу $\frac{\pi R^2}{3}$ можно вынести за знак производной.$V'(H) = \frac{\pi R^2}{3} \left(\frac{H^3}{H^2 - R^2}\right)' = \frac{\pi R^2}{3} \frac{(H^3)'(H^2 - R^2) - H^3(H^2 - R^2)'}{(H^2 - R^2)^2}$$V'(H) = \frac{\pi R^2}{3} \frac{3H^2(H^2 - R^2) - H^3(2H)}{(H^2 - R^2)^2} = \frac{\pi R^2}{3} \frac{3H^4 - 3H^2R^2 - 2H^4}{(H^2 - R^2)^2} = \frac{\pi R^2}{3} \frac{H^4 - 3H^2R^2}{(H^2 - R^2)^2}$.

Приравняем производную к нулю: $V'(H)=0$.$\frac{H^4 - 3H^2R^2}{(H^2 - R^2)^2} = 0$.Поскольку $H > R$, знаменатель не равен нулю. Следовательно, числитель равен нулю:$H^4 - 3H^2R^2 = 0$$H^2(H^2 - 3R^2) = 0$.Так как $H > 0$, то $H^2 \neq 0$. Значит, $H^2 - 3R^2 = 0$, откуда $H^2 = 3R^2$.Поскольку высота $H$ — положительная величина, получаем $H = R\sqrt{3}$.

Чтобы убедиться, что это точка минимума, исследуем знак производной. Знак $V'(H)$ определяется знаком выражения $H^2(H^2 - 3R^2)$. При $R < H < R\sqrt{3}$, производная отрицательна ($V'(H) < 0$), а при $H > R\sqrt{3}$, производная положительна ($V'(H) > 0$). Это означает, что в точке $H = R\sqrt{3}$ функция объема $V(H)$ достигает своего минимума.

Ответ: высота конуса наименьшего объема равна $R\sqrt{3}$.