Номер 253, страница 310 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 253, страница 310.

Условие.

253. Объем правильной треугольной призмы равен $V$. Какова должна быть сторона основания, чтобы площадь полной поверхности призмы была наименьшей?

Решение 1.

Решение 5.

Пусть сторона основания правильной треугольной призмы равна $a$, а ее высота — $h$. Объем $V$ и площадь полной поверхности $S$ данной призмы выражаются формулами.

Основанием призмы является правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a$. Его площадь $S_{осн}$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Объем призмы $V$ равен произведению площади основания на высоту:

$V = S_{осн} \cdot h = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} h$

Площадь полной поверхности $S$ складывается из площадей двух оснований и площади боковой поверхности $S_{бок}$. Боковая поверхность состоит из трех одинаковых прямоугольников со сторонами $a$ и $h$.

$S = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + 3ah = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} + 3ah$

По условию задачи, объем $V$ является постоянной величиной. Нам нужно найти такое значение $a$, при котором площадь $S$ будет наименьшей. Для этого выразим $S$ как функцию одной переменной $a$. Из формулы объема найдем $h$:

$h = \frac{4V}{a^2\sqrt{3}}$

Теперь подставим это выражение для $h$ в формулу площади полной поверхности:

$S(a) = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} + 3a \left(\frac{4V}{a^2\sqrt{3}}\right) = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} + \frac{12V}{a\sqrt{3}}$

Для удобства дифференцирования можно упростить второе слагаемое:

$S(a) = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2 + \frac{12V\sqrt{3}}{3a} = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2 + \frac{4V\sqrt{3}}{a}$

Чтобы найти минимум функции $S(a)$, найдем ее производную по переменной $a$ и приравняем ее к нулю.

$S'(a) = \frac{d}{da}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a^2 + 4V\sqrt{3}a^{-1}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2a + 4V\sqrt{3} \cdot (-1)a^{-2}$

$S'(a) = \sqrt{3}a - \frac{4V\sqrt{3}}{a^2}$

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:

$\sqrt{3}a - \frac{4V\sqrt{3}}{a^2} = 0$

Так как сторона основания $a > 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $a^2$ и разделить на $\sqrt{3}$:

$a^3 - 4V = 0$

$a^3 = 4V$

$a = \sqrt[3]{4V}$

Чтобы убедиться, что найденная точка является точкой минимума, найдем вторую производную функции $S(a)$:

$S''(a) = \frac{d}{da}\left(\sqrt{3}a - 4V\sqrt{3}a^{-2}\right) = \sqrt{3} - 4V\sqrt{3}(-2)a^{-3} = \sqrt{3} + \frac{8V\sqrt{3}}{a^3}$

Поскольку объем $V > 0$ и сторона $a > 0$, вторая производная $S''(a)$ всегда положительна. Следовательно, в точке $a = \sqrt[3]{4V}$ функция площади полной поверхности $S(a)$ достигает своего минимума.

Ответ: Сторона основания должна быть равна $a = \sqrt[3]{4V}$.