Номер 259, страница 311 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения - номер 259, страница 311.

Условие.

259. Длина вертикально стоящей лестницы равна 5 м. Нижний конец лестницы начинает скользить с постоянной скоростью 2 м/с. С какой скоростью опускается в момент времени $t$ верхний конец лестницы, с каким ускорением?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения задачи введем систему координат. Пусть начало координат (0,0) находится в углу, образованном стеной и землей. Ось $Ox$ будет направлена горизонтально вдоль земли, а ось $Oy$ — вертикально вдоль стены. Обозначим через $x(t)$ горизонтальное положение нижнего конца лестницы и через $y(t)$ — вертикальное положение верхнего конца лестницы в момент времени $t$. Длина лестницы $L$ постоянна и равна 5 м.

Из условия известно, что нижний конец лестницы скользит с постоянной скоростью $v_x = \frac{dx}{dt} = 2$ м/с. В начальный момент времени $t=0$ лестница стояла вертикально, что соответствует начальным условиям $x(0) = 0$ и $y(0) = L = 5$ м.

Положение нижнего конца лестницы в любой момент времени $t$ можно найти, зная его постоянную скорость и начальное положение: $x(t) = x(0) + v_x t = 0 + 2t = 2t$.

Лестница, стена и земля образуют прямоугольный треугольник. Согласно теореме Пифагора, связь между положениями концов лестницы описывается уравнением:

$x(t)^2 + y(t)^2 = L^2$

Подставим известные данные:

$(2t)^2 + y(t)^2 = 5^2$

$4t^2 + y(t)^2 = 25$

Из этого уравнения можно выразить положение верхнего конца лестницы как функцию времени:

$y(t) = \sqrt{25 - 4t^2}$

Это выражение имеет смысл, пока подкоренное выражение неотрицательно, то есть $25 - 4t^2 \ge 0$, что дает $t \le 2.5$ с.

С какой скоростью опускается в момент времени t верхний конец лестницы

Скорость верхнего конца лестницы — это производная его координаты по времени, $v_y(t) = \frac{dy}{dt}$. Чтобы найти ее, продифференцируем по времени $t$ уравнение связи $x^2 + y^2 = 25$:

$\frac{d}{dt}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dt}(25)$

$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$

Используя обозначения для скоростей, получаем:

$2x v_x + 2y v_y = 0$

Отсюда выражаем искомую вертикальную скорость $v_y$:

$v_y = -\frac{x v_x}{y}$

Подставим в это уравнение ранее найденные выражения для $x(t)$, $y(t)$ и заданную скорость $v_x$:

$v_y(t) = -\frac{(2t) \cdot 2}{\sqrt{25 - 4t^2}} = -\frac{4t}{\sqrt{25 - 4t^2}}$

Знак «минус» говорит о том, что верхний конец лестницы движется вниз (в отрицательном направлении оси $Oy$). Вопрос «с какой скоростью опускается» подразумевает модуль (величину) этой скорости.

Ответ: Скорость, с которой опускается верхний конец лестницы, в момент времени $t$ равна $\frac{4t}{\sqrt{25 - 4t^2}}$ м/с.

С каким ускорением

Ускорение верхнего конца лестницы — это производная его скорости по времени, $a_y(t) = \frac{dv_y}{dt}$. Для его нахождения продифференцируем по времени $t$ полученное ранее соотношение для скоростей: $x v_x + y v_y = 0$.

$\frac{d}{dt}(x v_x + y v_y) = 0$

Применим правило дифференцирования произведения:

$(\frac{dx}{dt} \cdot v_x + x \cdot \frac{dv_x}{dt}) + (\frac{dy}{dt} \cdot v_y + y \cdot \frac{dv_y}{dt}) = 0$

Перепишем это в стандартных обозначениях:

$(v_x^2 + x a_x) + (v_y^2 + y a_y) = 0$

Поскольку по условию скорость $v_x$ постоянна ($v_x = 2$ м/с), ее производная по времени (горизонтальное ускорение) равна нулю: $a_x = 0$. Уравнение упрощается до:

$v_x^2 + v_y^2 + y a_y = 0$

Выразим отсюда искомое вертикальное ускорение $a_y$:

$a_y = -\frac{v_x^2 + v_y^2}{y}$

Теперь подставим известные выражения для $v_x$, $v_y(t)$ и $y(t)$:

$v_x^2 = 2^2 = 4$

$v_y(t)^2 = \left(-\frac{4t}{\sqrt{25 - 4t^2}}\right)^2 = \frac{16t^2}{25 - 4t^2}$

$y(t) = \sqrt{25 - 4t^2}$

Выполним подстановку и упрощение:

$a_y(t) = -\frac{4 + \frac{16t^2}{25 - 4t^2}}{\sqrt{25 - 4t^2}} = -\frac{\frac{4(25 - 4t^2) + 16t^2}{25 - 4t^2}}{\sqrt{25 - 4t^2}} = -\frac{\frac{100 - 16t^2 + 16t^2}{25 - 4t^2}}{\sqrt{25 - 4t^2}}$

$a_y(t) = -\frac{100}{(25 - 4t^2) \cdot \sqrt{25 - 4t^2}} = -\frac{100}{(25 - 4t^2)^{3/2}}$

Знак «минус» указывает, что ускорение направлено вниз.

Ответ: Ускорение верхнего конца лестницы в момент времени $t$ равно $-\frac{100}{(25 - 4t^2)^{3/2}}$ м/с$^2$.