Номер 261, страница 311 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 261, страница 311.

Условие.

261. Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот был сделан колесом за 8 с. Найдите угловую скорость колеса через 48 с после начала вращения.

Решение 1.

Решение 5.

По условию задачи, угол поворота колеса $\phi$ пропорционален квадрату времени $t$. Это можно выразить формулой:

$\phi(t) = k t^2$

где $k$ — это некоторый коэффициент пропорциональности.

Известно, что первый оборот был сделан колесом за время $t_1 = 8$ с. Один полный оборот соответствует углу $2\pi$ радиан. Используем эти данные, чтобы найти значение коэффициента $k$:

$\phi(t_1) = 2\pi$

$k \cdot (t_1)^2 = 2\pi$

$k \cdot (8)^2 = 2\pi$

$64k = 2\pi$

$k = \frac{2\pi}{64} = \frac{\pi}{32}$

Таким образом, зависимость угла поворота от времени имеет вид:

$\phi(t) = \frac{\pi}{32} t^2$

Угловая скорость $\omega$ является производной от угла поворота $\phi$ по времени $t$:

$\omega(t) = \frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\pi}{32} t^2 \right)$

$\omega(t) = \frac{\pi}{32} \cdot 2t = \frac{\pi}{16} t$

Теперь найдем угловую скорость колеса через $t_2 = 48$ с после начала вращения, подставив это значение времени в полученную формулу для $\omega(t)$:

$\omega(48) = \frac{\pi}{16} \cdot 48 = 3\pi$

Угловая скорость измеряется в радианах в секунду (рад/с).

Ответ: $3\pi$ рад/с.