Номер 257, страница 311 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения - номер 257, страница 311.

Условие.

257. Из пункта А по двум прямым, угол между которыми 60°, одновременно начали двигаться два тела. Первое движется равномерно со скоростью 5 км/ч, второе — по закону $s(t) = 2t^2 - t$. С какой скоростью они удаляются друг от друга в момент $t = 3$ ч? (s измеряется в километрах, t — в часах.)

Решение 1.

Решение 5.

Пусть $s_{1}(t)$ — расстояние, пройденное первым телом от точки А за время $t$, и $s_{2}(t)$ — расстояние, пройденное вторым телом. Расстояние между телами в момент времени $t$ обозначим как $L(t)$. Тела движутся по прямым, образующим угол $\alpha = 60^{\circ}$, поэтому в любой момент времени $t > 0$ тела и точка А образуют треугольник. По теореме косинусов, квадрат расстояния между телами равен:

$L(t)^2 = s_{1}(t)^2 + s_{2}(t)^2 - 2 \cdot s_{1}(t) \cdot s_{2}(t) \cdot \cos(\alpha)$

Так как $\cos(60^{\circ}) = 1/2$, формула упрощается:

$L(t)^2 = s_{1}(t)^2 + s_{2}(t)^2 - s_{1}(t) \cdot s_{2}(t)$

Заданы законы движения:

• Для первого тела (равномерное движение): $s_{1}(t) = v_{1}t = 5t$. Его скорость постоянна: $v_{1}(t) = s'_{1}(t) = 5$ км/ч.
• Для второго тела: $s_{2}(t) = 2t^2 - t$. Его скорость — это производная от пути по времени: $v_{2}(t) = s'_{2}(t) = (2t^2 - t)' = 4t - 1$ км/ч.

Нам нужно найти скорость, с которой тела удаляются друг от друга, то есть $L'(t)$, в момент времени $t = 3$ ч. Для этого продифференцируем уравнение для $L(t)^2$ по времени $t$:

$\frac{d}{dt}(L(t)^2) = \frac{d}{dt}(s_{1}(t)^2 + s_{2}(t)^2 - s_{1}(t)s_{2}(t))$

$2L(t)L'(t) = 2s_{1}(t)s'_{1}(t) + 2s_{2}(t)s'_{2}(t) - (s'_{1}(t)s_{2}(t) + s_{1}(t)s'_{2}(t))$

Отсюда скорость удаления $L'(t)$ равна:

$L'(t) = \frac{2s_{1}(t)v_{1}(t) + 2s_{2}(t)v_{2}(t) - v_{1}(t)s_{2}(t) - s_{1}(t)v_{2}(t)}{2L(t)}$

Вычислим все необходимые значения для момента времени $t = 3$ ч:

• Расстояние первого тела: $s_{1}(3) = 5 \cdot 3 = 15$ км.
• Скорость первого тела: $v_{1}(3) = 5$ км/ч.
• Расстояние второго тела: $s_{2}(3) = 2 \cdot 3^2 - 3 = 2 \cdot 9 - 3 = 18 - 3 = 15$ км.
• Скорость второго тела: $v_{2}(3) = 4 \cdot 3 - 1 = 12 - 1 = 11$ км/ч.

Теперь найдем расстояние между телами $L(3)$:

$L(3)^2 = s_{1}(3)^2 + s_{2}(3)^2 - s_{1}(3)s_{2}(3) = 15^2 + 15^2 - 15 \cdot 15 = 225 + 225 - 225 = 225$

$L(3) = \sqrt{225} = 15$ км.

Подставим все найденные значения в формулу для $L'(3)$:

$L'(3) = \frac{2 \cdot 15 \cdot 5 + 2 \cdot 15 \cdot 11 - (5 \cdot 15 + 15 \cdot 11)}{2 \cdot 15}$

$L'(3) = \frac{150 + 330 - (75 + 165)}{30} = \frac{480 - 240}{30} = \frac{240}{30} = 8$ км/ч.

Ответ: 8 км/ч.