Номер 250, страница 310 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 250, страница 310.

Условие.

250. На окружности дана точка $A$. Провести хорду $BC$ параллельно касательной в точке $A$ так, чтобы площадь треугольника $ABC$ была наибольшей.

Решение 1.

Решение 5.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Точка $A$ лежит на этой окружности. Нам необходимо найти хорду $BC$, параллельную касательной в точке $A$, такую, чтобы площадь треугольника $ABC$ была максимальной.

Площадь треугольника $ABC$ определяется формулой $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_A$, где $h_A$ — это высота, опущенная из вершины $A$ на основание $BC$.

Касательная к окружности в точке $A$ перпендикулярна радиусу $OA$. Поскольку по условию хорда $BC$ параллельна этой касательной, она также должна быть перпендикулярна радиусу $OA$ и, соответственно, диаметру, проходящему через точку $A$.

Пусть $AD$ — это диаметр окружности, содержащий точку $A$. Хорда $BC$ пересекает этот диаметр в некоторой точке $M$. Таким образом, высота треугольника $h_A$ равна длине отрезка $AM$. Для максимизации площади $S$ нам нужно максимизировать произведение $BC \cdot AM$.

Выразим эти величины через одну переменную. Пусть расстояние от центра $O$ до хорды $BC$ равно $x$, то есть $OM = x$, где $0 \le x < R$. В прямоугольном треугольнике $OMB$ (с прямым углом при $M$) по теореме Пифагора находим половину длины хорды: $MB = \sqrt{OB^2 - OM^2} = \sqrt{R^2 - x^2}$. Отсюда вся хорда $BC = 2\sqrt{R^2 - x^2}$.

Высота $AM$ зависит от положения точки $M$. Чтобы высота, а следовательно и площадь, была максимальной, точка $M$ должна лежать на радиусе $OD$, то есть хорда $BC$ должна находиться по другую сторону от центра $O$ относительно точки $A$. В этом случае высота $AM = AO + OM = R + x$.

Таким образом, мы ищем максимум функции площади, зависящей от $x$:
$S(x) = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{R^2 - x^2}) \cdot (R + x) = (R+x)\sqrt{R^2-x^2}$.

Для нахождения точки максимума можно исследовать на экстремум квадрат этой функции, так как $S(x)$ на рассматриваемом интервале положительна. Это упрощает вычисления.
$f(x) = S^2(x) = (R+x)^2(R^2-x^2) = (R+x)^2(R-x)(R+x) = (R+x)^3(R-x)$.

Найдем производную функции $f(x)$ по переменной $x$ и приравняем ее к нулю:
$f'(x) = \frac{d}{dx}((R+x)^3(R-x)) = 3(R+x)^2(1)(R-x) + (R+x)^3(-1)$
$f'(x) = (R+x)^2[3(R-x) - (R+x)]$
$f'(x) = (R+x)^2[3R - 3x - R - x]$
$f'(x) = (R+x)^2(2R - 4x)$

Приравнивая производную к нулю, $(R+x)^2(2R - 4x) = 0$, получаем, что либо $x = -R$ (что не соответствует нашему случаю), либо $2R - 4x = 0$. Отсюда $x = \frac{R}{2}$.
Можно убедиться, что при переходе через точку $x = R/2$ производная меняет знак с положительного на отрицательный, что указывает на точку максимума.

Следовательно, площадь треугольника $ABC$ будет наибольшей, когда хорда $BC$ удалена от центра окружности на расстояние $x = R/2$ и расположена по другую сторону от центра относительно точки $A$.

В этом случае треугольник $ABC$ является равносторонним. Его стороны равны:
$BC = 2\sqrt{R^2 - (R/2)^2} = 2\sqrt{3R^2/4} = R\sqrt{3}$.
Высота $AM = R + R/2 = 3R/2$. Боковая сторона $AB$ по теореме Пифагора для треугольника $AMB$ равна:
$AB = \sqrt{AM^2 + MB^2} = \sqrt{(\frac{3R}{2})^2 + (\frac{R\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{9R^2}{4} + \frac{3R^2}{4}} = \sqrt{\frac{12R^2}{4}} = \sqrt{3R^2} = R\sqrt{3}$.

Для построения такой хорды нужно:

1. Провести диаметр $AD$ через точку $A$.
2. Найти середину $M$ радиуса $OD$ (того, что не содержит точку $A$).
3. Через точку $M$ провести прямую, перпендикулярную диаметру $AD$.
4. Отрезок этой прямой, заключенный внутри окружности, и будет искомой хордой $BC$.

Ответ: Чтобы площадь треугольника $ABC$ была наибольшей, хорду $BC$ следует провести так, чтобы она была перпендикулярна диаметру, проходящему через точку $A$, и находилась на расстоянии $R/2$ от центра окружности (где $R$ — радиус), с противоположной от точки $A$ стороны. При таком построении треугольник $ABC$ будет равносторонним.