Страница 310 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

245. Около данного цилиндра нужно описать конус наименьшего объема (плоскости оснований цилиндра и конуса совпадают).
Как это сделать?

Пусть данный цилиндр имеет радиус основания $r$ и высоту $h$. Эти величины являются постоянными. Описанный конус, имеющий наименьший объем, должен быть соосным с цилиндром, а их основания должны лежать в одной плоскости. Пусть радиус основания конуса равен $R$, а высота конуса равна $H$. Эти величины мы будем изменять, чтобы найти минимальный объем.

Рассмотрим осевое сечение комбинации тел. Сечением цилиндра будет прямоугольник со сторонами $2r$ и $h$. Сечением конуса будет равнобедренный треугольник с основанием $2R$ и высотой $H$. Прямоугольник вписан в треугольник так, что одна его сторона (основание) лежит на основании треугольника, а две другие вершины лежат на боковых сторонах треугольника.

Рассмотрим подобные треугольники, образованные в осевом сечении. Один треугольник образован высотой конуса $H$ и его радиусом $R$. Другой, подобный ему, — частью высоты конуса, расположенной над цилиндром (ее длина $H-h$), и радиусом верхнего основания цилиндра $r$.

Из подобия этих треугольников следует соотношение их катетов: $ \frac{R}{r} = \frac{H}{H-h} $ Из этого соотношения выразим радиус конуса $R$ через его высоту $H$ и заданные параметры цилиндра $r$ и $h$: $ R = \frac{rH}{H-h} $ Для того чтобы конус был описан около цилиндра, его высота должна быть больше высоты цилиндра, то есть $H > h$.

Объем конуса $V$ вычисляется по формуле: $ V = \frac{1}{3}\pi R^2 H $ Подставим полученное выражение для $R$ в формулу объема, чтобы получить функцию объема $V$ от одной переменной $H$: $ V(H) = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{rH}{H-h}\right)^2 H = \frac{\pi r^2}{3} \frac{H^3}{(H-h)^2} $

Чтобы найти наименьший объем, необходимо найти значение $H$, при котором функция $V(H)$ достигает своего минимума на интервале $(h, +\infty)$. Для этого найдем производную функции $V(H)$ по переменной $H$ и приравняем ее к нулю. Постоянный множитель $\frac{\pi r^2}{3}$ не влияет на положение точки минимума, поэтому для упрощения можно исследовать функцию $f(H) = \frac{H^3}{(H-h)^2}$.

Используя правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u = H^3$ и $v = (H-h)^2$, получаем: $ f'(H) = \frac{3H^2(H-h)^2 - H^3 \cdot 2(H-h)}{((H-h)^2)^2} $ Вынесем общий множитель $H^2(H-h)$ в числителе: $ f'(H) = \frac{H^2(H-h)[3(H-h) - 2H]}{(H-h)^4} = \frac{H^2(3H - 3h - 2H)}{(H-h)^3} $ $ f'(H) = \frac{H^2(H - 3h)}{(H-h)^3} $

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $ \frac{H^2(H - 3h)}{(H-h)^3} = 0 $ Учитывая, что $H > h$, знаменатель не равен нулю, и $H^2 > 0$. Следовательно, равенство выполняется только если $H - 3h = 0$, откуда получаем $H = 3h$.

Чтобы убедиться, что $H = 3h$ является точкой минимума, исследуем знак производной в окрестности этой точки. Знак производной $f'(H)$ определяется знаком выражения $(H-3h)$, так как остальные множители ($H^2$ и $(H-h)^3$) положительны при $H > h$. При $h < H < 3h$, выражение $(H-3h)$ отрицательно, значит $f'(H) < 0$, и функция убывает. При $H > 3h$, выражение $(H-3h)$ положительно, значит $f'(H) > 0$, и функция возрастает. Следовательно, в точке $H = 3h$ функция объема $V(H)$ достигает своего минимума.

Теперь найдем соответствующий радиус основания конуса $R$, подставив $H = 3h$ в ранее полученную формулу: $ R = \frac{rH}{H-h} = \frac{r(3h)}{3h-h} = \frac{3rh}{2h} = \frac{3}{2}r $

Таким образом, чтобы около данного цилиндра с радиусом $r$ и высотой $h$ описать конус наименьшего объема, его высота $H$ должна быть в три раза больше высоты цилиндра, а его радиус $R$ — в полтора раза больше радиуса цилиндра.

Ответ: Чтобы описать около данного цилиндра конус наименьшего объема, нужно выбрать высоту конуса в три раза больше высоты цилиндра, а радиус основания конуса — в полтора раза больше радиуса основания цилиндра. То есть, если радиус и высота цилиндра равны $r$ и $h$ соответственно, то радиус и высота конуса наименьшего объема должны быть $R = \frac{3}{2}r$ и $H = 3h$.

246. Найдите высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиусом R.

Обозначим высоту конуса как $h$, а радиус его основания как $r$. Радиус вписанного в конус шара по условию равен $R$.

Наша задача — найти такое значение $h$, при котором объем конуса $V$ будет наименьшим. Для этого нужно выразить объем конуса как функцию одной переменной, например, высоты $h$.

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Сечением конуса является равнобедренный треугольник с высотой $h$ и основанием $2r$. Сечением шара является круг радиуса $R$, вписанный в этот треугольник.

Пусть $\alpha$ — это угол между высотой конуса и его образующей (половина угла при вершине конуса).

Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $h$, радиусом основания $r$ и образующей, следует: $ \tan(\alpha) = \frac{r}{h} $

Центр вписанного шара лежит на высоте конуса. Расстояние от центра шара до основания конуса равно $R$, следовательно, расстояние от вершины конуса до центра шара составляет $h-R$. Если провести радиус шара к точке касания на образующей, он будет перпендикулярен ей. Таким образом, образуется еще один прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна $h-R$, а катет, противолежащий углу $\alpha$, равен $R$. Из этого треугольника получаем: $ \sin(\alpha) = \frac{R}{h - R} $

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и синус угла: $ \tan^2(\alpha) = \frac{\sin^2(\alpha)}{1 - \sin^2(\alpha)} $.

Подставим в него найденные выражения: $ \left(\frac{r}{h}\right)^2 = \frac{\left(\frac{R}{h-R}\right)^2}{1 - \left(\frac{R}{h-R}\right)^2} $

Упростим это выражение: $ \frac{r^2}{h^2} = \frac{\frac{R^2}{(h-R)^2}}{\frac{(h-R)^2 - R^2}{(h-R)^2}} = \frac{R^2}{(h-R)^2 - R^2} $ $ \frac{r^2}{h^2} = \frac{R^2}{h^2 - 2hR + R^2 - R^2} = \frac{R^2}{h^2 - 2hR} $

Отсюда выразим $r^2$ через $h$ и $R$: $ r^2 = \frac{h^2 R^2}{h(h - 2R)} = \frac{h R^2}{h - 2R} $

Заметим, что для существования конуса необходимо, чтобы $r^2 > 0$, а значит $h - 2R > 0$, то есть $h > 2R$.

Объем конуса $V$ вычисляется по формуле: $ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h $

Подставим в эту формулу полученное выражение для $r^2$: $ V(h) = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{h R^2}{h - 2R} \right) h = \frac{\pi R^2}{3} \frac{h^2}{h - 2R} $

Чтобы найти высоту конуса с наименьшим объемом, нужно найти значение $h$, при котором функция $V(h)$ достигает своего минимума. Так как множитель $\frac{\pi R^2}{3}$ является константой, задача сводится к минимизации функции $f(h) = \frac{h^2}{h - 2R}$ на интервале $h > 2R$.

Для этого найдем производную функции $f(h)$ по $h$, используя правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $ f'(h) = \frac{(h^2)'(h - 2R) - h^2(h - 2R)'}{(h - 2R)^2} $ $ f'(h) = \frac{2h(h - 2R) - h^2(1)}{(h - 2R)^2} $ $ f'(h) = \frac{2h^2 - 4hR - h^2}{(h - 2R)^2} $ $ f'(h) = \frac{h^2 - 4hR}{(h - 2R)^2} = \frac{h(h - 4R)}{(h - 2R)^2} $

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $ \frac{h(h - 4R)}{(h - 2R)^2} = 0 $

Учитывая, что $h > 2R$, знаменатель не равен нулю, и $h \ne 0$. Следовательно, единственное решение — это когда числитель равен нулю: $ h - 4R = 0 \implies h = 4R $

Чтобы убедиться, что при $h = 4R$ объем действительно минимален, исследуем знак производной $f'(h)$ в окрестности этой точки. Знак производной определяется знаком числителя $h(h - 4R)$, так как знаменатель $(h - 2R)^2$ всегда положителен.

• При $2R < h < 4R$, множитель $(h - 4R)$ отрицателен, значит $f'(h) < 0$. Функция $V(h)$ на этом интервале убывает.
• При $h > 4R$, множитель $(h - 4R)$ положителен, значит $f'(h) > 0$. Функция $V(h)$ на этом интервале возрастает.

Поскольку в точке $h = 4R$ производная меняет свой знак с минуса на плюс, эта точка является точкой минимума для функции объема.

Таким образом, наименьший объем конуса, описанного около шара радиусом $R$, достигается при высоте $h=4R$.

Ответ: $4R$.

247. Найдите высоту конуса наименьшего объема, описанного около полушара радиусом $R$ так, чтобы центр основания конуса лежал в центре шара.

Обозначим высоту конуса как $H$, а радиус его основания как $r$. Радиус полушара, вокруг которого описан конус, равен $R$. Условие, что центр основания конуса лежит в центре шара, означает, что основание полушара лежит в плоскости основания конуса, и их центры совпадают. Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 H$. Наша задача — найти такое значение $H$, при котором объем $V$ будет минимальным.

Для нахождения связи между $H$ и $r$ рассмотрим осевое сечение всей геометрической фигуры. Сечением конуса будет равнобедренный треугольник, а сечением полушара — полукруг радиуса $R$, вписанный в этот треугольник так, что его диаметр лежит на основании треугольника. Пусть $\alpha$ — угол между высотой конуса и его образующей. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса $H$, радиусом основания $r$ и образующей, справедливо соотношение: $\tan \alpha = \frac{r}{H}$.

Образующая конуса является касательной к полукругу. Радиус полукруга $R$, проведенный из центра к точке касания, перпендикулярен образующей. Рассмотрим другой прямоугольный треугольник, у которого гипотенузой является высота конуса $H$ (отрезок от вершины до центра основания), а катетом, противолежащим углу $\alpha$, — радиус полушара $R$. Для этого треугольника справедливо: $\sin \alpha = \frac{R}{H}$.

Используя тригонометрическое тождество $\cot^2 \alpha + 1 = \csc^2 \alpha$, где $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{H}{r}$ и $\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha} = \frac{H}{R}$, получим связь между $r$ и $H$:$\left(\frac{H}{r}\right)^2 + 1 = \left(\frac{H}{R}\right)^2$$\frac{H^2}{r^2} = \frac{H^2}{R^2} - 1 = \frac{H^2 - R^2}{R^2}$Выразим отсюда $r^2$:$r^2 = \frac{H^2 R^2}{H^2 - R^2}$. Заметим, что из этого следует $H > R$, что соответствует геометрическому смыслу задачи.

Подставим полученное выражение для $r^2$ в формулу объема конуса, чтобы получить функцию одной переменной $H$:$V(H) = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{H^2 R^2}{H^2 - R^2}\right) H = \frac{\pi R^2}{3} \frac{H^3}{H^2 - R^2}$.

Для нахождения минимума объема найдем производную функции $V(H)$ по $H$ и приравняем ее к нулю. Константу $\frac{\pi R^2}{3}$ можно вынести за знак производной.$V'(H) = \frac{\pi R^2}{3} \left(\frac{H^3}{H^2 - R^2}\right)' = \frac{\pi R^2}{3} \frac{(H^3)'(H^2 - R^2) - H^3(H^2 - R^2)'}{(H^2 - R^2)^2}$$V'(H) = \frac{\pi R^2}{3} \frac{3H^2(H^2 - R^2) - H^3(2H)}{(H^2 - R^2)^2} = \frac{\pi R^2}{3} \frac{3H^4 - 3H^2R^2 - 2H^4}{(H^2 - R^2)^2} = \frac{\pi R^2}{3} \frac{H^4 - 3H^2R^2}{(H^2 - R^2)^2}$.

Приравняем производную к нулю: $V'(H)=0$.$\frac{H^4 - 3H^2R^2}{(H^2 - R^2)^2} = 0$.Поскольку $H > R$, знаменатель не равен нулю. Следовательно, числитель равен нулю:$H^4 - 3H^2R^2 = 0$$H^2(H^2 - 3R^2) = 0$.Так как $H > 0$, то $H^2 \neq 0$. Значит, $H^2 - 3R^2 = 0$, откуда $H^2 = 3R^2$.Поскольку высота $H$ — положительная величина, получаем $H = R\sqrt{3}$.

Чтобы убедиться, что это точка минимума, исследуем знак производной. Знак $V'(H)$ определяется знаком выражения $H^2(H^2 - 3R^2)$. При $R < H < R\sqrt{3}$, производная отрицательна ($V'(H) < 0$), а при $H > R\sqrt{3}$, производная положительна ($V'(H) > 0$). Это означает, что в точке $H = R\sqrt{3}$ функция объема $V(H)$ достигает своего минимума.

Ответ: высота конуса наименьшего объема равна $R\sqrt{3}$.

248. Из круглого бревна диаметром 40 см требуется вырезать балку прямоугольного сечения с основанием $b$ и высотой $h$. Прочность балки пропорциональна $bh^2$. При каких значениях $b$ и $h$ прочность будет наибольшей?

Пусть $b$ — основание и $h$ — высота прямоугольного сечения балки. Поскольку балка вырезается из круглого бревна диаметром $d = 40$ см, прямоугольное сечение балки вписано в круг, соответствующий поперечному сечению бревна.

Диагональ вписанного прямоугольника равна диаметру круга. По теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника, образованного сторонами $b$, $h$ и диагональю $d$, справедливо соотношение: $b^2 + h^2 = d^2$

Подставляем известное значение диаметра $d = 40$ см: $b^2 + h^2 = 40^2$ $b^2 + h^2 = 1600$

Прочность балки, обозначим ее как $P$, пропорциональна величине $bh^2$. Это можно записать в виде формулы $P = k \cdot bh^2$, где $k$ — это постоянный положительный коэффициент пропорциональности. Чтобы найти наибольшую прочность, необходимо найти максимум функции $f(b, h) = bh^2$.

Для того чтобы исследовать эту функцию на экстремум, выразим одну переменную через другую. Удобнее выразить $h^2$ через $b$ из геометрического соотношения: $h^2 = 1600 - b^2$

Теперь подставим это выражение в функцию, которую мы хотим максимизировать. Это позволит нам получить функцию одной переменной $b$: $P(b) = k \cdot b(1600 - b^2) = k(1600b - b^3)$

Для нахождения максимального значения функции найдем ее производную по переменной $b$. $P'(b) = \frac{dP}{db} = k(1600 - 3b^2)$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $k(1600 - 3b^2) = 0$

Поскольку $k > 0$, получаем: $1600 - 3b^2 = 0$ $3b^2 = 1600$ $b^2 = \frac{1600}{3}$

Так как $b$ представляет собой физическую величину (ширину балки), она должна быть положительной. Следовательно, выбираем положительное значение корня: $b = \sqrt{\frac{1600}{3}} = \frac{40}{\sqrt{3}} = \frac{40\sqrt{3}}{3}$ см.

Чтобы проверить, является ли найденная точка точкой максимума, используем вторую производную: $P''(b) = \frac{d^2P}{db^2} = k(-6b)$

Для нашего значения $b = \frac{40\sqrt{3}}{3}$ вторая производная будет отрицательной: $P''\left(\frac{40\sqrt{3}}{3}\right) = -6k \cdot \frac{40\sqrt{3}}{3} = -80k\sqrt{3} < 0$ Это подтверждает, что данное значение $b$ обеспечивает максимальную прочность балки.

Теперь найдем соответствующее значение высоты $h$: $h^2 = 1600 - b^2 = 1600 - \frac{1600}{3} = \frac{3 \cdot 1600 - 1600}{3} = \frac{2 \cdot 1600}{3} = \frac{3200}{3}$

$h = \sqrt{\frac{3200}{3}} = \sqrt{\frac{1600 \cdot 2}{3}} = \frac{40\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{40\sqrt{6}}{3}$ см.

Таким образом, прочность балки будет наибольшей при основании $b = \frac{40\sqrt{3}}{3}$ см (приблизительно 23,1 см) и высоте $h = \frac{40\sqrt{6}}{3}$ см (приблизительно 32,7 см).

Ответ: Прочность балки будет наибольшей при основании $b = \frac{40\sqrt{3}}{3}$ см и высоте $h = \frac{40\sqrt{6}}{3}$ см.

249. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Как определить размеры окна, имеющего наибольшую площадь при заданном периметре?

Для решения этой задачи необходимо выразить площадь окна как функцию одной переменной (например, одного из его размеров), а затем найти максимум этой функции.

Пусть $P$ — заданный периметр окна, а $S$ — его площадь, которую мы хотим максимизировать. Обозначим размеры окна:

• Пусть ширина прямоугольной части окна будет $2r$. Тогда радиус полукруга, завершающего прямоугольник, равен $r$.
• Пусть высота прямоугольной части будет $h$.

Периметр окна складывается из длины трех сторон прямоугольника (двух боковых и одной нижней) и длины дуги полукруга. Длина дуги полукруга с радиусом $r$ равна половине длины окружности: $L = \frac{1}{2} \cdot 2\pi r = \pi r$. Тогда периметр $P$ равен: $P = 2h + 2r + \pi r = 2h + r(2+\pi)$

Площадь окна $S$ складывается из площади прямоугольника и площади полукруга: $S = (2r) \cdot h + \frac{1}{2}\pi r^2 = 2rh + \frac{1}{2}\pi r^2$

Наша задача — найти максимум функции $S(r, h)$ при заданном значении $P$. Для этого выразим одну переменную через другую, используя формулу периметра. Выразим $h$ из формулы для $P$: $2h = P - r(2+\pi) \Rightarrow h = \frac{P - r(2+\pi)}{2}$

Теперь подставим это выражение для $h$ в формулу площади $S$, чтобы получить функцию, зависящую только от переменной $r$: $S(r) = 2r \left( \frac{P - r(2+\pi)}{2} \right) + \frac{1}{2}\pi r^2$ $S(r) = r(P - r(2+\pi)) + \frac{1}{2}\pi r^2$ $S(r) = Pr - 2r^2 - \pi r^2 + \frac{1}{2}\pi r^2$ $S(r) = Pr - 2r^2 - \frac{1}{2}\pi r^2$ $S(r) = Pr - r^2 \left( 2 + \frac{\pi}{2} \right)$

Полученная функция $S(r)$ является квадратичной параболой с ветвями, направленными вниз (поскольку коэффициент при $r^2$ отрицателен: $-(2 + \frac{\pi}{2}) < 0$). Ее максимум достигается в вершине параболы. Чтобы найти значение $r$, при котором достигается максимум, найдем производную функции $S(r)$ и приравняем ее к нулю. $S'(r) = \frac{dS}{dr} = P - 2r \left( 2 + \frac{\pi}{2} \right) = P - r(4+\pi)$

Приравниваем производную к нулю: $P - r(4+\pi) = 0$ $r(4+\pi) = P \Rightarrow r = \frac{P}{4+\pi}$

Это значение $r$ обеспечивает максимальную площадь. Теперь найдем соответствующее значение высоты $h$: $h = \frac{P - r(2+\pi)}{2} = \frac{P - \frac{P}{4+\pi}(2+\pi)}{2} = \frac{P}{2} \left( 1 - \frac{2+\pi}{4+\pi} \right)$ $h = \frac{P}{2} \left( \frac{(4+\pi) - (2+\pi)}{4+\pi} \right) = \frac{P}{2} \left( \frac{4+\pi - 2 - \pi}{4+\pi} \right) = \frac{P}{2} \left( \frac{2}{4+\pi} \right)$ $h = \frac{P}{4+\pi}$

Таким образом, мы получили, что $h = r$. Это означает, что для получения максимальной площади при заданном периметре, высота прямоугольной части окна должна быть равна радиусу полукруга.

При этом размеры окна будут следующими:

• Ширина окна: $2r = \frac{2P}{4+\pi}$
• Высота прямоугольной части: $h = \frac{P}{4+\pi}$

Интересно отметить, что общая высота окна (от нижнего края до верхушки полукруга) составляет $h+r = r+r = 2r$. То есть, общая высота окна равна его ширине.

Ответ: Для того чтобы окно имело наибольшую площадь при заданном периметре $P$, его размеры должны быть такими, чтобы высота прямоугольной части была равна радиусу полукруга. Если ширина окна $w$, а высота его прямоугольной части $h$, то должно выполняться соотношение $h = w/2$. Размеры окна, выраженные через периметр $P$: ширина $w = \frac{2P}{4+\pi}$ и высота прямоугольной части $h = \frac{P}{4+\pi}$.

250. На окружности дана точка $A$. Провести хорду $BC$ параллельно касательной в точке $A$ так, чтобы площадь треугольника $ABC$ была наибольшей.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Точка $A$ лежит на этой окружности. Нам необходимо найти хорду $BC$, параллельную касательной в точке $A$, такую, чтобы площадь треугольника $ABC$ была максимальной.

Площадь треугольника $ABC$ определяется формулой $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_A$, где $h_A$ — это высота, опущенная из вершины $A$ на основание $BC$.

Касательная к окружности в точке $A$ перпендикулярна радиусу $OA$. Поскольку по условию хорда $BC$ параллельна этой касательной, она также должна быть перпендикулярна радиусу $OA$ и, соответственно, диаметру, проходящему через точку $A$.

Пусть $AD$ — это диаметр окружности, содержащий точку $A$. Хорда $BC$ пересекает этот диаметр в некоторой точке $M$. Таким образом, высота треугольника $h_A$ равна длине отрезка $AM$. Для максимизации площади $S$ нам нужно максимизировать произведение $BC \cdot AM$.

Выразим эти величины через одну переменную. Пусть расстояние от центра $O$ до хорды $BC$ равно $x$, то есть $OM = x$, где $0 \le x < R$. В прямоугольном треугольнике $OMB$ (с прямым углом при $M$) по теореме Пифагора находим половину длины хорды: $MB = \sqrt{OB^2 - OM^2} = \sqrt{R^2 - x^2}$. Отсюда вся хорда $BC = 2\sqrt{R^2 - x^2}$.

Высота $AM$ зависит от положения точки $M$. Чтобы высота, а следовательно и площадь, была максимальной, точка $M$ должна лежать на радиусе $OD$, то есть хорда $BC$ должна находиться по другую сторону от центра $O$ относительно точки $A$. В этом случае высота $AM = AO + OM = R + x$.

Таким образом, мы ищем максимум функции площади, зависящей от $x$:
$S(x) = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{R^2 - x^2}) \cdot (R + x) = (R+x)\sqrt{R^2-x^2}$.

Для нахождения точки максимума можно исследовать на экстремум квадрат этой функции, так как $S(x)$ на рассматриваемом интервале положительна. Это упрощает вычисления.
$f(x) = S^2(x) = (R+x)^2(R^2-x^2) = (R+x)^2(R-x)(R+x) = (R+x)^3(R-x)$.

Найдем производную функции $f(x)$ по переменной $x$ и приравняем ее к нулю:
$f'(x) = \frac{d}{dx}((R+x)^3(R-x)) = 3(R+x)^2(1)(R-x) + (R+x)^3(-1)$
$f'(x) = (R+x)^2[3(R-x) - (R+x)]$
$f'(x) = (R+x)^2[3R - 3x - R - x]$
$f'(x) = (R+x)^2(2R - 4x)$

Приравнивая производную к нулю, $(R+x)^2(2R - 4x) = 0$, получаем, что либо $x = -R$ (что не соответствует нашему случаю), либо $2R - 4x = 0$. Отсюда $x = \frac{R}{2}$.
Можно убедиться, что при переходе через точку $x = R/2$ производная меняет знак с положительного на отрицательный, что указывает на точку максимума.

Следовательно, площадь треугольника $ABC$ будет наибольшей, когда хорда $BC$ удалена от центра окружности на расстояние $x = R/2$ и расположена по другую сторону от центра относительно точки $A$.

В этом случае треугольник $ABC$ является равносторонним. Его стороны равны:
$BC = 2\sqrt{R^2 - (R/2)^2} = 2\sqrt{3R^2/4} = R\sqrt{3}$.
Высота $AM = R + R/2 = 3R/2$. Боковая сторона $AB$ по теореме Пифагора для треугольника $AMB$ равна:
$AB = \sqrt{AM^2 + MB^2} = \sqrt{(\frac{3R}{2})^2 + (\frac{R\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{9R^2}{4} + \frac{3R^2}{4}} = \sqrt{\frac{12R^2}{4}} = \sqrt{3R^2} = R\sqrt{3}$.

Для построения такой хорды нужно:

1. Провести диаметр $AD$ через точку $A$.
2. Найти середину $M$ радиуса $OD$ (того, что не содержит точку $A$).
3. Через точку $M$ провести прямую, перпендикулярную диаметру $AD$.
4. Отрезок этой прямой, заключенный внутри окружности, и будет искомой хордой $BC$.

Ответ: Чтобы площадь треугольника $ABC$ была наибольшей, хорду $BC$ следует провести так, чтобы она была перпендикулярна диаметру, проходящему через точку $A$, и находилась на расстоянии $R/2$ от центра окружности (где $R$ — радиус), с противоположной от точки $A$ стороны. При таком построении треугольник $ABC$ будет равносторонним.

251. Каков должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника заданной площади, чтобы радиус вписанного в этот треугольник круга был наибольшим?

Для решения этой задачи нам необходимо выразить радиус вписанного круга $r$ как функцию угла при вершине $\alpha$ и заданной площади $S$, а затем найти максимум этой функции.

Пусть дан равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $a$, основанием $b$, углом при вершине $\alpha$ и постоянной площадью $S$.

Площадь треугольника можно выразить через боковую сторону и угол при вершине: $S = \frac{1}{2} a^2 \sin(\alpha)$. Отсюда мы можем выразить боковую сторону $a$: $a = \sqrt{\frac{2S}{\sin(\alpha)}}$.

Радиус вписанной в треугольник окружности $r$ находится по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Найдем полупериметр $p$. Периметр $P = 2a + b$. Основание $b$ можно выразить через боковую сторону $a$ и угол $\alpha$ с помощью теоремы косинусов или разделив треугольник на два прямоугольных: $\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{b/2}{a}$, откуда $b = 2a \sin(\frac{\alpha}{2})$.

Тогда периметр $P = 2a + 2a \sin(\frac{\alpha}{2}) = 2a(1 + \sin(\frac{\alpha}{2}))$. А полупериметр $p = \frac{P}{2} = a(1 + \sin(\frac{\alpha}{2}))$.

Теперь подставим выражение для $a$ в формулу для полупериметра: $p = \sqrt{\frac{2S}{\sin(\alpha)}} \left(1 + \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)$.

Подставим полученный полупериметр в формулу для радиуса вписанной окружности: $r = \frac{S}{p} = \frac{S}{\sqrt{\frac{2S}{\sin(\alpha)}} \left(1 + \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)} = \sqrt{\frac{S^2 \sin(\alpha)}{2S \left(1 + \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2}} = \sqrt{\frac{S}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\sin(\alpha)}{\left(1 + \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2}}$.

Так как площадь $S$ — заданная константа, для максимизации радиуса $r$ нам нужно максимизировать выражение, зависящее от угла $\alpha$: $f(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\left(1 + \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2}$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(\alpha) = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$ и сделаем замену $x = \frac{\alpha}{2}$. Угол $\alpha$ может изменяться в пределах от $0$ до $\pi$ (не включая), поэтому $x$ изменяется в пределах от $0$ до $\frac{\pi}{2}$. Функция принимает вид: $g(x) = \frac{2\sin(x)\cos(x)}{(1 + \sin(x))^2}$.

Для нахождения максимума найдем производную $g'(x)$ и приравняем ее к нулю. Используем правило дифференцирования частного: $g'(x) = \frac{(2\cos^2(x) - 2\sin^2(x))(1+\sin(x))^2 - 2\sin(x)\cos(x) \cdot 2(1+\sin(x))\cos(x)}{(1+\sin(x))^4}$.

Приравняем числитель к нулю. Так как $x \in (0, \frac{\pi}{2})$, то $(1+\sin(x)) > 0$, и мы можем сократить на $2(1+\sin(x))$: $(\cos^2(x) - \sin^2(x))(1+\sin(x)) - 2\sin(x)\cos^2(x) = 0$. Раскроем скобки и используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$: $(1-2\sin^2(x))(1+\sin(x)) - 2\sin(x)(1-\sin^2(x)) = 0$. $(1-2\sin^2(x))(1+\sin(x)) - 2\sin(x)(1-\sin(x))(1+\sin(x)) = 0$. Вынесем общий множитель $(1+\sin(x))$: $(1+\sin(x)) \cdot [ (1-2\sin^2(x)) - 2\sin(x)(1-\sin(x)) ] = 0$. $(1+\sin(x)) \cdot [ 1-2\sin^2(x) - 2\sin(x)+2\sin^2(x) ] = 0$. $(1+\sin(x)) \cdot (1 - 2\sin(x)) = 0$.

Поскольку $1+\sin(x) \neq 0$ в нашем интервале, то остается уравнение: $1 - 2\sin(x) = 0 \implies \sin(x) = \frac{1}{2}$.

Для интервала $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ единственным решением является $x = \frac{\pi}{6}$, или $30^\circ$.

Возвращаемся к исходной переменной $\alpha$: $\alpha = 2x = 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$, или $60^\circ$.

Если угол при вершине равнобедренного треугольника равен $60^\circ$, то углы при основании также равны $(180^\circ - 60^\circ)/2 = 60^\circ$. Следовательно, треугольник является равносторонним.

Ответ: Угол при вершине равнобедренного треугольника должен быть равен $60^\circ$ (или $\frac{\pi}{3}$ радиан). Это означает, что для заданной площади наибольший радиус вписанной окружности будет у равностороннего треугольника.

252. На параболе $y = x^2$ найдите точку, расстояние от которой до точки A $(2; 0,5)$ наименьшее.

Пусть искомая точка на параболе $y = x^2$ имеет координаты $M(x; y)$. Поскольку точка $M$ принадлежит параболе, ее координаты можно записать как $M(x; x^2)$.

Расстояние $d$ между двумя точками, $M(x; x^2)$ и $A(2; 0,5)$, вычисляется по формуле расстояния между двумя точками на плоскости: $d = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2}$ $d(x) = \sqrt{(x - 2)^2 + (x^2 - 0,5)^2}$.

Чтобы найти наименьшее расстояние, нужно найти значение $x$, при котором функция $d(x)$ достигает своего минимума. Задача минимизации функции $d(x)$ эквивалентна задаче минимизации подкоренного выражения, так как функция квадратного корня является монотонно возрастающей. Обозначим подкоренное выражение как функцию $f(x)$: $f(x) = (x - 2)^2 + (x^2 - 0,5)^2$.

Для нахождения минимума функции $f(x)$ найдем ее производную. Сначала раскроем скобки и упростим выражение: $f(x) = (x^2 - 4x + 4) + ((x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 0,5 + 0,5^2) = x^2 - 4x + 4 + x^4 - x^2 + 0,25$ $f(x) = x^4 - 4x + 4,25$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$ по переменной $x$: $f'(x) = (x^4 - 4x + 4,25)' = 4x^3 - 4$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $4x^3 - 4 = 0$ $4x^3 = 4$ $x^3 = 1$ $x = 1$.

Мы получили одну критическую точку $x = 1$. Чтобы проверить, является ли эта точка точкой минимума, найдем вторую производную: $f''(x) = (4x^3 - 4)' = 12x^2$. Вычислим значение второй производной в точке $x = 1$: $f''(1) = 12 \cdot 1^2 = 12$. Поскольку $f''(1) > 0$, точка $x=1$ является точкой локального минимума. Так как это единственная критическая точка на всей числовой оси, это точка глобального минимума.

Теперь найдем соответствующую координату $y$ искомой точки, подставив значение $x=1$ в уравнение параболы $y = x^2$: $y = 1^2 = 1$.

Таким образом, точка на параболе, расстояние от которой до точки $A(2; 0,5)$ наименьшее, имеет координаты $(1; 1)$.

Ответ: $(1; 1)$.

253. Объем правильной треугольной призмы равен $V$. Какова должна быть сторона основания, чтобы площадь полной поверхности призмы была наименьшей?

Пусть сторона основания правильной треугольной призмы равна $a$, а ее высота — $h$. Объем $V$ и площадь полной поверхности $S$ данной призмы выражаются формулами.

Основанием призмы является правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a$. Его площадь $S_{осн}$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Объем призмы $V$ равен произведению площади основания на высоту:

$V = S_{осн} \cdot h = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} h$

Площадь полной поверхности $S$ складывается из площадей двух оснований и площади боковой поверхности $S_{бок}$. Боковая поверхность состоит из трех одинаковых прямоугольников со сторонами $a$ и $h$.

$S = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + 3ah = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} + 3ah$

По условию задачи, объем $V$ является постоянной величиной. Нам нужно найти такое значение $a$, при котором площадь $S$ будет наименьшей. Для этого выразим $S$ как функцию одной переменной $a$. Из формулы объема найдем $h$:

$h = \frac{4V}{a^2\sqrt{3}}$

Теперь подставим это выражение для $h$ в формулу площади полной поверхности:

$S(a) = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} + 3a \left(\frac{4V}{a^2\sqrt{3}}\right) = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} + \frac{12V}{a\sqrt{3}}$

Для удобства дифференцирования можно упростить второе слагаемое:

$S(a) = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2 + \frac{12V\sqrt{3}}{3a} = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2 + \frac{4V\sqrt{3}}{a}$

Чтобы найти минимум функции $S(a)$, найдем ее производную по переменной $a$ и приравняем ее к нулю.

$S'(a) = \frac{d}{da}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a^2 + 4V\sqrt{3}a^{-1}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2a + 4V\sqrt{3} \cdot (-1)a^{-2}$

$S'(a) = \sqrt{3}a - \frac{4V\sqrt{3}}{a^2}$

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:

$\sqrt{3}a - \frac{4V\sqrt{3}}{a^2} = 0$

Так как сторона основания $a > 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $a^2$ и разделить на $\sqrt{3}$:

$a^3 - 4V = 0$

$a^3 = 4V$

$a = \sqrt[3]{4V}$

Чтобы убедиться, что найденная точка является точкой минимума, найдем вторую производную функции $S(a)$:

$S''(a) = \frac{d}{da}\left(\sqrt{3}a - 4V\sqrt{3}a^{-2}\right) = \sqrt{3} - 4V\sqrt{3}(-2)a^{-3} = \sqrt{3} + \frac{8V\sqrt{3}}{a^3}$

Поскольку объем $V > 0$ и сторона $a > 0$, вторая производная $S''(a)$ всегда положительна. Следовательно, в точке $a = \sqrt[3]{4V}$ функция площади полной поверхности $S(a)$ достигает своего минимума.

Ответ: Сторона основания должна быть равна $a = \sqrt[3]{4V}$.

254. По прямой движутся две точки. Определите промежуток времени, в течение которого скорость первой точки была меньше скорости второй, если:

a) $x_1 (t) = 2 \frac{2}{3} t^3$, $x_2 (t) = 2t - 3$;

б) $x_1 (t) = 9t^2 + 1$, $x_2 (t) = t^3$.

Для решения задачи необходимо найти выражения для скоростей каждой точки, а затем решить неравенство $v_1(t) < v_2(t)$. Скорость является первой производной координаты по времени: $v(t) = x'(t)$. Время $t$ по физическому смыслу является неотрицательной величиной, т.е. $t \ge 0$.

а) Даны уравнения движения:

$x_1(t) = 2\frac{2}{3}t^3 = \frac{8}{3}t^3$

$x_2(t) = 2t - 3$

Найдем скорости точек, взяв производные от их координат по времени:

$v_1(t) = x_1'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{8}{3}t^3\right) = \frac{8}{3} \cdot 3t^2 = 8t^2$

$v_2(t) = x_2'(t) = \frac{d}{dt}(2t - 3) = 2$

Теперь составим и решим неравенство $v_1(t) < v_2(t)$:

$8t^2 < 2$

Разделим обе части на 8:

$t^2 < \frac{2}{8}$

$t^2 < \frac{1}{4}$

Решением этого неравенства является интервал $-\frac{1}{2} < t < \frac{1}{2}$.

Учитывая, что время не может быть отрицательным ($t \ge 0$), выбираем ту часть решения, которая удовлетворяет этому условию:

$0 \le t < \frac{1}{2}$

Ответ: промежуток времени $t \in [0, 1/2)$.

б) Даны уравнения движения:

$x_1(t) = 9t^2 + 1$

$x_2(t) = t^3$

Найдем скорости точек:

$v_1(t) = x_1'(t) = \frac{d}{dt}(9t^2 + 1) = 18t$

$v_2(t) = x_2'(t) = \frac{d}{dt}(t^3) = 3t^2$

Составим и решим неравенство $v_1(t) < v_2(t)$:

$18t < 3t^2$

Перенесем все члены в правую часть и разделим на 3:

$0 < 3t^2 - 18t$

$t^2 - 6t > 0$

Вынесем $t$ за скобки:

$t(t - 6) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни соответствующего уравнения $t(t-6)=0$ равны $t_1=0$ и $t_2=6$. Эти точки делят числовую ось на интервалы. Выражение $t(t-6)$ положительно при $t < 0$ и при $t > 6$.

Итак, решение неравенства: $t \in (-\infty, 0) \cup (6, \infty)$.

Снова учитываем условие $t \ge 0$. Заметим, что при $t=0$ скорости обеих точек равны нулю ($v_1(0)=0, v_2(0)=0$), поэтому неравенство $v_1(t) < v_2(t)$ не выполняется. Следовательно, нас интересует решение при $t>0$.

Пересечение множества решений $t \in (-\infty, 0) \cup (6, \infty)$ с условием $t > 0$ дает нам искомый промежуток:

$t > 6$

Ответ: промежуток времени $t \in (6, \infty)$.

255. Угол поворота тела вокруг оси изменяется в зависимости от времени по закону $\varphi (t) = 0.1t^2 - 0.5t + 0.2$. Найдите угловую скорость вращения тела в момент времени $t = 20 \, \text{с}$. (Угол измеряется в радианах.)

Угловая скорость вращения тела $ω(t)$ является первой производной от угла поворота $φ(t)$ по времени $t$. Иными словами, это скорость изменения угла поворота.

Математически это выражается формулой:

$ω(t) = φ'(t)$

Нам дан закон изменения угла поворота:

$φ(t) = 0,1t^2 - 0,5t + 0,2$

Найдем производную этой функции, чтобы получить закон изменения угловой скорости:

$ω(t) = φ'(t) = (0,1t^2 - 0,5t + 0,2)'$

Используя правила дифференцирования, получаем:

$ω(t) = 2 \cdot 0,1t^{2-1} - 1 \cdot 0,5t^{1-1} + 0 = 0,2t - 0,5$

Теперь, чтобы найти угловую скорость в момент времени $t = 20$ с, подставим это значение в полученное уравнение для $ω(t)$:

$ω(20) = 0,2 \cdot 20 - 0,5 = 4 - 0,5 = 3,5$

Так как угол измеряется в радианах, а время в секундах, то угловая скорость измеряется в радианах в секунду (рад/с).

Ответ: $3,5$ рад/с.

256. Круглый металлический диск расширяется при нагревании так, что его радиус равномерно увеличивается на $0,01\text{ см/с}$.

С какой скоростью увеличивается площадь диска в тот момент, когда его радиус равен $2\text{ см}$?

Пусть $A$ — площадь металлического диска, а $r$ — его радиус. Площадь круга выражается через его радиус следующей формулой:
$A = \pi r^2$

Поскольку диск расширяется, его радиус $r$ и площадь $A$ являются функциями времени $t$. Нам необходимо найти скорость увеличения площади, то есть производную площади по времени, $\frac{dA}{dt}$. Для этого мы продифференцируем уравнение для площади по времени $t$, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции):
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2)$
$\frac{dA}{dt} = \pi \cdot \frac{d(r^2)}{dt} = \pi \cdot (2r) \cdot \frac{dr}{dt}$
$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$

Из условия задачи нам известны следующие данные:
1. Скорость увеличения радиуса: $\frac{dr}{dt} = 0.01$ см/с.
2. Радиус в тот момент, для которого нужно найти скорость изменения площади: $r = 2$ см.

Теперь подставим эти значения в полученное выражение для $\frac{dA}{dt}$:
$\frac{dA}{dt} = 2\pi \cdot (2 \text{ см}) \cdot (0.01 \text{ см/с})$
$\frac{dA}{dt} = 4\pi \cdot 0.01 \text{ см}^2/\text{с}$
$\frac{dA}{dt} = 0.04\pi \text{ см}^2/\text{с}$

Таким образом, в тот момент, когда радиус диска равен 2 см, его площадь увеличивается со скоростью $0.04\pi$ см²/с.

Ответ: $0.04\pi$ см²/с.