Страница 306 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

214. По окружности, длина которой 60 м, равномерно и в одном направлении движутся две точки. Одна делает полный оборот на 5 с скорее другой и при этом догоняет вторую точку каждую минуту. Найдите скорость каждой точки.

Обозначим длину окружности как $L$, скорости первой и второй точек как $v_1$ и $v_2$ соответственно, а время, за которое каждая точка проходит один полный оборот, — $t_1$ и $t_2$.

Из условия задачи имеем:
Длина окружности $L = 60$ м.
Точки движутся в одном направлении. Пусть первая точка движется быстрее второй, то есть $v_1 > v_2$.

1. Анализ условия о времени прохождения оборота.
Время, необходимое для совершения одного полного оборота, связано со скоростью формулой $t = L/v$. Таким образом, $t_1 = 60/v_1$ и $t_2 = 60/v_2$.
Поскольку первая точка быстрее, она тратит на один оборот меньше времени: $t_1 < t_2$.
По условию, разница во времени составляет 5 секунд: $t_2 - t_1 = 5$
Подставив выражения для $t_1$ и $t_2$, получим первое уравнение: $ \frac{60}{v_2} - \frac{60}{v_1} = 5 $

2. Анализ условия о встрече точек.
Быстрая точка догоняет медленную каждую минуту (то есть каждые 60 секунд). Это означает, что за 60 секунд первая точка проходит расстояние, на одну длину окружности ($L = 60$ м) большее, чем вторая точка.
Скорость, с которой первая точка "приближается" к второй сзади (относительная скорость), равна разности их скоростей: $v_{отн} = v_1 - v_2$.
За время $T = 60$ с первая точка "нагоняет" расстояние $L = 60$ м. Используем формулу пути $S = v \cdot t$: $L = (v_1 - v_2) \cdot T$ $60 = (v_1 - v_2) \cdot 60$
Из этого уравнения получаем второе, более простое соотношение: $v_1 - v_2 = 1$
Отсюда можно выразить $v_1$ через $v_2$: $v_1 = v_2 + 1$

3. Решение системы уравнений.
Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными: $ \begin{cases} \frac{60}{v_2} - \frac{60}{v_1} = 5 \\ v_1 = v_2 + 1 \end{cases} $
Подставим выражение для $v_1$ из второго уравнения в первое: $ \frac{60}{v_2} - \frac{60}{v_2 + 1} = 5 $
Для упрощения разделим обе части уравнения на 5: $ \frac{12}{v_2} - \frac{12}{v_2 + 1} = 1 $
Приведем левую часть к общему знаменателю $v_2(v_2 + 1)$: $ \frac{12(v_2 + 1) - 12v_2}{v_2(v_2 + 1)} = 1 $
Раскроем скобки в числителе: $ \frac{12v_2 + 12 - 12v_2}{v_2^2 + v_2} = 1 $ $ \frac{12}{v_2^2 + v_2} = 1 $
Это приводит к квадратному уравнению: $ v_2^2 + v_2 = 12 $ $ v_2^2 + v_2 - 12 = 0 $
Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение $-12$. Это числа $3$ и $-4$. $v_{2,1} = 3$ и $v_{2,2} = -4$.
Поскольку скорость движения не может быть отрицательной, единственное подходящее решение: $v_2 = 3$ м/с.

4. Нахождение второй скорости и проверка.
Теперь найдем скорость первой точки: $v_1 = v_2 + 1 = 3 + 1 = 4$ м/с.
Проверим, удовлетворяют ли найденные скорости условиям задачи:
- Время оборота первой точки: $t_1 = L/v_1 = 60/4 = 15$ с.
- Время оборота второй точки: $t_2 = L/v_2 = 60/3 = 20$ с.
- Разница во времени: $t_2 - t_1 = 20 - 15 = 5$ с. (Верно)
- Относительная скорость: $v_1 - v_2 = 4 - 3 = 1$ м/с. Время, за которое первая точка догонит вторую: $T = L/(v_1 - v_2) = 60/1 = 60$ с = 1 минута. (Верно)

Ответ: скорость одной точки равна 4 м/с, а скорость другой — 3 м/с.

215. Сумма квадратов цифр положительного двузначного числа равна 13. Если из этого числа вычесть 9, то получится число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Найдите это число.

Пусть искомое двузначное число имеет вид $10a + b$, где $a$ — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Так как число положительное и двузначное, то $a$ — это целое число от 1 до 9, а $b$ — целое число от 0 до 9.

Согласно первому условию, сумма квадратов цифр числа равна 13. Запишем это в виде уравнения:
$a^2 + b^2 = 13$

Согласно второму условию, если из этого числа вычесть 9, то получится число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, имеет вид $10b + a$. Запишем второе уравнение:
$(10a + b) - 9 = 10b + a$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} a^2 + b^2 = 13 \\ (10a + b) - 9 = 10b + a \end{cases}$

Упростим второе уравнение:
$10a - a + b - 10b = 9$
$9a - 9b = 9$
Разделим обе части уравнения на 9:
$a - b = 1$
Отсюда выразим $a$:
$a = b + 1$

Подставим выражение для $a$ в первое уравнение системы:
$(b + 1)^2 + b^2 = 13$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$b^2 + 2b + 1 + b^2 = 13$
$2b^2 + 2b + 1 - 13 = 0$
$2b^2 + 2b - 12 = 0$
Разделим все уравнение на 2 для упрощения:
$b^2 + b - 6 = 0$

Найдем корни этого уравнения, например, по теореме Виета. Сумма корней равна -1, а их произведение равно -6. Корнями являются числа 2 и -3.
$b_1 = 2$
$b_2 = -3$

Так как $b$ — это цифра, она не может быть отрицательной. Следовательно, значение $b = -3$ нам не подходит.
Остается единственное возможное значение: $b = 2$.

Теперь найдем соответствующее значение $a$:
$a = b + 1 = 2 + 1 = 3$

Таким образом, цифра десятков равна 3, а цифра единиц равна 2. Искомое число — 32.

Проверим найденное решение:
1. Сумма квадратов цифр: $3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$. Условие выполняется.
2. Разность числа и 9: $32 - 9 = 23$. Число 23 записано теми же цифрами, что и 32, но в обратном порядке. Условие выполняется.

Ответ: 32

216. Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 55.

Пусть искомые натуральные числа равны $x$ и $y$. По условию задачи, разность их квадратов равна 55. Запишем это в виде уравнения:

$x^2 - y^2 = 55$

Мы ищем решения в натуральных числах, то есть $x, y \in \mathbb{N}$, где $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$.

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x-y)(x+y) = 55$

Поскольку $x$ и $y$ — натуральные числа, то $(x-y)$ и $(x+y)$ являются целыми числами. Так как их произведение равно 55 (положительное число), они должны быть одного знака. Сумма $x+y$ очевидно положительна, так как $x \ge 1$ и $y \ge 1$. Следовательно, и разность $x-y$ тоже должна быть положительной, что означает $x > y$.

Таким образом, нам нужно найти два натуральных числа, $(x-y)$ и $(x+y)$, произведение которых равно 55. Эти числа являются делителями числа 55. Также заметим, что так как $x > 0$ и $y > 0$, то $x+y > x-y$.

Разложим число 55 на все возможные пары натуральных множителей, где первый множитель меньше второго:

• 1 и 55
• 5 и 11

Это дает нам две возможные системы уравнений.

Рассмотрим первую систему, где множители равны 1 и 55:

$\begin{cases} x-y = 1 \\ x+y = 55 \end{cases}$

Сложим два уравнения: $(x-y) + (x+y) = 1 + 55$, что дает $2x = 56$, откуда $x = 28$.

Подставив $x = 28$ во второе уравнение, получим $28 + y = 55$, откуда $y = 27$.

Получили первую пару натуральных чисел $(28, 27)$. Проверка: $28^2 - 27^2 = 784 - 729 = 55$.

Рассмотрим вторую систему, где множители равны 5 и 11:

$\begin{cases} x-y = 5 \\ x+y = 11 \end{cases}$

Сложим два уравнения: $(x-y) + (x+y) = 5 + 11$, что дает $2x = 16$, откуда $x = 8$.

Подставив $x = 8$ во второе уравнение, получим $8 + y = 11$, откуда $y = 3$.

Получили вторую пару натуральных чисел $(8, 3)$. Проверка: $8^2 - 3^2 = 64 - 9 = 55$.

Других пар натуральных делителей у числа 55 нет, следовательно, мы нашли все возможные решения.

Ответ: $(28, 27)$ и $(8, 3)$.

217. Найдите отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ для функции $f$, если:

a) $f(x) = \frac{1}{2}x^2$, $x_0 = 1$, $\Delta x = 0,1$;

б) $f(x) = \sqrt{x-1}$, $x_0 = 2$, $\Delta x = 0,21$;

в) $f(x) = 3 - 2x$, $x_0 = 2$, $\Delta x = 0,2$.

Отношение приращения функции $\Delta f$ к приращению аргумента $\Delta x$ в точке $x_0$ вычисляется по формуле:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

а)

Дано: $f(x) = \frac{1}{2}x^2$, $x_0 = 1$, $\Delta x = 0,1$.
1. Найдем значение аргумента в новой точке: $x_0 + \Delta x = 1 + 0,1 = 1,1$.
2. Вычислим значение функции в начальной точке $x_0$:
$f(x_0) = f(1) = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2} = 0,5$.
3. Вычислим значение функции в новой точке $x_0 + \Delta x$:
$f(x_0 + \Delta x) = f(1,1) = \frac{1}{2} \cdot (1,1)^2 = \frac{1}{2} \cdot 1,21 = 0,605$.
4. Найдем приращение функции $\Delta f$:
$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = 0,605 - 0,5 = 0,105$.
5. Найдем искомое отношение:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{0,105}{0,1} = 1,05$.
Ответ: 1,05.

б)

Дано: $f(x) = \sqrt{x-1}$, $x_0 = 2$, $\Delta x = 0,21$.
1. Найдем значение аргумента в новой точке: $x_0 + \Delta x = 2 + 0,21 = 2,21$.
2. Вычислим значение функции в начальной точке $x_0$:
$f(x_0) = f(2) = \sqrt{2-1} = \sqrt{1} = 1$.
3. Вычислим значение функции в новой точке $x_0 + \Delta x$:
$f(x_0 + \Delta x) = f(2,21) = \sqrt{2,21 - 1} = \sqrt{1,21} = 1,1$.
4. Найдем приращение функции $\Delta f$:
$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = 1,1 - 1 = 0,1$.
5. Найдем искомое отношение:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{0,1}{0,21} = \frac{10}{21}$.
Ответ: $\frac{10}{21}$.

в)

Дано: $f(x) = 3 - 2x$, $x_0 = 2$, $\Delta x = 0,2$.
1. Найдем значение аргумента в новой точке: $x_0 + \Delta x = 2 + 0,2 = 2,2$.
2. Вычислим значение функции в начальной точке $x_0$:
$f(x_0) = f(2) = 3 - 2 \cdot 2 = 3 - 4 = -1$.
3. Вычислим значение функции в новой точке $x_0 + \Delta x$:
$f(x_0 + \Delta x) = f(2,2) = 3 - 2 \cdot 2,2 = 3 - 4,4 = -1,4$.
4. Найдем приращение функции $\Delta f$:
$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = -1,4 - (-1) = -1,4 + 1 = -0,4$.
5. Найдем искомое отношение:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-0,4}{0,2} = -2$.
Примечание: для линейной функции $f(x)=kx+b$ отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ всегда равно угловому коэффициенту $k$. В данном случае $k=-2$, поэтому результат не зависит от $x_0$ и $\Delta x$.
Ответ: -2.

218. Пользуясь определением, найдите производную функции $f$ в точке $x_0$, если:

a) $f(x) = 1 - 4x$, $x_0 = 3$;

б) $f(x) = 1.5x^2$, $x_0 = 2$;

в) $f(x) = 3x + 2$, $x_0 = 5$;

г) $f(x) = x^3 + 1$, $x_0 = -1$.

Для нахождения производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ воспользуемся определением производной:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

где $\Delta x$ — приращение аргумента.

а) $f(x) = 1 - 4x$, $x_0 = 3$
1. Найдём значение функции в точке $x_0 = 3$:
$f(3) = 1 - 4 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$.
2. Найдём значение функции в точке $x_0 + \Delta x = 3 + \Delta x$:
$f(3 + \Delta x) = 1 - 4(3 + \Delta x) = 1 - 12 - 4\Delta x = -11 - 4\Delta x$.
3. Подставим найденные значения в определение производной:
$f'(3) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(-11 - 4\Delta x) - (-11)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-11 - 4\Delta x + 11}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-4\Delta x}{\Delta x}$.
4. Сократим дробь на $\Delta x$ (так как $\Delta x \to 0$, но $\Delta x \neq 0$) и вычислим предел:
$f'(3) = \lim_{\Delta x \to 0} (-4) = -4$.
Ответ: -4

б) $f(x) = 1,5x^2$, $x_0 = 2$
1. Найдём значение функции в точке $x_0 = 2$:
$f(2) = 1,5 \cdot 2^2 = 1,5 \cdot 4 = 6$.
2. Найдём значение функции в точке $x_0 + \Delta x = 2 + \Delta x$:
$f(2 + \Delta x) = 1,5(2 + \Delta x)^2 = 1,5(2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \Delta x + (\Delta x)^2) = 1,5(4 + 4\Delta x + (\Delta x)^2) = 6 + 6\Delta x + 1,5(\Delta x)^2$.
3. Подставим значения в определение производной:
$f'(2) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(6 + 6\Delta x + 1,5(\Delta x)^2) - 6}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{6\Delta x + 1,5(\Delta x)^2}{\Delta x}$.
4. Вынесем $\Delta x$ за скобки в числителе, сократим и вычислим предел:
$f'(2) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x(6 + 1,5\Delta x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (6 + 1,5\Delta x) = 6 + 1,5 \cdot 0 = 6$.
Ответ: 6

в) $f(x) = 3x + 2$, $x_0 = 5$
1. Найдём значение функции в точке $x_0 = 5$:
$f(5) = 3 \cdot 5 + 2 = 15 + 2 = 17$.
2. Найдём значение функции в точке $x_0 + \Delta x = 5 + \Delta x$:
$f(5 + \Delta x) = 3(5 + \Delta x) + 2 = 15 + 3\Delta x + 2 = 17 + 3\Delta x$.
3. Подставим значения в определение производной:
$f'(5) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(17 + 3\Delta x) - 17}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{3\Delta x}{\Delta x}$.
4. Сократим на $\Delta x$ и вычислим предел:
$f'(5) = \lim_{\Delta x \to 0} 3 = 3$.
Ответ: 3

г) $f(x) = x^3 + 1$, $x_0 = -1$
1. Найдём значение функции в точке $x_0 = -1$:
$f(-1) = (-1)^3 + 1 = -1 + 1 = 0$.
2. Найдём значение функции в точке $x_0 + \Delta x = -1 + \Delta x$:
$f(-1 + \Delta x) = (-1 + \Delta x)^3 + 1$.
Используем формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:
$f(-1 + \Delta x) = ((-1)^3 + 3(-1)^2(\Delta x) + 3(-1)(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) + 1 = (-1 + 3\Delta x - 3(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) + 1 = 3\Delta x - 3(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3$.
3. Подставим значения в определение производной:
$f'(-1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(3\Delta x - 3(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) - 0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{3\Delta x - 3(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3}{\Delta x}$.
4. Вынесем $\Delta x$ за скобки, сократим и вычислим предел:
$f'(-1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x(3 - 3\Delta x + (\Delta x)^2)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (3 - 3\Delta x + (\Delta x)^2) = 3 - 3 \cdot 0 + 0^2 = 3$.
Ответ: 3

Найдите производные функций (219—222).

219. а) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - x + 5$

б) $f(x) = (4 - x^2) \sin x$

в) $f(x) = (x^2 + 5)(x^3 - 2x + 2)$

г) $f(x) = \frac{\cos x}{2 - x^3}$

а) Дана функция $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - x + 5$. Для нахождения производной этой функции, которая является многочленом, воспользуемся правилом дифференцирования суммы/разности функций и формулой производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$. Производная константы равна нулю. Дифференцируем функцию по слагаемым: $f'(x) = (\frac{1}{4}x^4)' - (\frac{1}{3}x^3)' + (\frac{1}{2}x^2)' - (x)' + (5)'$. Применяя правила, получаем: $f'(x) = \frac{1}{4} \cdot 4x^{4-1} - \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} + \frac{1}{2} \cdot 2x^{2-1} - 1 \cdot x^{1-1} + 0$. После упрощения выражения: $f'(x) = x^3 - x^2 + x - 1$. Ответ: $f'(x) = x^3 - x^2 + x - 1$.

б) Дана функция $f(x) = (4 - x^2) \sin x$. Это произведение двух функций: $u(x) = 4 - x^2$ и $v(x) = \sin x$. Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$. Сначала найдем производные сомножителей: $u'(x) = (4 - x^2)' = -2x$. $v'(x) = (\sin x)' = \cos x$. Теперь подставим найденные производные в формулу: $f'(x) = u'v + uv' = (-2x) \cdot \sin x + (4 - x^2) \cdot \cos x = -2x \sin x + (4 - x^2) \cos x$. Ответ: $f'(x) = -2x \sin x + (4 - x^2) \cos x$.

в) Дана функция $f(x) = (x^2 + 5)(x^3 - 2x + 2)$. Это произведение двух функций: $u(x) = x^2 + 5$ и $v(x) = x^3 - 2x + 2$. Применим правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$. Найдем производные сомножителей: $u'(x) = (x^2 + 5)' = 2x$. $v'(x) = (x^3 - 2x + 2)' = 3x^2 - 2$. Подставляем в формулу и получаем: $f'(x) = u'v + uv' = (2x)(x^3 - 2x + 2) + (x^2 + 5)(3x^2 - 2)$. Раскроем скобки: $f'(x) = (2x^4 - 4x^2 + 4x) + (3x^4 - 2x^2 + 15x^2 - 10)$. Приведем подобные слагаемые: $f'(x) = (2x^4 + 3x^4) + (-4x^2 - 2x^2 + 15x^2) + 4x - 10 = 5x^4 + 9x^2 + 4x - 10$. Ответ: $f'(x) = 5x^4 + 9x^2 + 4x - 10$.

г) Дана функция $f(x) = \frac{\cos x}{2 - x^3}$. Это частное двух функций: $u(x) = \cos x$ и $v(x) = 2 - x^3$. Используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Найдем производные числителя и знаменателя: $u'(x) = (\cos x)' = -\sin x$. $v'(x) = (2 - x^3)' = -3x^2$. Подставляем в формулу: $f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(-\sin x)(2 - x^3) - (\cos x)(-3x^2)}{(2 - x^3)^2}$. Упростим числитель: $f'(x) = \frac{-2\sin x + x^3\sin x + 3x^2\cos x}{(2 - x^3)^2} = \frac{3x^2\cos x + x^3\sin x - 2\sin x}{(2 - x^3)^2}$. Ответ: $f'(x) = \frac{3x^2\cos x + x^3\sin x - 2\sin x}{(2 - x^3)^2}$.

220. a) $f(x) = \frac{3}{x^3} - \sqrt[5]{x} + \frac{5}{\sqrt[3]{x}};

б) $f(x) = (2 - \sqrt{x}) \operatorname{tg} x;

в) $f(x) = \frac{x^3 - 3x}{1-2x};

г) $f(x) = \frac{\sin x}{1-2 \cos x}.

а) Чтобы найти производную функции $f(x) = \frac{3}{x^3} - \sqrt[5]{x} + \frac{5}{\sqrt[3]{x}}$, сначала представим ее в виде суммы степенных функций: $f(x) = 3x^{-3} - x^{1/5} + 5x^{-1/3}$.
Применим правило дифференцирования суммы и формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = (3x^{-3})' - (x^{1/5})' + (5x^{-1/3})' = 3 \cdot (-3)x^{-3-1} - \frac{1}{5}x^{\frac{1}{5}-1} + 5 \cdot (-\frac{1}{3})x^{-\frac{1}{3}-1} = -9x^{-4} - \frac{1}{5}x^{-4/5} - \frac{5}{3}x^{-4/3}$.
Вернемся к записи с дробями и корнями: $f'(x) = -\frac{9}{x^4} - \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}} - \frac{5}{3\sqrt[3]{x^4}}$ или $f'(x) = -\frac{9}{x^4} - \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}} - \frac{5}{3x\sqrt[3]{x}}$.
Ответ: $f'(x) = -\frac{9}{x^4} - \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}} - \frac{5}{3x\sqrt[3]{x}}$.

б) Функция $f(x) = (2-\sqrt{x}) \tg x$ является произведением двух функций: $u(x) = 2 - \sqrt{x}$ и $v(x) = \tg x$. Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Сначала найдем производные сомножителей:
$u'(x) = (2 - x^{1/2})' = -\frac{1}{2}x^{-1/2} = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$v'(x) = (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Теперь подставим их в формулу производной произведения:
$f'(x) = u'v + uv' = \left(-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\tg x + (2-\sqrt{x})\frac{1}{\cos^2 x} = -\frac{\tg x}{2\sqrt{x}} + \frac{2-\sqrt{x}}{\cos^2 x}$.
Ответ: $f'(x) = -\frac{\tg x}{2\sqrt{x}} + \frac{2-\sqrt{x}}{\cos^2 x}$.

в) Функция $f(x) = \frac{x^3 - 3x}{1 - 2x}$ является частным двух функций: $u(x) = x^3 - 3x$ и $v(x) = 1 - 2x$. Применим правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Найдем производные числителя и знаменателя:
$u'(x) = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3$.
$v'(x) = (1 - 2x)' = -2$.
Подставим в формулу и упростим числитель:
$f'(x) = \frac{(3x^2 - 3)(1 - 2x) - (x^3 - 3x)(-2)}{(1 - 2x)^2} = \frac{(3x^2 - 6x^3 - 3 + 6x) - (-2x^3 + 6x)}{(1 - 2x)^2} = \frac{3x^2 - 6x^3 - 3 + 6x + 2x^3 - 6x}{(1 - 2x)^2} = \frac{-4x^3 + 3x^2 - 3}{(1 - 2x)^2}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{-4x^3 + 3x^2 - 3}{(1 - 2x)^2}$.

г) Функция $f(x) = \frac{\sin x}{1 - 2 \cos x}$ является частным двух функций: $u(x) = \sin x$ и $v(x) = 1 - 2 \cos x$. Применим правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Найдем производные числителя и знаменателя:
$u'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
$v'(x) = (1 - 2 \cos x)' = -2(-\sin x) = 2 \sin x$.
Подставим в формулу:
$f'(x) = \frac{(\cos x)(1 - 2 \cos x) - (\sin x)(2 \sin x)}{(1 - 2 \cos x)^2}$.
Упростим числитель, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:
$\cos x - 2\cos^2 x - 2\sin^2 x = \cos x - 2(\cos^2 x + \sin^2 x) = \cos x - 2(1) = \cos x - 2$.
Таким образом, производная равна:
$f'(x) = \frac{\cos x - 2}{(1 - 2 \cos x)^2}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{\cos x - 2}{(1 - 2 \cos x)^2}$.

221. a) $f(x) = 2^x + \lg x;$

в) $f(x) = x^2 \cdot 5^{2x};$

б) $f(x) = e^{-3x} + 2 \log_3 2x;$

г) $f(x) = \frac{\ln x}{e^x + e^{-x}}.$

а) Чтобы найти производную функции $f(x) = 2^x + \lg x$, мы воспользуемся правилом дифференцирования суммы, согласно которому производная суммы функций равна сумме их производных: $f'(x) = (2^x)' + (\lg x)'$.

1. Найдём производную первого слагаемого, $2^x$. Это показательная функция. Производная функции $a^x$ равна $a^x \ln a$. В нашем случае $a=2$, поэтому $(2^x)' = 2^x \ln 2$.

2. Найдём производную второго слагаемого, $\lg x$. Это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $\lg x = \log_{10} x$. Производная логарифмической функции $\log_a x$ равна $\frac{1}{x \ln a}$. Для десятичного логарифма $a=10$, следовательно, $(\lg x)' = \frac{1}{x \ln 10}$.

3. Сложим полученные производные, чтобы найти производную исходной функции: $f'(x) = 2^x \ln 2 + \frac{1}{x \ln 10}$.

Ответ: $f'(x) = 2^x \ln 2 + \frac{1}{x \ln 10}$

б) Дана функция $f(x) = e^{-3x} + 2 \log_3 2x$. Найдём её производную как сумму производных: $f'(x) = (e^{-3x})' + (2 \log_3 2x)'$.

1. Найдём производную $e^{-3x}$. Это сложная функция. Воспользуемся цепным правилом: $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$. Здесь внешняя функция $g(u) = e^u$, а внутренняя $h(x) = u = -3x$. Производная внешней функции $(e^u)' = e^u$. Производная внутренней функции $(-3x)' = -3$. Таким образом, $(e^{-3x})' = e^{-3x} \cdot (-3) = -3e^{-3x}$.

2. Найдём производную $2 \log_3 2x$. Вынесем константу 2 за знак производной: $2 (\log_3 2x)'$. Это также сложная функция. Внешняя функция $g(u) = \log_3 u$, внутренняя $h(x) = u = 2x$. Производная внешней функции $(\log_3 u)' = \frac{1}{u \ln 3}$. Производная внутренней функции $(2x)' = 2$. По цепному правилу: $(\log_3 2x)' = \frac{1}{2x \ln 3} \cdot 2 = \frac{1}{x \ln 3}$. Умножим на константу 2: $(2 \log_3 2x)' = \frac{2}{x \ln 3}$.

3. Сложим результаты: $f'(x) = -3e^{-3x} + \frac{2}{x \ln 3}$.

Ответ: $f'(x) = -3e^{-3x} + \frac{2}{x \ln 3}$

в) Для нахождения производной функции $f(x) = x^2 \cdot 5^{2x}$ мы используем правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

1. Определим функции $u$ и $v$: $u(x) = x^2$ и $v(x) = 5^{2x}$.

2. Найдём их производные. Производная $u(x)=x^2$ равна $u'(x) = 2x$.

3. Для нахождения производной $v(x) = 5^{2x}$ применим цепное правило. Внешняя функция $g(w) = 5^w$, внутренняя $h(x) = w = 2x$. Производная внешней функции $(5^w)' = 5^w \ln 5$. Производная внутренней функции $(2x)' = 2$. Тогда $v'(x) = (5^{2x})' = 5^{2x} \ln 5 \cdot 2 = 2 \cdot 5^{2x} \ln 5$.

4. Подставим найденные производные в формулу для производной произведения: $f'(x) = (2x) \cdot (5^{2x}) + (x^2) \cdot (2 \cdot 5^{2x} \ln 5)$.

5. Упростим выражение, вынеся за скобки общий множитель $2x \cdot 5^{2x}$: $f'(x) = 2x \cdot 5^{2x} (1 + x \ln 5)$.

Ответ: $f'(x) = 2x \cdot 5^{2x}(1 + x \ln 5)$

г) Чтобы найти производную функции $f(x) = \frac{\ln x}{e^x + e^{-x}}$, мы используем правило дифференцирования частного: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

1. Определим функции $u$ и $v$: $u(x) = \ln x$ и $v(x) = e^x + e^{-x}$.

2. Найдём их производные. Производная $u(x) = \ln x$ равна $u'(x) = \frac{1}{x}$.

3. Производная $v(x) = e^x + e^{-x}$ равна $v'(x) = (e^x)' + (e^{-x})' = e^x - e^{-x}$.

4. Подставим найденные выражения в формулу для производной частного: $f'(x) = \frac{\frac{1}{x}(e^x + e^{-x}) - (\ln x)(e^x - e^{-x})}{(e^x + e^{-x})^2}$.

5. Упростим числитель дроби. Приведём его к общему знаменателю $x$: $\frac{1}{x}(e^x + e^{-x}) - (\ln x)(e^x - e^{-x}) = \frac{e^x + e^{-x} - x (\ln x)(e^x - e^{-x})}{x}$.

6. Подставим упрощённый числитель обратно в выражение для производной: $f'(x) = \frac{e^x + e^{-x} - x(\ln x)(e^x - e^{-x})}{x(e^x + e^{-x})^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{e^x + e^{-x} - x(e^x - e^{-x})\ln x}{x(e^x + e^{-x})^2}$