Номер 214, страница 306 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств - номер 214, страница 306.

Условие.

214. По окружности, длина которой 60 м, равномерно и в одном направлении движутся две точки. Одна делает полный оборот на 5 с скорее другой и при этом догоняет вторую точку каждую минуту. Найдите скорость каждой точки.

Решение 1.

Решение 5.

Обозначим длину окружности как $L$, скорости первой и второй точек как $v_1$ и $v_2$ соответственно, а время, за которое каждая точка проходит один полный оборот, — $t_1$ и $t_2$.

Из условия задачи имеем:
Длина окружности $L = 60$ м.
Точки движутся в одном направлении. Пусть первая точка движется быстрее второй, то есть $v_1 > v_2$.

1. Анализ условия о времени прохождения оборота.
Время, необходимое для совершения одного полного оборота, связано со скоростью формулой $t = L/v$. Таким образом, $t_1 = 60/v_1$ и $t_2 = 60/v_2$.
Поскольку первая точка быстрее, она тратит на один оборот меньше времени: $t_1 < t_2$.
По условию, разница во времени составляет 5 секунд: $t_2 - t_1 = 5$
Подставив выражения для $t_1$ и $t_2$, получим первое уравнение: $ \frac{60}{v_2} - \frac{60}{v_1} = 5 $

2. Анализ условия о встрече точек.
Быстрая точка догоняет медленную каждую минуту (то есть каждые 60 секунд). Это означает, что за 60 секунд первая точка проходит расстояние, на одну длину окружности ($L = 60$ м) большее, чем вторая точка.
Скорость, с которой первая точка "приближается" к второй сзади (относительная скорость), равна разности их скоростей: $v_{отн} = v_1 - v_2$.
За время $T = 60$ с первая точка "нагоняет" расстояние $L = 60$ м. Используем формулу пути $S = v \cdot t$: $L = (v_1 - v_2) \cdot T$ $60 = (v_1 - v_2) \cdot 60$
Из этого уравнения получаем второе, более простое соотношение: $v_1 - v_2 = 1$
Отсюда можно выразить $v_1$ через $v_2$: $v_1 = v_2 + 1$

3. Решение системы уравнений.
Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными: $ \begin{cases} \frac{60}{v_2} - \frac{60}{v_1} = 5 \\ v_1 = v_2 + 1 \end{cases} $
Подставим выражение для $v_1$ из второго уравнения в первое: $ \frac{60}{v_2} - \frac{60}{v_2 + 1} = 5 $
Для упрощения разделим обе части уравнения на 5: $ \frac{12}{v_2} - \frac{12}{v_2 + 1} = 1 $
Приведем левую часть к общему знаменателю $v_2(v_2 + 1)$: $ \frac{12(v_2 + 1) - 12v_2}{v_2(v_2 + 1)} = 1 $
Раскроем скобки в числителе: $ \frac{12v_2 + 12 - 12v_2}{v_2^2 + v_2} = 1 $ $ \frac{12}{v_2^2 + v_2} = 1 $
Это приводит к квадратному уравнению: $ v_2^2 + v_2 = 12 $ $ v_2^2 + v_2 - 12 = 0 $
Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение $-12$. Это числа $3$ и $-4$. $v_{2,1} = 3$ и $v_{2,2} = -4$.
Поскольку скорость движения не может быть отрицательной, единственное подходящее решение: $v_2 = 3$ м/с.

4. Нахождение второй скорости и проверка.
Теперь найдем скорость первой точки: $v_1 = v_2 + 1 = 3 + 1 = 4$ м/с.
Проверим, удовлетворяют ли найденные скорости условиям задачи:
- Время оборота первой точки: $t_1 = L/v_1 = 60/4 = 15$ с.
- Время оборота второй точки: $t_2 = L/v_2 = 60/3 = 20$ с.
- Разница во времени: $t_2 - t_1 = 20 - 15 = 5$ с. (Верно)
- Относительная скорость: $v_1 - v_2 = 4 - 3 = 1$ м/с. Время, за которое первая точка догонит вторую: $T = L/(v_1 - v_2) = 60/1 = 60$ с = 1 минута. (Верно)

Ответ: скорость одной точки равна 4 м/с, а скорость другой — 3 м/с.