Номер 209, страница 305 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 209, страница 305.

Условие.

209. Из пунктов A и B, расположенных на расстоянии $50 \text{ км}$, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Через $5 \text{ ч}$ они встретились. После встречи пешеход, идущий из A в B, уменьшил скорость на $1 \text{ км/ч}$, а второй увеличил скорость на $1 \text{ км/ч}$. Первый пешеход прибыл в B на $2 \text{ ч}$ раньше, чем второй в A. Найдите первоначальную скорость каждого пешехода.

Решение 1.

Решение 5.

Пусть $v_1$ (км/ч) — первоначальная скорость первого пешехода, идущего из пункта А, и $v_2$ (км/ч) — первоначальная скорость второго пешехода, идущего из пункта В.

Составление первого уравнения

Пешеходы движутся навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей $v_1 + v_2$. По условию, они встретились через 5 часов, пройдя общее расстояние 50 км. Используя формулу $S = v \cdot t$, составим первое уравнение:

$(v_1 + v_2) \cdot 5 = 50$

Разделив обе части на 5, получим:

$v_1 + v_2 = 10$

Отсюда можно выразить скорость второго пешехода: $v_2 = 10 - v_1$.

Составление второго уравнения

До встречи первый пешеход прошел расстояние $S_1 = 5 \cdot v_1$ км. Второй пешеход прошел расстояние $S_2 = 5 \cdot v_2$ км.

После встречи первый пешеход, шедший из А, уменьшил скорость на 1 км/ч, и она стала равной $v_1 - 1$ км/ч. Ему осталось пройти расстояние $S_2$ до пункта В. Время, затраченное на этот путь, составляет:

$t_1 = \frac{S_2}{v_1 - 1} = \frac{5v_2}{v_1 - 1}$

Второй пешеход, шедший из В, увеличил скорость на 1 км/ч, и она стала равной $v_2 + 1$ км/ч. Ему осталось пройти расстояние $S_1$ до пункта А. Время, затраченное на этот путь, составляет:

$t_2 = \frac{S_1}{v_2 + 1} = \frac{5v_1}{v_2 + 1}$

По условию, первый пешеход прибыл в В на 2 часа раньше, чем второй в А. Это означает, что $t_2 - t_1 = 2$. Составим второе уравнение:

$\frac{5v_1}{v_2 + 1} - \frac{5v_2}{v_1 - 1} = 2$

Решение системы уравнений

Подставим выражение $v_2 = 10 - v_1$ во второе уравнение:

$\frac{5v_1}{(10 - v_1) + 1} - \frac{5(10 - v_1)}{v_1 - 1} = 2$

$\frac{5v_1}{11 - v_1} - \frac{50 - 5v_1}{v_1 - 1} = 2$

Приведем дроби к общему знаменателю $(11 - v_1)(v_1 - 1)$:

$\frac{5v_1(v_1 - 1) - (50 - 5v_1)(11 - v_1)}{(11 - v_1)(v_1 - 1)} = 2$

Раскроем скобки в числителе:

$5v_1^2 - 5v_1 - (550 - 55v_1 - 50v_1 + 5v_1^2) = 5v_1^2 - 5v_1 - 550 + 105v_1 - 5v_1^2 = 100v_1 - 550$

Раскроем скобки в знаменателе:

$11v_1 - 11 - v_1^2 + v_1 = -v_1^2 + 12v_1 - 11$

Теперь уравнение имеет вид (при условии, что $v_1 \neq 1$ и $v_1 \neq 11$):

$\frac{100v_1 - 550}{-v_1^2 + 12v_1 - 11} = 2$

$100v_1 - 550 = 2(-v_1^2 + 12v_1 - 11)$

$100v_1 - 550 = -2v_1^2 + 24v_1 - 22$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$2v_1^2 + (100 - 24)v_1 - (550 - 22) = 0$

$2v_1^2 + 76v_1 - 528 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$v_1^2 + 38v_1 - 264 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 38^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-264) = 1444 + 1056 = 2500$

$\sqrt{D} = 50$

$v_{1,1} = \frac{-38 + 50}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$v_{1,2} = \frac{-38 - 50}{2} = \frac{-88}{2} = -44$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $v_1 = -44$ не удовлетворяет условию задачи. Значит, первоначальная скорость первого пешехода $v_1 = 6$ км/ч.

Найдем скорость второго пешехода:

$v_2 = 10 - v_1 = 10 - 6 = 4$ км/ч.

Ответ: Первоначальная скорость пешехода, идущего из пункта А, равна 6 км/ч, а первоначальная скорость пешехода, идущего из пункта В, равна 4 км/ч.