Номер 202, страница 304 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств - номер 202, страница 304.

Условие.

202. На строительстве железнодорожной магистрали бригада строителей за несколько дней должна была по плану переместить $2160 \text{ м}^3$ грунта. В течение первых трех дней бригада ежедневно выполняла установленную норму, а затем каждый день перевыполняла норму на $80 \text{ м}^3$, поэтому уже за день до срока бригада переместила $2320 \text{ м}^3$ грунта. Какова по плану дневная норма бригады?

Решение 1.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ м³/день — это плановая дневная норма бригады, а $n$ дней — плановый срок выполнения работы.

По плану бригада должна была переместить 2160 м³ грунта. Составим первое уравнение, связывающее эти величины:
$x \cdot n = 2160$
Из этого уравнения выразим плановое количество дней $n$ через норму $x$:
$n = \frac{2160}{x}$

Теперь опишем фактическое выполнение работы. В течение первых трех дней бригада работала с плановой производительностью $x$ и переместила $3x$ м³ грунта. После этого производительность бригады увеличилась на 80 м³ в день и составила $(x + 80)$ м³/день.

Работа была завершена за день до планового срока, то есть общее время работы составило $(n - 1)$ дней. Следовательно, с повышенной производительностью бригада работала в течение $(n - 1) - 3 = n - 4$ дней. За это время она переместила $(n - 4)(x + 80)$ м³ грунта.

Общий объем перемещенного грунта составил 2320 м³. Сложив объемы, выполненные за оба периода, получаем второе уравнение:
$3x + (n - 4)(x + 80) = 2320$

Подставим выражение для $n$ из первого уравнения во второе, чтобы получить уравнение с одной неизвестной $x$:
$3x + \left(\frac{2160}{x} - 4\right)(x + 80) = 2320$

Решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:
$3x + \frac{2160}{x} \cdot x + \frac{2160 \cdot 80}{x} - 4x - 4 \cdot 80 = 2320$
$3x + 2160 + \frac{172800}{x} - 4x - 320 = 2320$

Приведем подобные слагаемые:
$-x + 1840 + \frac{172800}{x} = 2320$
Перенесем все в левую часть:
$-x + 1840 - 2320 + \frac{172800}{x} = 0$
$-x - 480 + \frac{172800}{x} = 0$

Умножим обе части уравнения на $x$ (так как $x \neq 0$ по смыслу задачи), чтобы избавиться от дроби:
$-x^2 - 480x + 172800 = 0$
Умножим на -1 для удобства:
$x^2 + 480x - 172800 = 0$

Мы получили стандартное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 480^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-172800) = 230400 + 691200 = 921600$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{921600} = 960$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-480 + 960}{2 \cdot 1} = \frac{480}{2} = 240$
$x_2 = \frac{-480 - 960}{2 \cdot 1} = \frac{-1440}{2} = -720$

Поскольку $x$ представляет собой дневную норму выполнения работы, эта величина должна быть положительной. Следовательно, корень $x_2 = -720$ не удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, единственное подходящее решение — $x = 240$.

Ответ: 240 м³.