Номер 201, страница 304 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 201, страница 304.
№201 (с. 304)
Условие. №201 (с. 304)
скриншот условия

201. Два тела движутся навстречу друг другу из двух точек, расстояние между которыми 390 м. Одно тело прошло в первую секунду 6 м, а в каждую следующую проходило на 6 м больше, чем в предыдущую. Второе тело двигалось равномерно со скоростью 12 м/с и начало движение спустя 5 с после первого. Через сколько секунд после того, как начало двигаться первое тело, они встретятся?
Решение 1. №201 (с. 304)

Решение 5. №201 (с. 304)
Для решения задачи найдем законы движения для каждого тела, то есть формулы, описывающие пройденный ими путь в зависимости от времени. Пусть $t$ — это время в секундах, прошедшее с момента начала движения первого тела.
Движение первого тела представляет собой движение, при котором за каждую последующую секунду тело проходит на 6 м больше, чем за предыдущую. В первую секунду оно прошло 6 м. Это означает, что расстояния, проходимые за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 6$ и разностью $d = 6$. Общее расстояние $S_1(t)$, пройденное первым телом за время $t$, равно сумме $t$ первых членов этой прогрессии. Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.
Подставим наши значения, где число членов $n$ равно времени $t$:
$S_1(t) = \frac{2 \cdot 6 + 6(t-1)}{2} \cdot t = \frac{12 + 6t - 6}{2} \cdot t = \frac{6t + 6}{2} \cdot t = (3t + 3)t = 3t^2 + 3t$.
Итак, путь, пройденный первым телом за время $t$, равен $S_1(t) = 3t^2 + 3t$.
Второе тело движется равномерно со скоростью $v_2 = 12$ м/с. Оно начинает движение на 5 секунд позже первого. Это значит, что ко времени $t$ (отсчитываемому от старта первого тела), второе тело будет находиться в движении в течение времени $(t - 5)$ секунд. Данное утверждение верно при $t \ge 5$. Расстояние, пройденное вторым телом, вычисляется по формуле:
$S_2(t) = v_2 \cdot (t - 5) = 12(t - 5)$.
Тела движутся навстречу друг другу и встретятся, когда сумма пройденных ими расстояний станет равной начальному расстоянию между ними, которое составляет 390 м. Составим уравнение встречи:
$S_1(t) + S_2(t) = 390$.
Подставим в это уравнение полученные выражения для $S_1(t)$ и $S_2(t)$:
$(3t^2 + 3t) + 12(t - 5) = 390$.
Решим это уравнение относительно $t$:
$3t^2 + 3t + 12t - 60 = 390$
$3t^2 + 15t - 60 - 390 = 0$
$3t^2 + 15t - 450 = 0$.
Для удобства разделим все члены уравнения на 3:
$t^2 + 5t - 150 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ или по формуле корней:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-150) = 25 + 600 = 625$
$\sqrt{D} = \sqrt{625} = 25$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{-5 + 25}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$t_2 = \frac{-5 - 25}{2} = \frac{-30}{2} = -15$.
Так как время не может быть отрицательной величиной, корень $t_2 = -15$ не имеет физического смысла. Следовательно, время, через которое тела встретятся, составляет 10 секунд с момента начала движения первого тела. Это значение больше 5, что подтверждает корректность нашего предположения о том, что второе тело к моменту встречи уже двигалось.
Для проверки можем рассчитать пути, пройденные телами за это время:
Путь первого тела за 10 с: $S_1(10) = 3 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10 = 300 + 30 = 330$ м.
Второе тело двигалось $10 - 5 = 5$ с. Его путь: $S_2(10) = 12 \cdot 5 = 60$ м.
Суммарный путь: $330 \text{ м} + 60 \text{ м} = 390 \text{ м}$, что равно начальному расстоянию.
Ответ: тела встретятся через 10 секунд после того, как начало двигаться первое тело.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 201 расположенного на странице 304 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №201 (с. 304), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.