Номер 201, страница 304 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств - номер 201, страница 304.

Условие.

201. Два тела движутся навстречу друг другу из двух точек, расстояние между которыми 390 м. Одно тело прошло в первую секунду 6 м, а в каждую следующую проходило на 6 м больше, чем в предыдущую. Второе тело двигалось равномерно со скоростью 12 м/с и начало движение спустя 5 с после первого. Через сколько секунд после того, как начало двигаться первое тело, они встретятся?

Решение 1.

Решение 5.

Для решения задачи найдем законы движения для каждого тела, то есть формулы, описывающие пройденный ими путь в зависимости от времени. Пусть $t$ — это время в секундах, прошедшее с момента начала движения первого тела.

Движение первого тела представляет собой движение, при котором за каждую последующую секунду тело проходит на 6 м больше, чем за предыдущую. В первую секунду оно прошло 6 м. Это означает, что расстояния, проходимые за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 6$ и разностью $d = 6$. Общее расстояние $S_1(t)$, пройденное первым телом за время $t$, равно сумме $t$ первых членов этой прогрессии. Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

Подставим наши значения, где число членов $n$ равно времени $t$:

$S_1(t) = \frac{2 \cdot 6 + 6(t-1)}{2} \cdot t = \frac{12 + 6t - 6}{2} \cdot t = \frac{6t + 6}{2} \cdot t = (3t + 3)t = 3t^2 + 3t$.

Итак, путь, пройденный первым телом за время $t$, равен $S_1(t) = 3t^2 + 3t$.

Второе тело движется равномерно со скоростью $v_2 = 12$ м/с. Оно начинает движение на 5 секунд позже первого. Это значит, что ко времени $t$ (отсчитываемому от старта первого тела), второе тело будет находиться в движении в течение времени $(t - 5)$ секунд. Данное утверждение верно при $t \ge 5$. Расстояние, пройденное вторым телом, вычисляется по формуле:

$S_2(t) = v_2 \cdot (t - 5) = 12(t - 5)$.

Тела движутся навстречу друг другу и встретятся, когда сумма пройденных ими расстояний станет равной начальному расстоянию между ними, которое составляет 390 м. Составим уравнение встречи:

$S_1(t) + S_2(t) = 390$.

Подставим в это уравнение полученные выражения для $S_1(t)$ и $S_2(t)$:

$(3t^2 + 3t) + 12(t - 5) = 390$.

Решим это уравнение относительно $t$:

$3t^2 + 3t + 12t - 60 = 390$

$3t^2 + 15t - 60 - 390 = 0$

$3t^2 + 15t - 450 = 0$.

Для удобства разделим все члены уравнения на 3:

$t^2 + 5t - 150 = 0$.

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ или по формуле корней:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-150) = 25 + 600 = 625$

$\sqrt{D} = \sqrt{625} = 25$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-5 + 25}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$t_2 = \frac{-5 - 25}{2} = \frac{-30}{2} = -15$.

Так как время не может быть отрицательной величиной, корень $t_2 = -15$ не имеет физического смысла. Следовательно, время, через которое тела встретятся, составляет 10 секунд с момента начала движения первого тела. Это значение больше 5, что подтверждает корректность нашего предположения о том, что второе тело к моменту встречи уже двигалось.

Для проверки можем рассчитать пути, пройденные телами за это время:

Путь первого тела за 10 с: $S_1(10) = 3 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10 = 300 + 30 = 330$ м.

Второе тело двигалось $10 - 5 = 5$ с. Его путь: $S_2(10) = 12 \cdot 5 = 60$ м.

Суммарный путь: $330 \text{ м} + 60 \text{ м} = 390 \text{ м}$, что равно начальному расстоянию.

Ответ: тела встретятся через 10 секунд после того, как начало двигаться первое тело.