Страница 304 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

197. Время, затрачиваемое автобусом на прохождение расстояния 325 км, при составлении нового расписания движения автобусов сокращено на 40 мин. Найдите среднюю скорость движения автобуса по новому расписанию, если она на 10 км/ч больше средней скорости, предусмотренной старым расписанием.

Пусть $S$ — расстояние, которое должен проехать автобус, $v_1$ и $t_1$ — средняя скорость и время движения по старому расписанию, а $v_2$ и $t_2$ — средняя скорость и время движения по новому расписанию.

Из условия задачи нам известны следующие данные:

• Расстояние: $S = 325$ км.
• Разница во времени: время по новому расписанию на 40 минут меньше. Переведем минуты в часы: $40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$. Таким образом, $t_1 - t_2 = \frac{2}{3}$.
• Разница в скорости: скорость по новому расписанию на 10 км/ч больше. Таким образом, $v_2 = v_1 + 10$.

Основная формула, связывающая расстояние, скорость и время: $S = v \cdot t$, откуда $t = \frac{S}{v}$.

Выразим время движения через скорость для обоих расписаний:

$t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{325}{v_1}$

$t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{325}{v_2}$

Подставим эти выражения в уравнение разницы во времени $t_1 - t_2 = \frac{2}{3}$:

$\frac{325}{v_1} - \frac{325}{v_2} = \frac{2}{3}$

Нам нужно найти $v_2$. Выразим $v_1$ через $v_2$ из уравнения разницы скоростей: $v_1 = v_2 - 10$. Подставим это выражение в наше основное уравнение:

$\frac{325}{v_2 - 10} - \frac{325}{v_2} = \frac{2}{3}$

Теперь решим это уравнение относительно $v_2$. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v_2(v_2 - 10)$:

$\frac{325v_2 - 325(v_2 - 10)}{v_2(v_2 - 10)} = \frac{2}{3}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{325v_2 - 325v_2 + 3250}{v_2^2 - 10v_2} = \frac{2}{3}$

$\frac{3250}{v_2^2 - 10v_2} = \frac{2}{3}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$2 \cdot (v_2^2 - 10v_2) = 3 \cdot 3250$

$2v_2^2 - 20v_2 = 9750$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2v_2^2 - 20v_2 - 9750 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$v_2^2 - 10v_2 - 4875 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4875) = 100 + 19500 = 19600$

Найдем корни уравнения: $v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$v_{2,1} = \frac{10 + \sqrt{19600}}{2} = \frac{10 + 140}{2} = \frac{150}{2} = 75$

$v_{2,2} = \frac{10 - \sqrt{19600}}{2} = \frac{10 - 140}{2} = \frac{-130}{2} = -65$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_{2,2} = -65$ не является решением задачи. Следовательно, средняя скорость движения автобуса по новому расписанию составляет 75 км/ч.

Ответ: 75 км/ч.

198. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде равна 15 км, прошла $139\frac{1}{3}$ км вниз по течению реки и вернулась обратно. Найдите скорость течения реки, если на весь путь затрачено 20 ч.

Пусть $x$ км/ч — искомая скорость течения реки.

Собственная скорость моторной лодки (скорость в стоячей воде) равна 15 км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки составляет $(15 + x)$ км/ч, а скорость лодки против течения реки — $(15 - x)$ км/ч.

Расстояние, которое лодка прошла вниз по течению и обратно, равно $139 \frac{1}{3}$ км в каждую сторону. Переведем это расстояние в неправильную дробь для удобства вычислений: $S = 139 \frac{1}{3} = \frac{139 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{417 + 1}{3} = \frac{418}{3}$ км.

Время, которое лодка затратила на путь по течению, можно выразить формулой $t_1 = \frac{S}{v_{по\_теч}} = \frac{418/3}{15 + x}$ часов.

Время, которое лодка затратила на обратный путь против течения, составляет $t_2 = \frac{S}{v_{против\_теч}} = \frac{418/3}{15 - x}$ часов.

По условию задачи, на весь путь было затрачено 20 часов. Составим уравнение, сложив время движения по течению и против течения: $t_1 + t_2 = 20$ $\frac{418/3}{15 + x} + \frac{418/3}{15 - x} = 20$

Вынесем общий множитель $\frac{418}{3}$ за скобки: $\frac{418}{3} \left( \frac{1}{15 + x} + \frac{1}{15 - x} \right) = 20$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(15 + x)(15 - x)$, который по формуле разности квадратов равен $15^2 - x^2 = 225 - x^2$: $\frac{418}{3} \left( \frac{1 \cdot (15 - x) + 1 \cdot (15 + x)}{(15 + x)(15 - x)} \right) = 20$ $\frac{418}{3} \left( \frac{15 - x + 15 + x}{225 - x^2} \right) = 20$ $\frac{418}{3} \cdot \frac{30}{225 - x^2} = 20$

Сократим множители 3 и 30 в левой части уравнения: $\frac{418 \cdot 10}{225 - x^2} = 20$ $\frac{4180}{225 - x^2} = 20$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$. Домножим обе части на $(225 - x^2)$: $4180 = 20 \cdot (225 - x^2)$

Разделим обе части уравнения на 20: $\frac{4180}{20} = 225 - x^2$ $209 = 225 - x^2$

Выразим $x^2$: $x^2 = 225 - 209$ $x^2 = 16$

Найдем $x$, взяв квадратный корень. Так как скорость не может быть отрицательной величиной, нас интересует только положительный корень. $x = \sqrt{16}$ $x = 4$

Следовательно, скорость течения реки равна 4 км/ч.

Ответ: 4 км/ч.

199. Поезд должен был пройти 220 км за определенное время. Через 2 ч после начала движения он был задержан на 10 мин и, чтобы прийти вовремя в пункт назначения, увеличил скорость на 5 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда.

Пусть $v$ (км/ч) — первоначальная скорость поезда. Тогда плановое время, за которое поезд должен был пройти весь путь в 220 км, составляет $t = \frac{220}{v}$ часов.

За первые 2 часа движения поезд прошел расстояние $S_1 = v \cdot 2 = 2v$ км.

После этого ему осталось проехать расстояние $S_2 = 220 - S_1 = 220 - 2v$ км.

Плановое время, которое оставалось на вторую часть пути, равно $t_{ост} = t - 2 = \frac{220}{v} - 2$ часов.

Поезд был задержан на 10 минут, что равно $\frac{10}{60} = \frac{1}{6}$ часа. Чтобы прибыть в пункт назначения вовремя, он должен был покрыть оставшееся расстояние за время, уменьшенное на время задержки: $t_{факт} = t_{ост} - \frac{1}{6} = \left(\frac{220}{v} - 2\right) - \frac{1}{6}$ часов.

Для этого поезд увеличил свою скорость на 5 км/ч, и его новая скорость стала $v_{новая} = v + 5$ км/ч.

Составим уравнение, исходя из того, что оставшееся расстояние $S_2$ было пройдено с новой скоростью $v_{новая}$ за фактическое время $t_{факт}$:

$S_2 = v_{новая} \cdot t_{факт}$

$220 - 2v = (v + 5) \cdot \left( \frac{220}{v} - 2 - \frac{1}{6} \right)$

Упростим выражение в скобках:

$\frac{220}{v} - 2 - \frac{1}{6} = \frac{220}{v} - \frac{12}{6} - \frac{1}{6} = \frac{220}{v} - \frac{13}{6}$

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$220 - 2v = (v + 5) \cdot \left( \frac{220}{v} - \frac{13}{6} \right)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$220 - 2v = v \cdot \frac{220}{v} + v \cdot \left(-\frac{13}{6}\right) + 5 \cdot \frac{220}{v} + 5 \cdot \left(-\frac{13}{6}\right)$

$220 - 2v = 220 - \frac{13v}{6} + \frac{1100}{v} - \frac{65}{6}$

Вычтем 220 из обеих частей:

$-2v = - \frac{13v}{6} + \frac{1100}{v} - \frac{65}{6}$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на $6v$ (подразумевая, что $v > 0$):

$-2v \cdot 6v = - \frac{13v}{6} \cdot 6v + \frac{1100}{v} \cdot 6v - \frac{65}{6} \cdot 6v$

$-12v^2 = -13v^2 + 6600 - 65v$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$-12v^2 + 13v^2 + 65v - 6600 = 0$

$v^2 + 65v - 6600 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 65^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6600) = 4225 + 26400 = 30625$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{30625} = 175$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$v_1 = \frac{-65 + 175}{2 \cdot 1} = \frac{110}{2} = 55$

$v_2 = \frac{-65 - 175}{2 \cdot 1} = \frac{-240}{2} = -120$

Скорость поезда не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $v_2 = -120$ не является решением задачи.

Таким образом, первоначальная скорость поезда равна 55 км/ч.

Ответ: 55 км/ч.

200. После встречи двух теплоходов один из них пошел на юг, а другой — на запад. Через 2 ч после встречи расстояние между ними было 60 км. Найдите скорость каждого теплохода, если известно, что скорость одного из них на 6 км/ч больше скорости другого.

Пусть скорость одного теплохода, который пошел на запад, равна $x$ км/ч. Тогда скорость другого теплохода, который пошел на юг, равна $(x + 6)$ км/ч, так как она на 6 км/ч больше.

За время $t = 2$ часа первый теплоход пройдет расстояние $S_1 = v_1 \cdot t = x \cdot 2 = 2x$ км. Второй теплоход за то же время пройдет расстояние $S_2 = v_2 \cdot t = (x + 6) \cdot 2 = 2(x + 6)$ км.

Поскольку теплоходы движутся по перпендикулярным направлениям (один на юг, другой на запад), их пути образуют катеты прямоугольного треугольника. Расстояние между ними через 2 часа является гипотенузой этого треугольника. По условию, длина этой гипотенузы составляет $d = 60$ км.

Применим теорему Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $S_1^2 + S_2^2 = d^2$.

Подставим выражения для расстояний в формулу: $(2x)^2 + (2(x+6))^2 = 60^2$

Теперь решим полученное уравнение. Сначала возведем в квадрат: $4x^2 + 4(x+6)^2 = 3600$

Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на 4: $x^2 + (x+6)^2 = 900$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $x^2 + (x^2 + 12x + 36) = 900$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$: $2x^2 + 12x + 36 - 900 = 0$ $2x^2 + 12x - 864 = 0$

Снова упростим уравнение, разделив все его члены на 2: $x^2 + 6x - 432 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$: $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-432) = 36 + 1728 = 1764$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $\sqrt{D} = \sqrt{1764} = 42$ $x_1 = \frac{-6 + 42}{2 \cdot 1} = \frac{36}{2} = 18$ $x_2 = \frac{-6 - 42}{2 \cdot 1} = \frac{-48}{2} = -24$

Скорость не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -24$ не является решением задачи. Следовательно, скорость одного теплохода равна $x = 18$ км/ч.

Скорость второго теплохода на 6 км/ч больше: $x + 6 = 18 + 6 = 24$ км/ч.

Ответ: скорость одного теплохода 18 км/ч, а скорость другого — 24 км/ч.

201. Два тела движутся навстречу друг другу из двух точек, расстояние между которыми 390 м. Одно тело прошло в первую секунду 6 м, а в каждую следующую проходило на 6 м больше, чем в предыдущую. Второе тело двигалось равномерно со скоростью 12 м/с и начало движение спустя 5 с после первого. Через сколько секунд после того, как начало двигаться первое тело, они встретятся?

Для решения задачи найдем законы движения для каждого тела, то есть формулы, описывающие пройденный ими путь в зависимости от времени. Пусть $t$ — это время в секундах, прошедшее с момента начала движения первого тела.

Движение первого тела представляет собой движение, при котором за каждую последующую секунду тело проходит на 6 м больше, чем за предыдущую. В первую секунду оно прошло 6 м. Это означает, что расстояния, проходимые за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 6$ и разностью $d = 6$. Общее расстояние $S_1(t)$, пройденное первым телом за время $t$, равно сумме $t$ первых членов этой прогрессии. Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

Подставим наши значения, где число членов $n$ равно времени $t$:

$S_1(t) = \frac{2 \cdot 6 + 6(t-1)}{2} \cdot t = \frac{12 + 6t - 6}{2} \cdot t = \frac{6t + 6}{2} \cdot t = (3t + 3)t = 3t^2 + 3t$.

Итак, путь, пройденный первым телом за время $t$, равен $S_1(t) = 3t^2 + 3t$.

Второе тело движется равномерно со скоростью $v_2 = 12$ м/с. Оно начинает движение на 5 секунд позже первого. Это значит, что ко времени $t$ (отсчитываемому от старта первого тела), второе тело будет находиться в движении в течение времени $(t - 5)$ секунд. Данное утверждение верно при $t \ge 5$. Расстояние, пройденное вторым телом, вычисляется по формуле:

$S_2(t) = v_2 \cdot (t - 5) = 12(t - 5)$.

Тела движутся навстречу друг другу и встретятся, когда сумма пройденных ими расстояний станет равной начальному расстоянию между ними, которое составляет 390 м. Составим уравнение встречи:

$S_1(t) + S_2(t) = 390$.

Подставим в это уравнение полученные выражения для $S_1(t)$ и $S_2(t)$:

$(3t^2 + 3t) + 12(t - 5) = 390$.

Решим это уравнение относительно $t$:

$3t^2 + 3t + 12t - 60 = 390$

$3t^2 + 15t - 60 - 390 = 0$

$3t^2 + 15t - 450 = 0$.

Для удобства разделим все члены уравнения на 3:

$t^2 + 5t - 150 = 0$.

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ или по формуле корней:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-150) = 25 + 600 = 625$

$\sqrt{D} = \sqrt{625} = 25$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-5 + 25}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$t_2 = \frac{-5 - 25}{2} = \frac{-30}{2} = -15$.

Так как время не может быть отрицательной величиной, корень $t_2 = -15$ не имеет физического смысла. Следовательно, время, через которое тела встретятся, составляет 10 секунд с момента начала движения первого тела. Это значение больше 5, что подтверждает корректность нашего предположения о том, что второе тело к моменту встречи уже двигалось.

Для проверки можем рассчитать пути, пройденные телами за это время:

Путь первого тела за 10 с: $S_1(10) = 3 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10 = 300 + 30 = 330$ м.

Второе тело двигалось $10 - 5 = 5$ с. Его путь: $S_2(10) = 12 \cdot 5 = 60$ м.

Суммарный путь: $330 \text{ м} + 60 \text{ м} = 390 \text{ м}$, что равно начальному расстоянию.

Ответ: тела встретятся через 10 секунд после того, как начало двигаться первое тело.

202. На строительстве железнодорожной магистрали бригада строителей за несколько дней должна была по плану переместить $2160 \text{ м}^3$ грунта. В течение первых трех дней бригада ежедневно выполняла установленную норму, а затем каждый день перевыполняла норму на $80 \text{ м}^3$, поэтому уже за день до срока бригада переместила $2320 \text{ м}^3$ грунта. Какова по плану дневная норма бригады?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ м³/день — это плановая дневная норма бригады, а $n$ дней — плановый срок выполнения работы.

По плану бригада должна была переместить 2160 м³ грунта. Составим первое уравнение, связывающее эти величины:
$x \cdot n = 2160$
Из этого уравнения выразим плановое количество дней $n$ через норму $x$:
$n = \frac{2160}{x}$

Теперь опишем фактическое выполнение работы. В течение первых трех дней бригада работала с плановой производительностью $x$ и переместила $3x$ м³ грунта. После этого производительность бригады увеличилась на 80 м³ в день и составила $(x + 80)$ м³/день.

Работа была завершена за день до планового срока, то есть общее время работы составило $(n - 1)$ дней. Следовательно, с повышенной производительностью бригада работала в течение $(n - 1) - 3 = n - 4$ дней. За это время она переместила $(n - 4)(x + 80)$ м³ грунта.

Общий объем перемещенного грунта составил 2320 м³. Сложив объемы, выполненные за оба периода, получаем второе уравнение:
$3x + (n - 4)(x + 80) = 2320$

Подставим выражение для $n$ из первого уравнения во второе, чтобы получить уравнение с одной неизвестной $x$:
$3x + \left(\frac{2160}{x} - 4\right)(x + 80) = 2320$

Решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:
$3x + \frac{2160}{x} \cdot x + \frac{2160 \cdot 80}{x} - 4x - 4 \cdot 80 = 2320$
$3x + 2160 + \frac{172800}{x} - 4x - 320 = 2320$

Приведем подобные слагаемые:
$-x + 1840 + \frac{172800}{x} = 2320$
Перенесем все в левую часть:
$-x + 1840 - 2320 + \frac{172800}{x} = 0$
$-x - 480 + \frac{172800}{x} = 0$

Умножим обе части уравнения на $x$ (так как $x \neq 0$ по смыслу задачи), чтобы избавиться от дроби:
$-x^2 - 480x + 172800 = 0$
Умножим на -1 для удобства:
$x^2 + 480x - 172800 = 0$

Мы получили стандартное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 480^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-172800) = 230400 + 691200 = 921600$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{921600} = 960$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-480 + 960}{2 \cdot 1} = \frac{480}{2} = 240$
$x_2 = \frac{-480 - 960}{2 \cdot 1} = \frac{-1440}{2} = -720$

Поскольку $x$ представляет собой дневную норму выполнения работы, эта величина должна быть положительной. Следовательно, корень $x_2 = -720$ не удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, единственное подходящее решение — $x = 240$.

Ответ: 240 м³.

203. Две бригады, работая совместно, закончили посадку деревьев на учебно-опытном участке за 4 дня. Сколько дней потребовалось бы на выполнение этой работы каждой бригаде отдельно, если одна из бригад могла бы закончить посадку деревьев на 6 дней раньше другой?

Это задача на совместную работу. Примем весь объем работы (посадку деревьев) за 1.

Пусть $x$ — количество дней, за которое вторая, более медленная, бригада выполнит всю работу самостоятельно.

По условию, первая бригада может выполнить ту же работу на 6 дней раньше. Следовательно, время работы первой бригады составляет $(x - 6)$ дней. Важно отметить, что $x > 6$, так как время не может быть отрицательным.

Теперь определим производительность каждой бригады (какую часть работы они выполняют за один день):

• Производительность первой бригады: $P_1 = 1 / (x - 6)$
• Производительность второй бригады: $P_2 = 1 / x$

При совместной работе их производительности складываются. Совместная производительность $P_{совм} = P_1 + P_2 = 1 / (x - 6) + 1 / x$.

Известно, что работая вместе, бригады закончили посадку за 4 дня. Это значит, что их совместная производительность равна $1/4$ всей работы в день.

Составим уравнение, приравняв два выражения для совместной производительности:

$1 / (x - 6) + 1 / x = 1 / 4$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x - 6)$:

$(x + (x - 6)) / (x(x - 6)) = 1 / 4$

$(2x - 6) / (x^2 - 6x) = 1 / 4$

Теперь воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»):

$4(2x - 6) = 1(x^2 - 6x)$

$8x - 24 = x^2 - 6x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 6x - 8x + 24 = 0$

$x^2 - 14x + 24 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для вычисления корней через дискриминант.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 196 - 96 = 100$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:

$x_1 = (-b - \sqrt{D}) / (2a) = (14 - \sqrt{100}) / 2 = (14 - 10) / 2 = 4 / 2 = 2$

$x_2 = (-b + \sqrt{D}) / (2a) = (14 + \sqrt{100}) / 2 = (14 + 10) / 2 = 24 / 2 = 12$

Проверим найденные корни на соответствие условию задачи.

Корень $x_1 = 2$ не подходит, так как в этом случае время работы первой бригады было бы $x - 6 = 2 - 6 = -4$ дня, что физически невозможно.

Корень $x_2 = 12$ подходит. В этом случае:

• Время второй (более медленной) бригады: $x = 12$ дней.
• Время первой (более быстрой) бригады: $x - 6 = 12 - 6 = 6$ дней.

Оба значения положительны и удовлетворяют всем условиям задачи.

Ответ: одной бригаде для выполнения работы потребовалось бы 6 дней, а другой — 12 дней.

204. Для перевозки 60 т груза затребовали некоторое количество машин. В связи с тем что на каждую машину погрузили на 0,5 т меньше запланированного, дополнительно было затребовано еще 4 машины. Сколько машин было запланировано первоначально?

Пусть $x$ — это количество машин, которое было запланировано первоначально.

Тогда, согласно плану, на каждую машину должны были погрузить $\frac{60}{x}$ тонн груза.

По факту на каждую машину погрузили на 0,5 т меньше запланированного, то есть по $\frac{60}{x} - 0.5$ тонны.

При этом количество машин увеличилось на 4, то есть стало равно $x + 4$.

Общий вес перевезенного груза остается 60 тонн. Составим уравнение, умножив фактическое количество машин на фактический вес груза в одной машине:

$(x + 4) \cdot (\frac{60}{x} - 0.5) = 60$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$x \cdot \frac{60}{x} - x \cdot 0.5 + 4 \cdot \frac{60}{x} - 4 \cdot 0.5 = 60$

$60 - 0.5x + \frac{240}{x} - 2 = 60$

Вычтем 60 из обеих частей уравнения и приведем подобные слагаемые:

$-0.5x + \frac{240}{x} - 2 = 0$

Умножим все уравнение на $x$ (при условии, что $x \neq 0$, что верно, так как $x$ — это количество машин):

$-0.5x^2 - 2x + 240 = 0$

Для удобства умножим уравнение на -2, чтобы избавиться от десятичной дроби и отрицательного коэффициента при $x^2$:

$x^2 + 4x - 480 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$a = 1, b = 4, c = -480$

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-480) = 16 + 1920 = 1936$

$\sqrt{D} = \sqrt{1936} = 44$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-4 + 44}{2 \cdot 1} = \frac{40}{2} = 20$

$x_2 = \frac{-4 - 44}{2 \cdot 1} = \frac{-48}{2} = -24$

Так как количество машин не может быть отрицательным числом, корень $x_2 = -24$ не подходит по смыслу задачи.

Следовательно, первоначально было запланировано 20 машин.

Выполним проверку.

Планировалось: 20 машин, по $60 / 20 = 3$ тонны на машину.

Фактически: $20 + 4 = 24$ машины, по $3 - 0.5 = 2.5$ тонны на машину.

Общий груз: $24 \cdot 2.5 = 60$ тонн. Условия задачи выполняются.

Ответ: 20 машин.