Страница 298 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Решите уравнения (152—158).

152. a) $ \cos x + 2 \cos 2x = 1; $

б) $ 4 \sin 2x - 3 \sin \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 5; $

в) $ 2 \cos^2 x + 4 \cos x = 3 \sin^2 x; $

г) $ \cos^2 x + 4 \sin^2 x = 2 \sin 2x. $

а) Исходное уравнение: $cos x + 2 cos 2x = 1$.

Чтобы свести уравнение к одной функции, используем формулу косинуса двойного угла: $cos 2x = 2 cos^2 x - 1$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$cos x + 2(2 cos^2 x - 1) = 1$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$cos x + 4 cos^2 x - 2 = 1$

$4 cos^2 x + cos x - 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $cos x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = cos x$. Так как область значений косинуса от $-1$ до $1$, то $|t| \le 1$.

$4t^2 + t - 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Теперь вернемся к замене:

1. $cos x = t_1 = -1$

Это частный случай, решение которого: $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $cos x = t_2 = \frac{3}{4}$

Общее решение для этого уравнения: $x = \pm \arccos\left(\frac{3}{4}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi k$, $x = \pm \arccos\frac{3}{4} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $4 \sin 2x - 3 \sin \left(2x-\frac{\pi}{3}\right) = 5$.

Используем формулу синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.

$\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right) = \sin(2x)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos(2x)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$

Так как $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\sin(2x) - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(2x)$

Подставим это в исходное уравнение:

$4 \sin 2x - 3\left(\frac{1}{2}\sin 2x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x\right) = 5$

$4 \sin 2x - \frac{3}{2}\sin 2x + \frac{3\sqrt{3}}{2}\cos 2x = 5$

$\frac{5}{2}\sin 2x + \frac{3\sqrt{3}}{2}\cos 2x = 5$

Умножим обе части уравнения на 2:

$5\sin 2x + 3\sqrt{3}\cos 2x = 10$

Мы получили уравнение вида $a\sin y + b\cos y = c$, где $y=2x$, $a=5$, $b=3\sqrt{3}$, $c=10$.

Уравнение такого вида имеет решения только если выполняется условие $c^2 \le a^2 + b^2$. Проверим это условие:

$a^2 + b^2 = 5^2 + (3\sqrt{3})^2 = 25 + 9 \cdot 3 = 25 + 27 = 52$.

$c^2 = 10^2 = 100$.

Так как $100 > 52$, то есть $c^2 > a^2+b^2$, данное уравнение не имеет решений. Левая часть уравнения не может принимать значение, равное 10, так как ее максимальное значение равно $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{52} \approx 7.21$.

Ответ: решений нет.

в) Исходное уравнение: $2 \cos^2 x + 4 \cos x = 3 \sin^2 x$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

Подставим это выражение в уравнение, чтобы свести его к одной функции $cos x$:

$2 \cos^2 x + 4 \cos x = 3(1 - \cos^2 x)$

$2 \cos^2 x + 4 \cos x = 3 - 3 \cos^2 x$

Перенесем все члены в левую часть:

$5 \cos^2 x + 4 \cos x - 3 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

$5t^2 + 4t - 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения:

$D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 16 + 60 = 76$

$\sqrt{D} = \sqrt{76} = \sqrt{4 \cdot 19} = 2\sqrt{19}$

$t_1 = \frac{-4 - 2\sqrt{19}}{10} = \frac{-2 - \sqrt{19}}{5}$

$t_2 = \frac{-4 + 2\sqrt{19}}{10} = \frac{-2 + \sqrt{19}}{5}$

Проверим, удовлетворяют ли корни условию $|t| \le 1$.

Для $t_1$: так как $\sqrt{19} > \sqrt{9} = 3$, то $-2 - \sqrt{19} < -5$, и $\frac{-2 - \sqrt{19}}{5} < -1$. Этот корень не подходит.

Для $t_2$: так как $4 < \sqrt{19} < 5$, то $2 < -2 + \sqrt{19} < 3$. Значит, $\frac{2}{5} < \frac{-2 + \sqrt{19}}{5} < \frac{3}{5}$. Этот корень удовлетворяет условию $|t_2| \le 1$.

Возвращаемся к замене:

$\cos x = \frac{-2 + \sqrt{19}}{5}$

Решение этого уравнения:

$x = \pm \arccos\left(\frac{-2 + \sqrt{19}}{5}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{19}-2}{5}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $\cos^2 x + 4 \sin^2 x = 2 \sin 2x$.

Преобразуем левую часть уравнения, используя основное тригонометрическое тождество:

$\cos^2 x + 4 \sin^2 x = (\cos^2 x + \sin^2 x) + 3\sin^2 x = 1 + 3\sin^2 x$.

Используем формулу синуса двойного угла для правой части: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.

Уравнение принимает вид:

$1 + 3\sin^2 x = 2(2\sin x \cos x)$

$1 + 3\sin^2 x = 4\sin x \cos x$

Заменим 1 на $\sin^2 x + \cos^2 x$:

$(\sin^2 x + \cos^2 x) + 3\sin^2 x - 4\sin x \cos x = 0$

$4\sin^2 x - 4\sin x \cos x + \cos^2 x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$. Подставив в уравнение, получим $4(\pm 1)^2 - 0 + 0 = 4 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$:

$\frac{4\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{4\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$4\tan^2 x - 4\tan x + 1 = 0$

Это полный квадрат:

$(2\tan x - 1)^2 = 0$

$2\tan x - 1 = 0$

$\tan x = \frac{1}{2}$

Решение этого уравнения:

$x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctan\frac{1}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

153. a) $\sin^3 x - \cos^3 x = 1 + \frac{\sin 2x}{2}$;

б) $\cos \left(\frac{\pi}{4} + x\right) + \cos \left(\frac{\pi}{4} - x\right) = 1$;

в) $\cos^4 x - \sin^4 x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $\sin \left(\frac{\pi}{6} + x\right) - \sin \left(\frac{\pi}{6} - x\right) = 1$.

а) $\sin^3 x - \cos^3 x = 1 + \frac{\sin 2x}{2}$
Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.
Левая часть уравнения: $\sin^3 x - \cos^3 x = (\sin x - \cos x)(\sin^2 x + \sin x \cos x + \cos^2 x)$.
Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:
$(\sin x - \cos x)(1 + \sin x \cos x)$.
Правая часть уравнения: $1 + \frac{2 \sin x \cos x}{2} = 1 + \sin x \cos x$.
Уравнение принимает вид:
$(\sin x - \cos x)(1 + \sin x \cos x) = 1 + \sin x \cos x$.
Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $(1 + \sin x \cos x)$ за скобки:
$(\sin x - \cos x)(1 + \sin x \cos x) - (1 + \sin x \cos x) = 0$
$(1 + \sin x \cos x)(\sin x - \cos x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
1) $1 + \sin x \cos x = 0$
$1 + \frac{1}{2} \sin 2x = 0$
$\sin 2x = -2$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус $[-1, 1]$.
2) $\sin x - \cos x - 1 = 0$
$\sin x - \cos x = 1$
Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$. Для его решения воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Умножим обе части на $\frac{\sqrt{2}}{2}$:
$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
По формуле синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$:
$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Отсюда получаем два семейства решений:
$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = 1$
Применим формулу суммы косинусов: $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{4} + x$ и $\beta = \frac{\pi}{4} - x$.
$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{4} + x + \frac{\pi}{4} - x}{2} = \frac{\frac{2\pi}{4}}{2} = \frac{\pi}{4}$.
$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{(\frac{\pi}{4} + x) - (\frac{\pi}{4} - x)}{2} = \frac{2x}{2} = x$.
Подставляем в уравнение:
$2 \cos\frac{\pi}{4} \cos x = 1$
Так как $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 1$
$\sqrt{2} \cos x = 1$
$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Решением этого уравнения является:
$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

в) $\cos^4 x - \sin^4 x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\cos^4 x - \sin^4 x = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x)$.
Применяя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$, получаем:
$(\cos 2x) \cdot 1 = \cos 2x$.
Уравнение принимает вид:
$\cos 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$2x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k$
$2x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
Разделим обе части на 2:
$x = \pm \frac{\pi}{12} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{12} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

г) $\sin\left(\frac{\pi}{6} + x\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6} - x\right) = 1$
Применим формулу разности синусов: $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.
В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{6} + x$ и $\beta = \frac{\pi}{6} - x$.
$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{6} + x + \frac{\pi}{6} - x}{2} = \frac{\frac{2\pi}{6}}{2} = \frac{\pi}{6}$.
$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{(\frac{\pi}{6} + x) - (\frac{\pi}{6} - x)}{2} = \frac{2x}{2} = x$.
Подставляем в уравнение:
$2 \cos\frac{\pi}{6} \sin x = 1$
Так как $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = 1$
$\sqrt{3} \sin x = 1$
$\sin x = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Решением этого уравнения является:
$x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

154. a) $\cos 4x + 2 \cos^2 x = 1$;

б) $4 (1 + \cos x) = 3 \sin^2 \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$;

в) $\cos 3x + \sin x \sin 2x = 0$;

г) $4 (1 - \cos x) = 3 \sin \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2}$.

а)

Исходное уравнение: $cos 4x + 2 cos^2 x = 1$.

Используем формулу понижения степени для косинуса $2 cos^2 x = 1 + cos 2x$. Подставим ее в уравнение:

$cos 4x + (1 + cos 2x) = 1$

$cos 4x + cos 2x = 0$

Теперь применим формулу суммы косинусов $cos \alpha + cos \beta = 2 cos \frac{\alpha + \beta}{2} cos \frac{\alpha - \beta}{2}$:

$2 cos \frac{4x + 2x}{2} cos \frac{4x - 2x}{2} = 0$

$2 cos 3x \cdot cos x = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $cos 3x = 0$

$3x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$

2) $cos x = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Заметим, что вторая серия решений является подмножеством первой. Например, при $k=1$ в первой формуле получаем $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$, что соответствует второму решению при $n=0$. В общем виде, если $k = 1 + 3n$, то $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi(1+3n)}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Таким образом, все решения второго случая содержатся в первом.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

б)

Исходное уравнение: $4(1 + cos x) = 3 sin^2 \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}$.

Используем формулу косинуса двойного угла в виде $1 + cos x = 2 cos^2 \frac{x}{2}$.

$4 \cdot (2 cos^2 \frac{x}{2}) = 3 sin^2 \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}$

$8 cos^2 \frac{x}{2} = 3 sin^2 \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}$

Перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель:

$8 cos^2 \frac{x}{2} - 3 sin^2 \frac{x}{2} cos \frac{x}{2} = 0$

$cos \frac{x}{2} (8 cos \frac{x}{2} - 3 sin^2 \frac{x}{2}) = 0$

Получаем два случая:

1) $cos \frac{x}{2} = 0$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

2) $8 cos \frac{x}{2} - 3 sin^2 \frac{x}{2} = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha$:

$8 cos \frac{x}{2} - 3(1 - cos^2 \frac{x}{2}) = 0$

$8 cos \frac{x}{2} - 3 + 3 cos^2 \frac{x}{2} = 0$

$3 cos^2 \frac{x}{2} + 8 cos \frac{x}{2} - 3 = 0$

Сделаем замену $t = cos \frac{x}{2}$, где $|t| \le 1$.

$3t^2 + 8t - 3 = 0$

Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$.

$t_1 = \frac{-8 - 10}{6} = -3$ (не подходит, так как $|t| \le 1$).

$t_2 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Возвращаемся к замене:

$cos \frac{x}{2} = \frac{1}{3}$

$\frac{x}{2} = \pm arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm 2 arccos(\frac{1}{3}) + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm 2 arccos(\frac{1}{3}) + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

в)

Исходное уравнение: $cos 3x + sin x sin 2x = 0$.

Используем формулу произведения синусов $sin \alpha sin \beta = \frac{1}{2}(cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta))$.

$sin x sin 2x = \frac{1}{2}(cos(2x - x) - cos(2x + x)) = \frac{1}{2}(cos x - cos 3x)$.

Подставим в уравнение:

$cos 3x + \frac{1}{2}(cos x - cos 3x) = 0$

$cos 3x + \frac{1}{2}cos x - \frac{1}{2}cos 3x = 0$

$\frac{1}{2}cos 3x + \frac{1}{2}cos x = 0$

$cos 3x + cos x = 0$

Используем формулу суммы косинусов $cos \alpha + cos \beta = 2 cos \frac{\alpha + \beta}{2} cos \frac{\alpha - \beta}{2}$:

$2 cos \frac{3x + x}{2} cos \frac{3x - x}{2} = 0$

$2 cos 2x \cdot cos x = 0$

Получаем два случая:

1) $cos 2x = 0$

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

2) $cos x = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Эти две серии решений не пересекаются.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

г)

Исходное уравнение: $4(1 - cos x) = 3 sin \frac{x}{2} cos^2 \frac{x}{2}$.

Используем формулу косинуса двойного угла в виде $1 - cos x = 2 sin^2 \frac{x}{2}$.

$4 \cdot (2 sin^2 \frac{x}{2}) = 3 sin \frac{x}{2} cos^2 \frac{x}{2}$

$8 sin^2 \frac{x}{2} = 3 sin \frac{x}{2} cos^2 \frac{x}{2}$

Перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель:

$8 sin^2 \frac{x}{2} - 3 sin \frac{x}{2} cos^2 \frac{x}{2} = 0$

$sin \frac{x}{2} (8 sin \frac{x}{2} - 3 cos^2 \frac{x}{2}) = 0$

Получаем два случая:

1) $sin \frac{x}{2} = 0$

$\frac{x}{2} = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

2) $8 sin \frac{x}{2} - 3 cos^2 \frac{x}{2} = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha$:

$8 sin \frac{x}{2} - 3(1 - sin^2 \frac{x}{2}) = 0$

$8 sin \frac{x}{2} - 3 + 3 sin^2 \frac{x}{2} = 0$

$3 sin^2 \frac{x}{2} + 8 sin \frac{x}{2} - 3 = 0$

Сделаем замену $t = sin \frac{x}{2}$, где $|t| \le 1$.

$3t^2 + 8t - 3 = 0$

Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$.

$t_1 = \frac{-8 - 10}{6} = -3$ (не подходит, так как $|t| \le 1$).

$t_2 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Возвращаемся к замене:

$sin \frac{x}{2} = \frac{1}{3}$

$\frac{x}{2} = (-1)^n arcsin(\frac{1}{3}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = 2(-1)^n arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}; \quad x = 2(-1)^n arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

155. а) $\cos 2x - \cos 6x = 0;$

в) $\sin x + \sin 3x = 0;$

б) $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0;$

г) $\cos \left(\frac{\pi}{2} + 5x\right) + \sin x = 2 \cos 3x.$

а) $ \cos 2x - \cos 6x = 0 $

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой разности косинусов: $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.

Применим эту формулу к нашему уравнению:

$ -2 \sin\frac{2x+6x}{2} \sin\frac{2x-6x}{2} = 0 $

$ -2 \sin(4x) \sin(-2x) = 0 $

Так как функция синус является нечетной ($ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $), получаем:

$ 2 \sin(4x) \sin(2x) = 0 $

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:

1) $ \sin(4x) = 0 $

$ 4x = \pi n $, где $ n \in Z $ (Z - множество целых чисел)

$ x = \frac{\pi n}{4}, n \in Z $

2) $ \sin(2x) = 0 $

$ 2x = \pi k $, где $ k \in Z $

$ x = \frac{\pi k}{2}, k \in Z $

Заметим, что вторая серия решений ($ x = \frac{\pi k}{2} $) является подмножеством первой ($ x = \frac{\pi n}{4} $), так как любое решение из второй серии можно получить из первой, взяв $ n = 2k $. Следовательно, все решения описываются первой формулой.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{4}, n \in Z $

б) $ \sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0 $

Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим к ним формулу суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.

$ (\sin x + \sin 3x) + \sin 2x = 0 $

$ 2 \sin\frac{x+3x}{2} \cos\frac{x-3x}{2} + \sin 2x = 0 $

$ 2 \sin(2x) \cos(-x) + \sin 2x = 0 $

Так как функция косинус является четной ($ \cos(-x) = \cos(x) $), получаем:

$ 2 \sin(2x) \cos x + \sin 2x = 0 $

Вынесем общий множитель $ \sin 2x $ за скобки:

$ \sin 2x (2 \cos x + 1) = 0 $

Получаем совокупность двух уравнений:

1) $ \sin 2x = 0 $

$ 2x = \pi n $

$ x = \frac{\pi n}{2}, n \in Z $

2) $ 2 \cos x + 1 = 0 $

$ \cos x = -\frac{1}{2} $

$ x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k $

$ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z $

Объединяем полученные серии решений.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}; x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, n, k \in Z $

в) $ \sin x + \sin 3x = 0 $

Используем формулу суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.

$ 2 \sin\frac{x+3x}{2} \cos\frac{x-3x}{2} = 0 $

$ 2 \sin(2x) \cos(-x) = 0 $

$ 2 \sin(2x) \cos x = 0 $

Получаем совокупность двух уравнений:

1) $ \sin 2x = 0 $

$ 2x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{2}, n \in Z $

2) $ \cos x = 0 $

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z $

Серия решений $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k = \frac{\pi(1+2k)}{2} $ является подмножеством серии $ x = \frac{\pi n}{2} $ (при нечетных $ n $). Таким образом, все решения описываются первой формулой.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}, n \in Z $

г) $ \cos(\frac{\pi}{2} + 5x) + \sin x = 2 \cos 3x $

Применим формулу приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha $ к первому слагаемому:

$ -\sin 5x + \sin x = 2 \cos 3x $

Перепишем левую часть: $ \sin x - \sin 5x = 2 \cos 3x $.

Используем формулу разности синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2} $.

$ 2 \sin\frac{x-5x}{2} \cos\frac{x+5x}{2} = 2 \cos 3x $

$ 2 \sin(-2x) \cos(3x) = 2 \cos 3x $

$ -2 \sin(2x) \cos(3x) = 2 \cos 3x $

Перенесем все члены в одну сторону и разделим на 2:

$ \cos(3x) + \sin(2x) \cos(3x) = 0 $

Вынесем общий множитель $ \cos 3x $ за скобки:

$ \cos 3x (1 + \sin 2x) = 0 $

Получаем совокупность двух уравнений:

1) $ \cos 3x = 0 $

$ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi n $

$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, n \in Z $

2) $ 1 + \sin 2x = 0 $

$ \sin 2x = -1 $

$ 2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k $

$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z $

Объединяем полученные серии решений.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}; x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, n, k \in Z $

156. a) $\frac{6}{\operatorname{ctg} x + 2} = 3 - \operatorname{ctg} x;$

б) $1 + 2 \cos 3x \cos x - \cos 2x = 0;$

в) $\frac{15}{\sin x + 1} = 11 - 2 \sin x;$

г) $\operatorname{ctg} x + \frac{\sin x}{1 + \cos x} = 2.$

a) $\frac{6}{\text{ctg } x + 2} = 3 - \text{ctg } x$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, поэтому $\text{ctg } x + 2 \neq 0$, откуда $\text{ctg } x \neq -2$. Также функция котангенса не определена, когда $\sin x = 0$, то есть $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Для упрощения решения введем замену: пусть $t = \text{ctg } x$. Уравнение примет вид:
$\frac{6}{t + 2} = 3 - t$

3. Умножим обе части уравнения на $(t+2)$, учитывая, что $t \neq -2$:
$6 = (3 - t)(t + 2)$
$6 = 3t + 6 - t^2 - 2t$
$6 = -t^2 + t + 6$
$t^2 - t = 0$

4. Решим полученное квадратное уравнение:
$t(t - 1) = 0$
Отсюда получаем два корня: $t_1 = 0$ и $t_2 = 1$. Оба корня удовлетворяют условию $t \neq -2$.

5. Вернемся к исходной переменной:
При $t_1 = 0$:
$\text{ctg } x = 0$
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

При $t_2 = 1$:
$\text{ctg } x = 1$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Оба семейства решений удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $1 + 2 \cos 3x \cos x - \cos 2x = 0$

1. Используем формулу произведения косинусов: $2 \cos \alpha \cos \beta = \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)$.
В нашем случае $\alpha = 3x$ и $\beta = x$, поэтому:
$2 \cos 3x \cos x = \cos(3x + x) + \cos(3x - x) = \cos 4x + \cos 2x$

2. Подставим это выражение в исходное уравнение:
$1 + (\cos 4x + \cos 2x) - \cos 2x = 0$
$1 + \cos 4x = 0$

3. Решим полученное простейшее тригонометрическое уравнение:
$\cos 4x = -1$
Это частный случай, решение которого имеет вид:
$4x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

4. Разделим обе части на 4, чтобы найти $x$:
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{4}$
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

в) $\frac{15}{\sin x + 1} = 11 - 2 \sin x$

1. ОДЗ: $\sin x + 1 \neq 0 \implies \sin x \neq -1$, то есть $x \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Сделаем замену: пусть $t = \sin x$. Уравнение примет вид:
$\frac{15}{t + 1} = 11 - 2t$
Учитываем, что $-1 \le t \le 1$ и $t \neq -1$.

3. Умножим обе части на $(t+1)$:
$15 = (11 - 2t)(t + 1)$
$15 = 11t + 11 - 2t^2 - 2t$
$15 = -2t^2 + 9t + 11$
$2t^2 - 9t + 4 = 0$

4. Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49 = 7^2$.
$t = \frac{9 \pm 7}{2 \cdot 2} = \frac{9 \pm 7}{4}$
$t_1 = \frac{9 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4$
$t_2 = \frac{9 - 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

5. Вернемся к переменной $x$:
Для $t_1 = 4$: $\sin x = 4$. Это уравнение не имеет решений, так как $|\sin x| \le 1$.
Для $t_2 = \frac{1}{2}$: $\sin x = \frac{1}{2}$. Это значение удовлетворяет условиям $-1 < \sin x \le 1$.
Решения этого уравнения:
$x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Эти решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $\text{ctg } x + \frac{\sin x}{1 + \cos x} = 2$

1. ОДЗ:
Из-за $\text{ctg } x$: $\sin x \neq 0 \implies x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Из-за знаменателя дроби: $1 + \cos x \neq 0 \implies \cos x \neq -1 \implies x \neq \pi + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.
Объединяя условия, получаем $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Преобразуем левую часть уравнения. Заменим $\text{ctg } x$ на $\frac{\cos x}{\sin x}$:
$\frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\sin x}{1 + \cos x} = 2$

3. Приведем дроби к общему знаменателю $\sin x (1 + \cos x)$:
$\frac{\cos x(1 + \cos x) + \sin x \cdot \sin x}{\sin x (1 + \cos x)} = 2$
$\frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{\sin x (1 + \cos x)} = 2$

4. Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:
$\frac{\cos x + 1}{\sin x (1 + \cos x)} = 2$

5. Согласно ОДЗ, $1 + \cos x \neq 0$, поэтому можно сократить дробь на $(1 + \cos x)$:
$\frac{1}{\sin x} = 2$

6. Отсюда получаем:
$\sin x = \frac{1}{2}$
Это значение удовлетворяет ОДЗ, так как если $\sin x = \frac{1}{2}$, то $\sin x \neq 0$.
Решения: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

157. a) $tg 3x - tg x = 0$;

б) $tg x - \sin x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$;

в) $\sin x tg x = \cos x + tg x$;

г) $\sin x + \sin 2x = tg x$.

а) Исходное уравнение: $\tg 3x - \tg x = 0$.
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Тангенс $\tg \alpha$ определен, если $\cos \alpha \neq 0$.
Следовательно, должны выполняться условия: $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
$\cos 3x \neq 0 \implies 3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z} \implies x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}$.
Перенесем $\tg x$ в правую часть уравнения:
$\tg 3x = \tg x$
Это равенство выполняется, если аргументы тангенсов отличаются на число, кратное $\pi$.
$3x = x + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$2x = \pi k$
$x = \frac{\pi k}{2}$
Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ.
Подставим $x = \frac{\pi k}{2}$ в условия ОДЗ.
1. $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$. $\frac{\pi k}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies k = 1 + 2n$. Это означает, что $k$ не может быть нечетным числом.
2. $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}$. Если $k$ — четное, т.е. $k=2j$, то $x=\pi j$. Подставляем: $\pi j \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3} \implies 6j \neq 1 + 2m$. Это верно, так как слева четное число, а справа нечетное.
Если $k$ — нечетное, т.е. $k=2j+1$, то $x=\frac{\pi(2j+1)}{2} = \pi j + \frac{\pi}{2}$. Эти корни мы уже отбросили в первом пункте проверки. Таким образом, решением являются только те значения, где $k$ — четное число. Пусть $k=2m$, тогда $x = \frac{\pi (2m)}{2} = \pi m$.
Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $\tg x - \sin x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$.
ОДЗ: $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Используем формулу понижения степени для правой части: $2 \sin^2 \frac{x}{2} = 1 - \cos x$.
Уравнение принимает вид:
$\tg x - \sin x = 1 - \cos x$
Заменим $\tg x$ на $\frac{\sin x}{\cos x}$:
$\frac{\sin x}{\cos x} - \sin x = 1 - \cos x$
Вынесем $\sin x$ за скобки в левой части:
$\sin x (\frac{1}{\cos x} - 1) = 1 - \cos x$
$\sin x \frac{1 - \cos x}{\cos x} = 1 - \cos x$
Перенесем все члены в одну сторону:
$\sin x \frac{1 - \cos x}{\cos x} - (1 - \cos x) = 0$
Вынесем общий множитель $(1 - \cos x)$ за скобки:
$(1 - \cos x) (\frac{\sin x}{\cos x} - 1) = 0$
$(1 - \cos x) (\tg x - 1) = 0$
Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
1) $1 - \cos x = 0 \implies \cos x = 1$. Решением является $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Эти корни удовлетворяют ОДЗ. 2) $\tg x - 1 = 0 \implies \tg x = 1$. Решением является $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Эти корни также удовлетворяют ОДЗ, так как $\cos(\frac{\pi}{4} + \pi n) \neq 0$.
Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $\sin x \tg x = \cos x + \tg x$.
ОДЗ: $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Перегруппируем члены уравнения:
$\sin x \tg x - \tg x = \cos x$
Вынесем $\tg x$ за скобки:
$\tg x (\sin x - 1) = \cos x$
Заменим $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$:
$\frac{\sin x}{\cos x}(\sin x - 1) = \cos x$
Так как по ОДЗ $\cos x \neq 0$, умножим обе части на $\cos x$:
$\sin x(\sin x - 1) = \cos^2 x$
Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:
$\sin^2 x - \sin x = 1 - \sin^2 x$
$2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$
Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.
$2t^2 - t - 1 = 0$
Находим корни квадратного уравнения: $t_1 = \frac{1 + \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{4} = \frac{1+3}{4} = 1$; $t_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$.
Возвращаемся к переменной $x$:
1) $\sin x = 1$. Решение $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Для этих значений $\cos x = 0$, что противоречит ОДЗ. Следовательно, эти корни посторонние.
2) $\sin x = -\frac{1}{2}$. Решения: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. В общей форме $x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Эти значения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $\sin x + \sin 2x = \tg x$.
ОДЗ: $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ и определение тангенса $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$.
$\sin x + 2 \sin x \cos x = \frac{\sin x}{\cos x}$
Перенесем все в левую часть и вынесем $\sin x$ за скобки:
$\sin x (1 + 2\cos x - \frac{1}{\cos x}) = 0$
Получаем совокупность двух уравнений:
1) $\sin x = 0$. Решения $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Эти корни удовлетворяют ОДЗ, так как $\cos(\pi n) = \pm 1 \neq 0$.
2) $1 + 2\cos x - \frac{1}{\cos x} = 0$.
Умножим на $\cos x$ (по ОДЗ он не равен нулю):
$2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$
Сделаем замену $t = \cos x, |t| \le 1$.
$2t^2 + t - 1 = 0$
Корни этого уравнения: $t_1 = -1$ и $t_2 = \frac{1}{2}$.
Возвращаемся к переменной $x$:
2a) $\cos x = -1$. Решение $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Эти решения являются частным случаем серии $x = \pi k$ (при нечетных $k$), найденной в пункте 1.
2b) $\cos x = \frac{1}{2}$. Решения $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Эти корни удовлетворяют ОДЗ.
Объединяя все найденные решения, получаем две серии корней.
Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

158. a) $arccos \frac{1+2x}{3} = \frac{2\pi}{3};$

б) $arctg (2x-1) = -\frac{\pi}{4};$

в) $arcsin \frac{x+2}{4} = -\frac{\pi}{3};$

г) $arctg (2-3x) = \frac{3\pi}{4}$

а) Дано уравнение $arccos\frac{1+2x}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
По определению арккосинуса, если $arccos(a) = b$, то $cos(b) = a$. Также необходимо, чтобы значение $b$ находилось в области значений функции арккосинус, то есть $b \in [0, \pi]$, и чтобы аргумент $a$ находился в области определения, то есть $a \in [-1, 1]$.
В нашем случае $b = \frac{2\pi}{3}$. Это значение удовлетворяет условию $0 \le \frac{2\pi}{3} \le \pi$, следовательно, уравнение может иметь решение.
Применим функцию косинус к обеим частям уравнения:
$cos(arccos\frac{1+2x}{3}) = cos(\frac{2\pi}{3})$
$\frac{1+2x}{3} = cos(\frac{2\pi}{3})$
Значение косинуса $cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.
Подставим это значение в уравнение:
$\frac{1+2x}{3} = -\frac{1}{2}$
Решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Умножим обе части на 6:
$2(1+2x) = -3$
$2+4x = -3$
$4x = -5$
$x = -\frac{5}{4}$
Проверим, выполняется ли условие для аргумента арккосинуса: $\frac{1+2(-\frac{5}{4})}{3} = \frac{1-\frac{5}{2}}{3} = \frac{-\frac{3}{2}}{3} = -\frac{1}{2}$. Значение $-\frac{1}{2}$ находится в отрезке $[-1, 1]$, значит, решение верное.
Ответ: $-\frac{5}{4}$.

б) Дано уравнение $arctg(2x-1) = -\frac{\pi}{4}$.
По определению арктангенса, если $arctg(a) = b$, то $tg(b) = a$. Область значений арктангенса - интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Значение $b = -\frac{\pi}{4}$ принадлежит этому интервалу, так как $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$.
Применим функцию тангенс к обеим частям уравнения:
$tg(arctg(2x-1)) = tg(-\frac{\pi}{4})$
$2x-1 = tg(-\frac{\pi}{4})$
Значение тангенса $tg(-\frac{\pi}{4}) = -tg(\frac{\pi}{4}) = -1$.
Подставим это значение:
$2x-1 = -1$
$2x = 0$
$x = 0$
Область определения арктангенса - все действительные числа, поэтому дополнительной проверки не требуется.
Ответ: $0$.

в) Дано уравнение $arcsin\frac{x+2}{4} = -\frac{\pi}{3}$.
По определению арксинуса, если $arcsin(a) = b$, то $sin(b) = a$. Область значений арксинуса - отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Значение $b = -\frac{\pi}{3}$ принадлежит этому отрезку, так как $-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2}$, значит, уравнение может иметь решение.
Применим функцию синус к обеим частям уравнения:
$sin(arcsin\frac{x+2}{4}) = sin(-\frac{\pi}{3})$
$\frac{x+2}{4} = sin(-\frac{\pi}{3})$
Значение синуса $sin(-\frac{\pi}{3}) = -sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставим это значение:
$\frac{x+2}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Решим уравнение относительно $x$. Умножим обе части на 4:
$x+2 = 4 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$
$x+2 = -2\sqrt{3}$
$x = -2 - 2\sqrt{3}$
Проверим, входит ли аргумент арксинуса в область определения $[-1, 1]$: $\frac{(-2-2\sqrt{3})+2}{4} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $-1 \le -\frac{\sqrt{3}}{2} \le 1$, условие выполняется, решение верное.
Ответ: $-2 - 2\sqrt{3}$.

г) Дано уравнение $arctg(2-3x) = \frac{3\pi}{4}$.
Область значений функции $y = arctg(x)$ является интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
В данном уравнении значение арктангенса равно $\frac{3\pi}{4}$.
Сравним это значение с границами интервала области значений: $\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{4}$.
Так как $\frac{3\pi}{4} > \frac{2\pi}{4}$, значение $\frac{3\pi}{4}$ не принадлежит области значений функции арктангенс.
Следовательно, данное уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.

Решите неравенства (159–162).

159. a) $sin(\\frac{3\\pi}{2} - x) \\le \\frac{\\sqrt{2}}{2};$

б) $\\sqrt{3} tg(\\frac{\\pi}{4} - x) \\ge -1;$

в) $sin 2x sin \\frac{x}{2} - cos 2x cos \\frac{x}{2} > \\frac{1}{2};$

г) $sin 3x cos x + sin x cos 3x \\le \\frac{\\sqrt{3}}{2}.$

а)

Исходное неравенство: $sin(\frac{3\pi}{2} - x) \le \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для упрощения левой части неравенства применим формулу приведения $sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -cos(\alpha)$.

В результате неравенство принимает вид:

$-cos(x) \le \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$cos(x) \ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь решим это простейшее тригонометрическое неравенство. Найдём на единичной окружности все точки, абсцисса (косинус) которых больше или равна $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Уравнение $cos(t) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ имеет решения $t = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Неравенству $cos(x) \ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствуют значения $x$, принадлежащие дуге от $-\frac{3\pi}{4}$ до $\frac{3\pi}{4}$.

Таким образом, общее решение неравенства можно записать в виде двойного неравенства с учётом периодичности функции косинус:

$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

б)

Исходное неравенство: $\sqrt{3} \ tg(\frac{\pi}{4} - x) \ge -1$.

Разделим обе части неравенства на $\sqrt{3}$:

$tg(\frac{\pi}{4} - x) \ge -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Воспользуемся свойством нечётности тангенса: $tg(-a) = -tg(a)$. Тогда $tg(\frac{\pi}{4} - x) = tg(-(x - \frac{\pi}{4})) = -tg(x - \frac{\pi}{4})$.

Неравенство переписывается в виде:

$-tg(x - \frac{\pi}{4}) \ge -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Умножим на -1, меняя знак неравенства:

$tg(x - \frac{\pi}{4}) \le \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Сделаем замену $t = x - \frac{\pi}{4}$, чтобы получить простейшее неравенство: $tg(t) \le \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Найдём решение для $t$ на основном интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Уравнение $tg(t) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ имеет решение $t = \frac{\pi}{6}$. Так как тангенс — возрастающая функция, неравенство $tg(t) \le \frac{1}{\sqrt{3}}$ выполняется при $-\frac{\pi}{2} < t \le \frac{\pi}{6}$.

Общее решение для $t$ с учётом периода тангенса, равного $\pi$:

$-\frac{\pi}{2} + \pi k < t \le \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = x - \frac{\pi}{4}$:

$-\frac{\pi}{2} + \pi k < x - \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{6} + \pi k$.

Прибавим $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям неравенства:

$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi k < x \le \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + \pi k$.

Упростим выражения:

$-\frac{\pi}{4} + \pi k < x \le \frac{2\pi+3\pi}{12} + \pi k$.

$-\frac{\pi}{4} + \pi k < x \le \frac{5\pi}{12} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi k < x \le \frac{5\pi}{12} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

в)

Исходное неравенство: $sin(2x) sin(\frac{x}{2}) - cos(2x) cos(\frac{x}{2}) > \frac{1}{2}$.

Вынесем знак минус за скобки в левой части:

$-(cos(2x) cos(\frac{x}{2}) - sin(2x) sin(\frac{x}{2})) > \frac{1}{2}$.

Выражение в скобках соответствует формуле косинуса суммы: $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$.

Применим эту формулу для $\alpha = 2x$ и $\beta = \frac{x}{2}$:

$-cos(2x + \frac{x}{2}) > \frac{1}{2}$.

$-cos(\frac{5x}{2}) > \frac{1}{2}$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$cos(\frac{5x}{2}) < -\frac{1}{2}$.

Сделаем замену $t = \frac{5x}{2}$. Неравенство примет вид $cos(t) < -\frac{1}{2}$.

На единичной окружности этому неравенству соответствуют точки, абсцисса которых меньше $-\frac{1}{2}$. Это дуга, расположенная между точками, соответствующими углам $\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{4\pi}{3}$.

Таким образом, решение для $t$ в пределах одного оборота: $\frac{2\pi}{3} < t < \frac{4\pi}{3}$.

Общее решение для $t$ с учётом периодичности:

$\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Произведём обратную замену $t = \frac{5x}{2}$:

$\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < \frac{5x}{2} < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$.

Умножим все части неравенства на $\frac{2}{5}$, чтобы выразить $x$:

$\frac{2}{5} \cdot \frac{2\pi}{3} + \frac{2}{5} \cdot 2\pi k < x < \frac{2}{5} \cdot \frac{4\pi}{3} + \frac{2}{5} \cdot 2\pi k$.

$\frac{4\pi}{15} + \frac{4\pi k}{5} < x < \frac{8\pi}{15} + \frac{4\pi k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{4\pi}{15} + \frac{4\pi k}{5} < x < \frac{8\pi}{15} + \frac{4\pi k}{5}$, $k \in \mathbb{Z}$.

г)

Исходное неравенство: $sin(3x) cos(x) + sin(x) cos(3x) \le \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Левая часть неравенства представляет собой формулу синуса суммы: $sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$.

Применив эту формулу для $\alpha = 3x$ и $\beta = x$, получим:

$sin(3x + x) \le \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$sin(4x) \le \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Введём замену $t = 4x$, чтобы получить простейшее неравенство: $sin(t) \le \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решим его с помощью единичной окружности. Нам нужны точки, ордината (синус) которых не превышает $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Уравнение $sin(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет решения $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.

Неравенство выполняется для всех точек на окружности, кроме дуги между $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$.

Решение можно записать как единый интервал, например, от $\frac{2\pi}{3}$ до $\frac{\pi}{3}$ следующего оборота ($ \frac{\pi}{3}+2\pi = \frac{7\pi}{3} $). Другой, более удобный способ записи — использовать отрицательные углы: решение соответствует дуге от $-\frac{4\pi}{3}$ до $\frac{\pi}{3}$.

Общее решение для $t$:

$-\frac{4\pi}{3} + 2\pi k \le t \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = 4x$:

$-\frac{4\pi}{3} + 2\pi k \le 4x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k$.

Разделим все части неравенства на 4:

$-\frac{4\pi}{12} + \frac{2\pi k}{4} \le x \le \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{4}$.

$-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi k}{2} \le x \le \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi k}{2} \le x \le \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.