Номер 158, страница 298 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств - номер 158, страница 298.

Условие.

158. a) $arccos \frac{1+2x}{3} = \frac{2\pi}{3};$

б) $arctg (2x-1) = -\frac{\pi}{4};$

в) $arcsin \frac{x+2}{4} = -\frac{\pi}{3};$

г) $arctg (2-3x) = \frac{3\pi}{4}$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Дано уравнение $arccos\frac{1+2x}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
По определению арккосинуса, если $arccos(a) = b$, то $cos(b) = a$. Также необходимо, чтобы значение $b$ находилось в области значений функции арккосинус, то есть $b \in [0, \pi]$, и чтобы аргумент $a$ находился в области определения, то есть $a \in [-1, 1]$.
В нашем случае $b = \frac{2\pi}{3}$. Это значение удовлетворяет условию $0 \le \frac{2\pi}{3} \le \pi$, следовательно, уравнение может иметь решение.
Применим функцию косинус к обеим частям уравнения:
$cos(arccos\frac{1+2x}{3}) = cos(\frac{2\pi}{3})$
$\frac{1+2x}{3} = cos(\frac{2\pi}{3})$
Значение косинуса $cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.
Подставим это значение в уравнение:
$\frac{1+2x}{3} = -\frac{1}{2}$
Решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Умножим обе части на 6:
$2(1+2x) = -3$
$2+4x = -3$
$4x = -5$
$x = -\frac{5}{4}$
Проверим, выполняется ли условие для аргумента арккосинуса: $\frac{1+2(-\frac{5}{4})}{3} = \frac{1-\frac{5}{2}}{3} = \frac{-\frac{3}{2}}{3} = -\frac{1}{2}$. Значение $-\frac{1}{2}$ находится в отрезке $[-1, 1]$, значит, решение верное.
Ответ: $-\frac{5}{4}$.

б) Дано уравнение $arctg(2x-1) = -\frac{\pi}{4}$.
По определению арктангенса, если $arctg(a) = b$, то $tg(b) = a$. Область значений арктангенса - интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Значение $b = -\frac{\pi}{4}$ принадлежит этому интервалу, так как $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$.
Применим функцию тангенс к обеим частям уравнения:
$tg(arctg(2x-1)) = tg(-\frac{\pi}{4})$
$2x-1 = tg(-\frac{\pi}{4})$
Значение тангенса $tg(-\frac{\pi}{4}) = -tg(\frac{\pi}{4}) = -1$.
Подставим это значение:
$2x-1 = -1$
$2x = 0$
$x = 0$
Область определения арктангенса - все действительные числа, поэтому дополнительной проверки не требуется.
Ответ: $0$.

в) Дано уравнение $arcsin\frac{x+2}{4} = -\frac{\pi}{3}$.
По определению арксинуса, если $arcsin(a) = b$, то $sin(b) = a$. Область значений арксинуса - отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Значение $b = -\frac{\pi}{3}$ принадлежит этому отрезку, так как $-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2}$, значит, уравнение может иметь решение.
Применим функцию синус к обеим частям уравнения:
$sin(arcsin\frac{x+2}{4}) = sin(-\frac{\pi}{3})$
$\frac{x+2}{4} = sin(-\frac{\pi}{3})$
Значение синуса $sin(-\frac{\pi}{3}) = -sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставим это значение:
$\frac{x+2}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Решим уравнение относительно $x$. Умножим обе части на 4:
$x+2 = 4 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$
$x+2 = -2\sqrt{3}$
$x = -2 - 2\sqrt{3}$
Проверим, входит ли аргумент арксинуса в область определения $[-1, 1]$: $\frac{(-2-2\sqrt{3})+2}{4} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $-1 \le -\frac{\sqrt{3}}{2} \le 1$, условие выполняется, решение верное.
Ответ: $-2 - 2\sqrt{3}$.

г) Дано уравнение $arctg(2-3x) = \frac{3\pi}{4}$.
Область значений функции $y = arctg(x)$ является интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
В данном уравнении значение арктангенса равно $\frac{3\pi}{4}$.
Сравним это значение с границами интервала области значений: $\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{4}$.
Так как $\frac{3\pi}{4} > \frac{2\pi}{4}$, значение $\frac{3\pi}{4}$ не принадлежит области значений функции арктангенс.
Следовательно, данное уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.