Номер 164, страница 299 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 164, страница 299.

Условие.

164. a) $5^{3x} - 2 \cdot 5^{3x - 1} - 3 \cdot 5^{3x - 2} = 60;$

б) $4^x - 3^{x - 0,5} = 3^{x + 0,5} - 2^{2x - 1};$

в) $2^{5x - 1} + 2^{5x - 2} + 2^{5x - 3} = 896;$

г) $5^{2x - 1} + 2^{2x} = 5^{2x} - 2^{2x + 2}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $5^{3x} - 2 \cdot 5^{3x-1} - 3 \cdot 5^{3x-2} = 60$

Для решения данного показательного уравнения вынесем за скобки общий множитель. Наименьшая степень с основанием 5 в уравнении — это $5^{3x-2}$.
Представим остальные члены уравнения через этот множитель, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$5^{3x} = 5^{(3x-2)+2} = 5^{3x-2} \cdot 5^2 = 25 \cdot 5^{3x-2}$
$5^{3x-1} = 5^{(3x-2)+1} = 5^{3x-2} \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^{3x-2}$

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:
$25 \cdot 5^{3x-2} - 2 \cdot (5 \cdot 5^{3x-2}) - 3 \cdot 5^{3x-2} = 60$
Теперь вынесем $5^{3x-2}$ за скобки:
$5^{3x-2} (25 - 2 \cdot 5 - 3) = 60$
Упростим выражение в скобках:
$5^{3x-2} (25 - 10 - 3) = 60$
$5^{3x-2} \cdot 12 = 60$

Разделим обе части уравнения на 12:
$5^{3x-2} = \frac{60}{12}$
$5^{3x-2} = 5$
Поскольку $5 = 5^1$, мы можем приравнять показатели степеней:
$3x - 2 = 1$
$3x = 3$
$x = 1$

Ответ: $x = 1$.

б) $4^x - 3^{x-0,5} = 3^{x+0,5} - 2^{2x-1}$

Сначала преобразуем и сгруппируем члены с одинаковыми основаниями. Заметим, что $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$.
Перенесем члены с основанием 2 в левую часть, а с основанием 3 — в правую:
$2^{2x} + 2^{2x-1} = 3^{x+0,5} + 3^{x-0,5}$

Вынесем общие множители за скобки в каждой части уравнения:
$2^{2x-1}(2^1 + 1) = 3^{x-0,5}(3^1 + 1)$
$2^{2x-1} \cdot 3 = 3^{x-0,5} \cdot 4$
Используя свойства степеней, перепишем уравнение:
$\frac{2^{2x}}{2} \cdot 3 = \frac{3^x}{\sqrt{3}} \cdot 4$

Сгруппируем члены с переменной $x$ в левой части, а константы — в правой:
$\frac{2^{2x}}{3^x} = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{3}$
$\frac{(2^2)^x}{3^x} = \frac{8}{3\sqrt{3}}$
$(\frac{4}{3})^x = \frac{8}{3\sqrt{3}}$

Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $\frac{4}{3}$:
$\frac{8}{3\sqrt{3}} = \frac{2^3}{(\sqrt{3})^3} = \frac{(4^{1/2})^3}{(3^{1/2})^3} = (\frac{4^{1/2}}{3^{1/2}})^3 = ((\frac{4}{3})^{1/2})^3 = (\frac{4}{3})^{3/2}$
Получаем уравнение:
$(\frac{4}{3})^x = (\frac{4}{3})^{3/2}$

Приравниваем показатели степеней:
$x = \frac{3}{2}$ или $x = 1,5$

Ответ: $x = 1,5$.

в) $2^{5x-1} + 2^{5x-2} + 2^{5x-3} = 896$

Вынесем за скобки общий множитель $2^{5x-3}$:
$2^{5x-3}(2^2 + 2^1 + 1) = 896$
Упростим выражение в скобках:
$2^{5x-3}(4 + 2 + 1) = 896$
$2^{5x-3} \cdot 7 = 896$

Разделим обе части уравнения на 7:
$2^{5x-3} = \frac{896}{7}$
$2^{5x-3} = 128$

Представим число 128 как степень двойки: $128 = 2^7$.
$2^{5x-3} = 2^7$
Приравниваем показатели степеней:
$5x - 3 = 7$
$5x = 10$
$x = 2$

Ответ: $x = 2$.

г) $5^{2x-1} + 2^{2x} = 5^{2x} - 2^{2x+2}$

Сгруппируем члены с одинаковыми основаниями: члены с основанием 2 — слева, с основанием 5 — справа.
$2^{2x} + 2^{2x+2} = 5^{2x} - 5^{2x-1}$

Вынесем общие множители за скобки в обеих частях уравнения:
$2^{2x}(1 + 2^2) = 5^{2x-1}(5^1 - 1)$
$2^{2x}(1 + 4) = 5^{2x-1}(4)$
$5 \cdot 2^{2x} = 4 \cdot 5^{2x-1}$

Разделим обе части уравнения на $5 \cdot 5^{2x-1}$ (это выражение не равно нулю), чтобы сгруппировать переменные:
$\frac{2^{2x}}{5^{2x-1}} = \frac{4}{5}$
$\frac{2^{2x}}{5^{2x} \cdot 5^{-1}} = \frac{4}{5}$
$\frac{5 \cdot 2^{2x}}{5^{2x}} = \frac{4}{5}$
$5 \cdot (\frac{2}{5})^{2x} = \frac{4}{5}$

Разделим обе части на 5:
$(\frac{2}{5})^{2x} = \frac{4}{25}$
Представим правую часть как степень с основанием $\frac{2}{5}$:
$\frac{4}{25} = (\frac{2}{5})^2$
Получаем уравнение:
$(\frac{2}{5})^{2x} = (\frac{2}{5})^2$
Приравниваем показатели степеней:
$2x = 2$
$x = 1$

Ответ: $x = 1$.