Номер 170, страница 299 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 170, страница 299.

Условие.

170. a) $x^2 \cdot 3^x - 3^{x+1} \le 0$;

б) 3,7 $\frac{x^2+2x-15}{x-4} > 1$;

В) $x^2 \cdot 5^x - 5^2+x < 0$;

Г) $2^{x+2} - 2^{x+3} - 2^{x+4} > 5^{x+1} - 5^{x+2}$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $x^2 \cdot 3^x - 3^{x+1} \le 0$

Преобразуем неравенство, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$x^2 \cdot 3^x - 3^x \cdot 3^1 \le 0$
Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:
$3^x(x^2 - 3) \le 0$
Так как показательная функция $3^x$ всегда строго положительна ($3^x > 0$ при любом $x$), мы можем разделить обе части неравенства на $3^x$, не меняя знака неравенства:
$x^2 - 3 \le 0$
$x^2 \le 3$
Это неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x \le \sqrt{3} \\ x \ge -\sqrt{3} \end{cases}$
Следовательно, решением является промежуток $[-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$.
Ответ: $x \in [-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$.

б) $3.7^{\frac{x^2+2x-15}{x-4}} > 1$

Представим число 1 в виде степени с основанием 3.7:
$1 = 3.7^0$
Получаем неравенство:
$3.7^{\frac{x^2+2x-15}{x-4}} > 3.7^0$
Так как основание степени $3.7 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$\frac{x^2+2x-15}{x-4} > 0$
Найдем корни числителя, решив уравнение $x^2+2x-15=0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 3$.
Найдем корень знаменателя: $x-4=0$, откуда $x=4$.
Разложим числитель на множители и перепишем неравенство:
$\frac{(x+5)(x-3)}{x-4} > 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси точки -5, 3 и 4. Точка $x=4$ выколота, так как знаменатель не может быть равен нулю. Точки -5 и 3 также выколоты, так как неравенство строгое.
Определим знаки выражения на интервалах:
- при $x > 4$: $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$ (подходит)
- при $3 < x < 4$: $\frac{(+)(+)}{(-)} < 0$ (не подходит)
- при $-5 < x < 3$: $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$ (подходит)
- при $x < -5$: $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$ (не подходит)
Объединяя подходящие интервалы, получаем решение.
Ответ: $x \in (-5, 3) \cup (4, \infty)$.

в) $x^2 \cdot 5^x - 5^{2+x} < 0$

Преобразуем второй член, используя свойство степеней:
$x^2 \cdot 5^x - 5^2 \cdot 5^x < 0$
$x^2 \cdot 5^x - 25 \cdot 5^x < 0$
Вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:
$5^x(x^2 - 25) < 0$
Так как $5^x > 0$ для любого действительного $x$, разделим обе части неравенства на $5^x$ без изменения знака:
$x^2 - 25 < 0$
$x^2 < 25$
Это неравенство эквивалентно $|x| < 5$, что означает:
$-5 < x < 5$
Ответ: $x \in (-5, 5)$.

г) $2^{x+2} - 2^{x+3} - 2^{x+4} > 5^{x+1} - 5^{x+2}$

Упростим левую и правую части неравенства, вынося за скобки степени с основанием $x$.
Левая часть:
$2^x \cdot 2^2 - 2^x \cdot 2^3 - 2^x \cdot 2^4 = 2^x(4 - 8 - 16) = 2^x(-20) = -20 \cdot 2^x$
Правая часть:
$5^x \cdot 5^1 - 5^x \cdot 5^2 = 5^x(5 - 25) = 5^x(-20) = -20 \cdot 5^x$
Подставим упрощенные выражения в исходное неравенство:
$-20 \cdot 2^x > -20 \cdot 5^x$
Разделим обе части на -20. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$2^x < 5^x$
Разделим обе части на $5^x$. Так как $5^x > 0$ при любом $x$, знак неравенства не изменится:
$\frac{2^x}{5^x} < 1$
$(\frac{2}{5})^x < 1$
Представим 1 как степень с основанием $\frac{2}{5}$:
$(\frac{2}{5})^x < (\frac{2}{5})^0$
Так как основание степени $\frac{2}{5}$ находится в интервале $(0, 1)$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$x > 0$
Ответ: $x \in (0, \infty)$.