Номер 172, страница 300 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств - номер 172, страница 300.

Условие.

172. a) $2 \log_5 (\lg x) = \log_5 (10 - 9 \lg x);$

б) $\lg (3^x + x - 17) = x \lg 30 - x;$

в) $2 \lg (\lg x) = \lg (3 - 2 \lg x);$

г) $x - x \lg 5 = \lg (2^x + x - 3).$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Исходное уравнение: $2 \log_{5} (\lg x) = \log_{5} (10 - 9 \lg x)$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
1. $\lg x > 0$, что эквивалентно $x > 10^0$, то есть $x > 1$.
2. $10 - 9 \lg x > 0$, что эквивалентно $9 \lg x < 10$, или $\lg x < \frac{10}{9}$.
Таким образом, ОДЗ для переменной $x$ определяется системой неравенств: $x > 1$ и $\lg x < \frac{10}{9}$, или $0 < \lg x < \frac{10}{9}$.
Используя свойство логарифма $n \log_a b = \log_a (b^n)$, преобразуем левую часть уравнения:
$\log_{5} ((\lg x)^2) = \log_{5} (10 - 9 \lg x)$.
Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:
$(\lg x)^2 = 10 - 9 \lg x$.
Для решения этого уравнения введем замену $t = \lg x$. Уравнение принимает вид квадратного:
$t^2 = 10 - 9t$
$t^2 + 9t - 10 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -10$.
Выполним обратную замену и проверим, удовлетворяют ли найденные значения ОДЗ ($0 < t < \frac{10}{9}$):
1. Если $t = 1$, то $\lg x = 1$. Это значение удовлетворяет ОДЗ, так как $0 < 1 < \frac{10}{9}$. Из $\lg x = 1$ следует, что $x = 10^1 = 10$.
2. Если $t = -10$, то $\lg x = -10$. Это значение не удовлетворяет условию ОДЗ $\lg x > 0$. Следовательно, это посторонний корень.
Таким образом, уравнение имеет единственное решение.
Ответ: $10$.

б) Исходное уравнение: $\lg(3^x + x - 17) = x \lg 30 - x$.
Сначала преобразуем правую часть уравнения, используя свойства логарифмов:
$x \lg 30 - x = x (\lg 30 - 1) = x (\lg 30 - \lg 10) = x \lg(\frac{30}{10}) = x \lg 3 = \lg(3^x)$.
Теперь уравнение можно переписать в виде:
$\lg(3^x + x - 17) = \lg(3^x)$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями положительности аргументов логарифмов: $3^x + x - 17 > 0$ и $3^x > 0$ (второе верно для любого $x$).
Приравниваем аргументы логарифмов, так как их основания равны (основание 10):
$3^x + x - 17 = 3^x$.
Вычитаем $3^x$ из обеих частей уравнения:
$x - 17 = 0$.
Отсюда находим $x = 17$.
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Подставим $x=17$ в неравенство $3^x + x - 17 > 0$:
$3^{17} + 17 - 17 = 3^{17}$. Так как $3^{17} > 0$, условие выполняется.
Ответ: $17$.

в) Исходное уравнение: $2 \lg(\lg x) = \lg(3 - 2 \lg x)$.
Определим область допустимых значений (ОДЗ), исходя из того, что аргументы логарифмов должны быть положительными:
1. $\lg x > 0 \implies x > 1$.
2. $3 - 2 \lg x > 0 \implies 2 \lg x < 3 \implies \lg x < \frac{3}{2}$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ для $\lg x$: $0 < \lg x < \frac{3}{2}$.
Преобразуем левую часть, используя свойство $n \lg a = \lg(a^n)$:
$\lg((\lg x)^2) = \lg(3 - 2 \lg x)$.
Приравниваем аргументы логарифмов:
$(\lg x)^2 = 3 - 2 \lg x$.
Введем замену $t = \lg x$ для получения квадратного уравнения:
$t^2 = 3 - 2t$
$t^2 + 2t - 3 = 0$.
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.
Выполним обратную замену и проверим корни по ОДЗ ($0 < t < \frac{3}{2}$):
1. Если $t = 1$, то $\lg x = 1$. Это значение удовлетворяет ОДЗ, так как $0 < 1 < \frac{3}{2}$. Из $\lg x = 1$ получаем $x = 10^1 = 10$.
2. Если $t = -3$, то $\lg x = -3$. Это значение не удовлетворяет условию $\lg x > 0$, поэтому является посторонним.
Следовательно, решением является только $x=10$.
Ответ: $10$.

г) Исходное уравнение: $x - x \lg 5 = \lg(2^x + x - 3)$.
Преобразуем левую часть уравнения, вынося $x$ за скобки и используя свойства логарифмов:
$x - x \lg 5 = x(1 - \lg 5) = x(\lg 10 - \lg 5) = x \lg(\frac{10}{5}) = x \lg 2 = \lg(2^x)$.
Теперь уравнение имеет вид:
$\lg(2^x) = \lg(2^x + x - 3)$.
ОДЗ определяется условием $2^x + x - 3 > 0$. Также $2^x > 0$ выполняется для всех $x$.
Поскольку основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$2^x = 2^x + x - 3$.
Вычитаем $2^x$ из обеих частей уравнения:
$0 = x - 3$.
Отсюда получаем $x = 3$.
Проверим найденный корень, подставив его в неравенство ОДЗ $2^x + x - 3 > 0$:
$2^3 + 3 - 3 = 8 > 0$. Условие выполняется.
Ответ: $3$.