Номер 177, страница 300 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 177, страница 300.

Условие.

177. a) $2 \log_2 x < 2 + \log_2 (x + 3);$

б) $\log_{\frac{1}{6}} (10 - x) + \log_{\frac{1}{6}} (x - 3) \ge -1;$

в) $\log_{\frac{1}{3}} (x - 2) + \log_{\frac{1}{3}} (12 - x) \ge -2;$

г) $\log_{0,5} (4 - x) \ge \log_{0,5} 2 - \log_{0,5} (x - 1).$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $2 \log_2 x < 2 + \log_2 (x + 3)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} x > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > -3 \end{cases} \Rightarrow x > 0$.
ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.

2. Преобразуем неравенство. Представим число 2 как логарифм по основанию 2: $2 = \log_2 2^2 = \log_2 4$. Перенесем множитель 2 в степень аргумента первого логарифма:
$\log_2 x^2 < \log_2 4 + \log_2 (x + 3)$
Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:
$\log_2 x^2 < \log_2 (4(x + 3))$

3. Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства сохраняется:
$x^2 < 4(x + 3)$
$x^2 < 4x + 12$
$x^2 - 4x - 12 < 0$

4. Решим полученное квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 12 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 6, x_2 = -2$.
Неравенство можно записать в виде $(x - 6)(x + 2) < 0$.
Решением этого неравенства является интервал $x \in (-2, 6)$.

5. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} -2 < x < 6 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow 0 < x < 6$.
Ответ: $x \in (0, 6)$.

б) $\log_{\frac{1}{6}} (10 - x) + \log_{\frac{1}{6}} (x - 3) \geq -1$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 10 - x > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 10 \\ x > 3 \end{cases} \Rightarrow 3 < x < 10$.
ОДЗ: $x \in (3, 10)$.

2. Преобразуем неравенство, используя свойство суммы логарифмов и представляя $-1$ как логарифм по основанию $\frac{1}{6}$:
$\log_{\frac{1}{6}} ((10 - x)(x - 3)) \geq \log_{\frac{1}{6}} \left(\frac{1}{6}\right)^{-1}$
$\log_{\frac{1}{6}} (-x^2 + 13x - 30) \geq \log_{\frac{1}{6}} 6$

3. Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{6} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный:
$-x^2 + 13x - 30 \leq 6$
$-x^2 + 13x - 36 \leq 0$
Умножим на -1, изменив знак неравенства:
$x^2 - 13x + 36 \geq 0$

4. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - 13x + 36 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 4, x_2 = 9$.
Неравенство можно записать в виде $(x - 4)(x - 9) \geq 0$.
Решением является объединение промежутков $(-\infty, 4] \cup [9, +\infty)$.

5. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \in (-\infty, 4] \cup [9, +\infty) \\ x \in (3, 10) \end{cases} \Rightarrow x \in (3, 4] \cup [9, 10)$.
Ответ: $x \in (3, 4] \cup [9, 10)$.

в) $\log_{\frac{1}{3}} (x - 2) + \log_{\frac{1}{3}} (12 - x) \geq -2$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ 12 - x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 2 \\ x < 12 \end{cases} \Rightarrow 2 < x < 12$.
ОДЗ: $x \in (2, 12)$.

2. Преобразуем левую часть по свойству суммы логарифмов, а правую часть представим в виде логарифма по основанию $\frac{1}{3}$:
$\log_{\frac{1}{3}} ((x - 2)(12 - x)) \geq \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$
$\log_{\frac{1}{3}} (-x^2 + 14x - 24) \geq \log_{\frac{1}{3}} 9$

3. Основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$, поэтому функция убывающая, и при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$-x^2 + 14x - 24 \leq 9$
$-x^2 + 14x - 33 \leq 0$
$x^2 - 14x + 33 \geq 0$

4. Решим квадратное неравенство. Корни уравнения $x^2 - 14x + 33 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = 3, x_2 = 11$.
Неравенство $(x - 3)(x - 11) \geq 0$ имеет решение $x \in (-\infty, 3] \cup [11, +\infty)$.

5. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \in (-\infty, 3] \cup [11, +\infty) \\ x \in (2, 12) \end{cases} \Rightarrow x \in (2, 3] \cup [11, 12)$.
Ответ: $x \in (2, 3] \cup [11, 12)$.

г) $\log_{0.5} (4 - x) \geq \log_{0.5} 2 - \log_{0.5} (x - 1)$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 4 - x > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 4 \\ x > 1 \end{cases} \Rightarrow 1 < x < 4$.
ОДЗ: $x \in (1, 4)$.

2. Преобразуем правую часть, используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:
$\log_{0.5} (4 - x) \geq \log_{0.5} \frac{2}{x - 1}$

3. Основание логарифма $0 < 0.5 < 1$, функция убывающая, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$4 - x \leq \frac{2}{x - 1}$

4. Решим полученное рациональное неравенство. Перенесем все слагаемые в левую часть:
$4 - x - \frac{2}{x - 1} \leq 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{(4 - x)(x - 1) - 2}{x - 1} \leq 0$
$\frac{4x - 4 - x^2 + x - 2}{x - 1} \leq 0$
$\frac{-x^2 + 5x - 6}{x - 1} \leq 0$
Умножим числитель на -1 и изменим знак неравенства:
$\frac{x^2 - 5x + 6}{x - 1} \geq 0$

5. Решим неравенство методом интервалов. Корни числителя $x^2 - 5x + 6 = 0$ равны $x_1=2, x_2=3$. Корень знаменателя $x - 1 = 0$ равен $x_3=1$.
Неравенство принимает вид $\frac{(x - 2)(x - 3)}{x - 1} \geq 0$.
Наносим точки 1, 2, 3 на числовую прямую. Точки 2 и 3 — закрашенные (неравенство нестрогое), точка 1 — выколотая (знаменатель не может быть равен нулю).
Решением неравенства являются промежутки $(1, 2] \cup [3, +\infty)$.

6. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \in (1, 2] \cup [3, +\infty) \\ x \in (1, 4) \end{cases} \Rightarrow x \in (1, 2] \cup [3, 4)$.
Ответ: $x \in (1, 2] \cup [3, 4)$.