Номер 176, страница 300 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 176, страница 300.

Условие.

Решите неравенства (176—179).

176. a) $\log_2 (x^2 - x - 4) < 3;$

б) $\log_{\sqrt{3}-1} (5 - 2x) > 2;$

в) $\lg (x^2 - x + 8) \ge 1;$

г) $\log_{\sqrt{7}-1} (3 - 2x) < 2.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $\log_{2}(x^2 - x - 4) < 3$
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$x^2 - x - 4 > 0$
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 4 = 0$ через дискриминант:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$
$x_1 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$, $x_2 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$
Парабола $y = x^2 - x - 4$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется за пределами корней.
ОДЗ: $x \in (-\infty; \frac{1 - \sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{1 + \sqrt{17}}{2}; +\infty)$.
2. Решим само неравенство. Основание логарифма $2 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется.
$\log_{2}(x^2 - x - 4) < 3$
$\log_{2}(x^2 - x - 4) < \log_{2}(2^3)$
$x^2 - x - 4 < 8$
$x^2 - x - 12 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 4$.
Парабола $y = x^2 - x - 12$ ветвями вверх, поэтому неравенство $ < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-3; 4)$.
3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ.
Сравним значения: $\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25}$, т.е. $4 < \sqrt{17} < 5$.
$\frac{1 - \sqrt{17}}{2} \approx \frac{1 - 4.12}{2} \approx -1.56$. Так как $-3 < -1.56$, то интервал $(-3; \frac{1 - \sqrt{17}}{2})$ входит в решение.
$\frac{1 + \sqrt{17}}{2} \approx \frac{1 + 4.12}{2} \approx 2.56$. Так как $2.56 < 4$, то интервал $(\frac{1 + \sqrt{17}}{2}; 4)$ входит в решение.
Пересечение множеств $(-3; 4)$ и $(-\infty; \frac{1 - \sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{1 + \sqrt{17}}{2}; +\infty)$ дает:
$x \in (-3; \frac{1 - \sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{1 + \sqrt{17}}{2}; 4)$.
Ответ: $x \in (-3; \frac{1 - \sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{1 + \sqrt{17}}{2}; 4)$.

б) $\log_{\sqrt{3}-1}(5-2x) > 2$
1. Найдем ОДЗ.
$5 - 2x > 0$
$-2x > -5$
$x < \frac{5}{2}$
ОДЗ: $x \in (-\infty; 2.5)$.
2. Решим неравенство. Оценим основание логарифма $a = \sqrt{3}-1$.
Так как $1 < \sqrt{3} < 2$, то $0 < \sqrt{3}-1 < 1$.
Основание логарифма находится в интервале $(0; 1)$, поэтому логарифмическая функция убывающая, и при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный.
$\log_{\sqrt{3}-1}(5-2x) > 2$
$5-2x < (\sqrt{3}-1)^2$
$5-2x < (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1^2$
$5-2x < 3 - 2\sqrt{3} + 1$
$5-2x < 4 - 2\sqrt{3}$
$-2x < 4 - 2\sqrt{3} - 5$
$-2x < -1 - 2\sqrt{3}$
Делим на -2 и меняем знак неравенства:
$x > \frac{-1 - 2\sqrt{3}}{-2}$
$x > \frac{1 + 2\sqrt{3}}{2}$
3. Найдем пересечение решения $x > \frac{1 + 2\sqrt{3}}{2}$ с ОДЗ $x < \frac{5}{2}$.
Объединяя оба условия, получаем: $\frac{1 + 2\sqrt{3}}{2} < x < \frac{5}{2}$.
Ответ: $x \in (\frac{1+2\sqrt{3}}{2}; \frac{5}{2})$.

в) $\lg(x^2 - x + 8) \geq 1$
1. Найдем ОДЗ.
$x^2 - x + 8 > 0$
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - x + 8$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 1 - 32 = -31$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $1 > 0$, парабола находится полностью выше оси Ox, следовательно, выражение $x^2 - x + 8$ положительно при любых $x$.
ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.
2. Решим неравенство. Основание десятичного логарифма $10 > 1$, поэтому функция возрастающая, знак неравенства сохраняется.
$\lg(x^2 - x + 8) \geq \lg(10^1)$
$x^2 - x + 8 \geq 10$
$x^2 - x - 2 \geq 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.
Парабола $y = x^2 - x - 2$ ветвями вверх, поэтому неравенство $\geq 0$ выполняется на концах и за пределами корней.
$x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)$.
3. Пересечение с ОДЗ ($x \in \mathbb{R}$) не меняет решения.
Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)$.

г) $\log_{\sqrt{7}-1}(3-2x) < 2$
1. Найдем ОДЗ.
$3 - 2x > 0$
$-2x > -3$
$x < \frac{3}{2}$
ОДЗ: $x \in (-\infty; 1.5)$.
2. Решим неравенство. Оценим основание логарифма $a = \sqrt{7}-1$.
Так как $2 < \sqrt{7} < 3$, то $1 < \sqrt{7}-1 < 2$.
Основание логарифма больше 1, поэтому логарифмическая функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется.
$\log_{\sqrt{7}-1}(3-2x) < 2$
$3 - 2x < (\sqrt{7}-1)^2$
$3 - 2x < (\sqrt{7})^2 - 2\sqrt{7} \cdot 1 + 1^2$
$3 - 2x < 7 - 2\sqrt{7} + 1$
$3 - 2x < 8 - 2\sqrt{7}$
$-2x < 8 - 2\sqrt{7} - 3$
$-2x < 5 - 2\sqrt{7}$
Делим на -2 и меняем знак неравенства:
$x > \frac{5 - 2\sqrt{7}}{-2}$
$x > \frac{2\sqrt{7} - 5}{2}$
3. Найдем пересечение решения $x > \frac{2\sqrt{7} - 5}{2}$ с ОДЗ $x < \frac{3}{2}$.
Объединяя оба условия, получаем: $\frac{2\sqrt{7} - 5}{2} < x < \frac{3}{2}$.
Ответ: $x \in (\frac{2\sqrt{7}-5}{2}; \frac{3}{2})$.