Номер 180, страница 301 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 180, страница 301.

Условие.

Решите системы уравнений (180–183).

180. a) $\begin{cases} 2x + 3y = -1, \\ 5x + 4y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x - 9y = 12, \\ 4x - 12y = 16; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + 2y = 7, \\ 2x - 3y = 5; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 5x - 8y = 0, \\ x - 1{,}6y = 1. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2x + 3y = -1, \\ 5x + 4y = 1. \end{cases} $
Решим систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на -2, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами:
$ \begin{cases} 5(2x + 3y) = 5(-1), \\ -2(5x + 4y) = -2(1); \end{cases} $
$ \begin{cases} 10x + 15y = -5, \\ -10x - 8y = -2. \end{cases} $
Теперь сложим почленно левые и правые части уравнений системы:
$(10x + 15y) + (-10x - 8y) = -5 + (-2)$
$7y = -7$
$y = -1$
Подставим найденное значение $y = -1$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $x$:
$2x + 3(-1) = -1$
$2x - 3 = -1$
$2x = -1 + 3$
$2x = 2$
$x = 1$
Проверим решение, подставив значения $x=1$ и $y=-1$ во второе уравнение: $5(1) + 4(-1) = 5 - 4 = 1$. Равенство верно.
Ответ: $(1, -1)$.

б)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 3x - 9y = 12, \\ 4x - 12y = 16. \end{cases} $
Заметим, что оба уравнения можно упростить. Разделим обе части первого уравнения на 3:
$(3x - 9y) : 3 = 12 : 3$
$x - 3y = 4$
Разделим обе части второго уравнения на 4:
$(4x - 12y) : 4 = 16 : 4$
$x - 3y = 4$
После преобразований мы получили два одинаковых уравнения. Это означает, что графики этих линейных функций совпадают, и система имеет бесконечное множество решений. Любая пара чисел $(x, y)$, которая удовлетворяет уравнению $x - 3y = 4$, является решением системы.
Выразим одну переменную через другую, например, $x$ через $y$:
$x = 4 + 3y$
Таким образом, решением является любая пара чисел вида $(4+3y, y)$, где $y$ — любое действительное число.
Ответ: бесконечное множество решений вида $(4+3y, y)$, где $y \in \mathbb{R}$.

в)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + 2y = 7, \\ 2x - 3y = 5. \end{cases} $
Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения легко выразить переменную $x$:
$x = 7 - 2y$
Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:
$2(7 - 2y) - 3y = 5$
$14 - 4y - 3y = 5$
$14 - 7y = 5$
$-7y = 5 - 14$
$-7y = -9$
$y = \frac{-9}{-7} = \frac{9}{7}$
Теперь найдем соответствующее значение $x$, подставив найденное значение $y$ в выражение $x = 7 - 2y$:
$x = 7 - 2 \cdot \frac{9}{7} = 7 - \frac{18}{7} = \frac{49}{7} - \frac{18}{7} = \frac{31}{7}$
Проверим, подставив найденные значения $x=\frac{31}{7}$ и $y=\frac{9}{7}$ во второе уравнение: $2(\frac{31}{7}) - 3(\frac{9}{7}) = \frac{62}{7} - \frac{27}{7} = \frac{35}{7} = 5$. Равенство верно.
Ответ: $(\frac{31}{7}, \frac{9}{7})$.

г)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 5x - 8y = 0, \\ x - 1.6y = 1. \end{cases} $
Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $x$:
$x = 1 + 1.6y$
Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$5(1 + 1.6y) - 8y = 0$
$5 + 8y - 8y = 0$
$5 = 0$
В результате преобразований мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что не существует таких значений $x$ и $y$, которые бы одновременно удовлетворяли обоим уравнениям системы. Следовательно, система не имеет решений.
Геометрически это означает, что прямые, являющиеся графиками уравнений, параллельны. Чтобы убедиться в этом, приведем оба уравнения к виду $y=kx+b$:
Первое уравнение: $5x - 8y = 0 \implies 8y = 5x \implies y = \frac{5}{8}x$.
Второе уравнение: $x - 1.6y = 1 \implies 1.6y = x - 1 \implies y = \frac{1}{1.6}x - \frac{1}{1.6}$.
Поскольку $1.6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$, то $\frac{1}{1.6} = \frac{5}{8}$. Второе уравнение имеет вид $y = \frac{5}{8}x - \frac{5}{8}$.
Угловые коэффициенты прямых равны ($k = \frac{5}{8}$), а точки пересечения с осью OY различны ($b_1=0$, $b_2=-\frac{5}{8}$), что и подтверждает их параллельность.
Ответ: решений нет.