Номер 184, страница 301 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 184, страница 301.

Условие.

184. При каком значении а система уравнений:

a) $\begin{cases} x - 5y = 7, \\ ax - y = -3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + 2y = a, \\ 2x + 4y = 5; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + ay = 2, \\ 3x - 2y = -6; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x - y = 2, \\ 2x - 2y = 2a - \end{cases}$

имеет единственное решение; не имеет решений; имеет бесконечное множество решений?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - 5y = 7 \\ ax - y = -3 \end{cases} $$ Для анализа количества решений системы воспользуемся методом сравнения коэффициентов. Обозначим коэффициенты первого уравнения как $A_1=1, B_1=-5, C_1=7$ и второго уравнения как $A_2=a, B_2=-1, C_2=-3$.
Система имеет единственное решение, когда отношение коэффициентов при переменных не равно друг другу, то есть $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$. $$ \frac{1}{a} \neq \frac{-5}{-1} \implies \frac{1}{a} \neq 5 $$ Это условие эквивалентно $a \neq \frac{1}{5}$. При этом нужно учесть случай $a=0$. Если $a=0$, то система имеет вид $\begin{cases} x-5y=7 \\ -y=-3 \end{cases}$, которая имеет единственное решение ($y=3, x=22$). Таким образом, система имеет единственное решение при всех $a \neq 1/5$.
Если $a = 1/5$, то отношения коэффициентов при переменных равны: $\frac{1}{1/5} = \frac{-5}{-1} = 5$. Сравним это с отношением свободных членов: $$ \frac{C_1}{C_2} = \frac{7}{-3} = -\frac{7}{3} $$ Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$, система не имеет решений.
Система никогда не имеет бесконечного множества решений, так как для этого необходимо выполнение равенства $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$, что в данном случае невозможно.
Ответ: система имеет единственное решение при $a \neq 1/5$; не имеет решений при $a = 1/5$; не имеет бесконечного множества решений ни при каком значении $a$.

б) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + 2y = a \\ 2x + 4y = 5 \end{cases} $$ Коэффициенты уравнений: $A_1=1, B_1=2, C_1=a$ и $A_2=2, B_2=4, C_2=5$.
Найдем отношения коэффициентов при переменных $x$ и $y$: $$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{B_1}{B_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ Поскольку $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$, система никогда не имеет единственного решения. Ее решение зависит от отношения свободных членов.
Система имеет бесконечное множество решений, если $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$. $$ \frac{1}{2} = \frac{a}{5} \implies 2a = 5 \implies a = \frac{5}{2} $$
Система не имеет решений, если $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$. $$ \frac{1}{2} \neq \frac{a}{5} \implies a \neq \frac{5}{2} $$
Ответ: система не имеет единственного решения ни при каком значении $a$; не имеет решений при $a \neq 5/2$; имеет бесконечное множество решений при $a = 5/2$.

в) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + ay = 2 \\ 3x - 2y = -6 \end{cases} $$ Коэффициенты уравнений: $A_1=1, B_1=a, C_1=2$ и $A_2=3, B_2=-2, C_2=-6$.
Система имеет единственное решение, если $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$. $$ \frac{1}{3} \neq \frac{a}{-2} \implies -2 \neq 3a \implies a \neq -\frac{2}{3} $$
Если $a = -2/3$, то отношения коэффициентов при переменных равны: $\frac{1}{3} = \frac{-2/3}{-2}$. Сравним это с отношением свободных членов: $$ \frac{C_1}{C_2} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3} $$ Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$, система не имеет решений при $a = -2/3$.
Система никогда не имеет бесконечного множества решений, так как равенство $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$ не выполняется.
Ответ: система имеет единственное решение при $a \neq -2/3$; не имеет решений при $a = -2/3$; не имеет бесконечного множества решений ни при каком значении $a$.

г) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - y = 2 \\ 2x - 2y = 2a \end{cases} $$ Коэффициенты уравнений: $A_1=1, B_1=-1, C_1=2$ и $A_2=2, B_2=-2, C_2=2a$.
Найдем отношения коэффициентов при переменных $x$ и $y$: $$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{B_1}{B_2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} $$ Поскольку $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$, система никогда не имеет единственного решения.
Система имеет бесконечное множество решений, если $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$. $$ \frac{1}{2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{2}{2a} = \frac{1}{a} \implies a=2 $$
Система не имеет решений, если $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$. $$ \frac{1}{2} \neq \frac{1}{a} \implies a \neq 2 $$
Ответ: система не имеет единственного решения ни при каком значении $a$; не имеет решений при $a \neq 2$; имеет бесконечное множество решений при $a = 2$.