Номер 178, страница 300 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 178, страница 300.

Условие.

178. a) $ \lg (x^2 + x - 6) - \lg (x + 3) \le \lg 3; $

б) $ \log_3 \frac{3x-1}{2-x} < 1; $

в) $ \ln (x^2 + 3x - 10) - \ln (x - 2) \ge \ln 4; $

г) $ \log_3 \frac{3x-5}{x+1} \le 1. $

Решение 1.

Решение 5.

а) Решим логарифмическое неравенство $lg(x^2 + x - 6) - lg(x + 3) \le lg(3)$.
1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительны:
$\begin{cases} x^2 + x - 6 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases}$
Решая первое неравенство $x^2 + x - 6 > 0$, находим корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство верно для $x \in (-\infty, -3) \cup (2, +\infty)$.
Решая второе неравенство $x + 3 > 0$, получаем $x > -3$.
Пересечение этих двух условий дает ОДЗ: $x \in (2, +\infty)$.
2. Преобразуем исходное неравенство, используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)$:
$lg\left(\frac{x^2 + x - 6}{x + 3}\right) \le lg(3)$.
Поскольку основание логарифма $10 > 1$, то для аргументов знак неравенства сохраняется:
$\frac{x^2 + x - 6}{x + 3} \le 3$.
Разложим числитель на множители: $x^2 + x - 6 = (x-2)(x+3)$.
$\frac{(x-2)(x+3)}{x+3} \le 3$.
На ОДЗ ($x > 2$) выражение $x+3$ строго положительно, поэтому на него можно сократить:
$x - 2 \le 3$
$x \le 5$.
3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \le 5 \\ x > 2 \end{cases} \Rightarrow 2 < x \le 5$.
Ответ: $(2, 5]$.

б) Решим логарифмическое неравенство $\log_3 \frac{3x-1}{2-x} < 1$.
1. Найдём ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положителен:
$\frac{3x-1}{2-x} > 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x=1/3$. Нуль знаменателя: $x=2$. На числовой оси отмечаем точки $1/3$ и $2$. Знаки выражения на интервалах $(-\infty, 1/3)$, $(1/3, 2)$, $(2, +\infty)$ соответственно: минус, плюс, минус. Нас интересует интервал, где выражение положительно. ОДЗ: $x \in (1/3, 2)$.
2. Решим само неравенство. Представим $1$ как $\log_3 3$:
$\log_3 \frac{3x-1}{2-x} < \log_3 3$.
Поскольку основание логарифма $3 > 1$, то для аргументов знак неравенства сохраняется:
$\frac{3x-1}{2-x} < 3$.
Перенесем 3 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{3x-1}{2-x} - 3 < 0$
$\frac{3x-1 - 3(2-x)}{2-x} < 0$
$\frac{3x-1 - 6 + 3x}{2-x} < 0$
$\frac{6x-7}{2-x} < 0$.
Решим методом интервалов. Нули числителя: $x=7/6$. Нуль знаменателя: $x=2$. Знаки на интервалах $(-\infty, 7/6)$, $(7/6, 2)$, $(2, +\infty)$ соответственно: минус, плюс, минус. Решение: $x \in (-\infty, 7/6) \cup (2, +\infty)$.
3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$x \in (1/3, 2) \cap ((-\infty, 7/6) \cup (2, +\infty)) \Rightarrow x \in (1/3, 7/6)$.
Ответ: $(1/3, 7/6)$.

в) Решим логарифмическое неравенство $\ln(x^2 + 3x - 10) - \ln(x-2) \ge \ln 4$.
1. Найдём ОДЗ:
$\begin{cases} x^2 + 3x - 10 > 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases}$
Решая первое неравенство $x^2 + 3x - 10 > 0$, находим корни $x_1=-5, x_2=2$. Неравенство верно для $x \in (-\infty, -5) \cup (2, +\infty)$.
Решая второе неравенство $x - 2 > 0$, получаем $x > 2$.
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \in (2, +\infty)$.
2. Преобразуем неравенство:
$\ln\left(\frac{x^2 + 3x - 10}{x-2}\right) \ge \ln 4$.
Поскольку основание натурального логарифма $e > 1$, знак неравенства сохраняется:
$\frac{x^2 + 3x - 10}{x-2} \ge 4$.
Разложим числитель на множители: $x^2 + 3x - 10 = (x+5)(x-2)$.
$\frac{(x+5)(x-2)}{x-2} \ge 4$.
На ОДЗ ($x > 2$) выражение $x-2$ строго положительно, поэтому можно сократить:
$x+5 \ge 4$
$x \ge -1$.
3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \ge -1 \\ x > 2 \end{cases} \Rightarrow x > 2$.
Ответ: $(2, +\infty)$.

г) Решим логарифмическое неравенство $\log_3 \frac{3x-5}{x+1} \le 1$.
1. Найдём ОДЗ:
$\frac{3x-5}{x+1} > 0$.
Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1) \cup (5/3, +\infty)$.
2. Решим само неравенство. Представим $1$ как $\log_3 3$:
$\log_3 \frac{3x-5}{x+1} \le \log_3 3$.
Так как основание $3>1$, то:
$\frac{3x-5}{x+1} \le 3$.
$\frac{3x-5}{x+1} - 3 \le 0$.
$\frac{3x-5 - 3(x+1)}{x+1} \le 0$.
$\frac{3x-5 - 3x - 3}{x+1} \le 0$.
$\frac{-8}{x+1} \le 0$.
Так как числитель $-8$ отрицателен, для выполнения неравенства знаменатель должен быть строго положителен:
$x+1 > 0 \Rightarrow x > -1$.
3. Найдем пересечение решения $x > -1$ с ОДЗ $x \in (-\infty, -1) \cup (5/3, +\infty)$.
Пересечением является интервал $(5/3, +\infty)$.
Ответ: $(5/3, +\infty)$.