Номер 173, страница 300 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 173, страница 300.

Условие.

173. a) $\log_2 x + \frac{4}{\log_x 2} = 5;$

б) $\log_3 x + \log_{\sqrt{x}} x - \log_{\frac{1}{3}} x = 6;$

в) $2 \log_{\sqrt{3}} x + \log_x \frac{1}{3} = 3;$

г) $\log_{\sqrt{2}} x + 4 \log_{x^2} x + \log_8 x = 16.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $\log_2 x + \frac{4}{\log_x 2} = 5$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть больше нуля, а основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице.
ОДЗ: $x > 0$ и $x \ne 1$.
Для решения уравнения воспользуемся формулой перехода к новому основанию для логарифмов: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.
Применим эту формулу ко второму слагаемому: $\frac{1}{\log_x 2} = \log_2 x$.
Тогда второе слагаемое в уравнении можно переписать как $4 \cdot (\frac{1}{\log_x 2}) = 4\log_2 x$.
Подставим это в исходное уравнение:
$\log_2 x + 4\log_2 x = 5$
$5\log_2 x = 5$
$\log_2 x = 1$
По определению логарифма:
$x = 2^1 = 2$.
Корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = 2$.

б) $\log_3 x + \log_{\sqrt{x}} x - \log_{\frac{1}{3}} x = 6$
ОДЗ: $x > 0$ и $\sqrt{x} \ne 1$, что означает $x \ne 1$.
Преобразуем каждый член уравнения, приведя логарифмы к основанию 3.
Второй член: $\log_{\sqrt{x}} x = \log_{x^{1/2}} x$. По свойству $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$ получаем $\frac{1}{1/2}\log_x x = 2 \cdot 1 = 2$.
Третий член: $\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{3^{-1}} x = \frac{1}{-1}\log_3 x = -\log_3 x$.
Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:
$\log_3 x + 2 - (-\log_3 x) = 6$
$\log_3 x + 2 + \log_3 x = 6$
$2\log_3 x = 6 - 2$
$2\log_3 x = 4$
$\log_3 x = 2$
$x = 3^2 = 9$.
Корень $x=9$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = 9$.

в) $2\log_{\sqrt{3}} x + \log_x \frac{1}{3} = 3$
ОДЗ: $x > 0$ и $x \ne 1$.
Приведем логарифмы к одному основанию, например, к 3.
Первый член: $2\log_{\sqrt{3}} x = 2\log_{3^{1/2}} x = 2 \cdot \frac{1}{1/2}\log_3 x = 4\log_3 x$.
Второй член: $\log_x \frac{1}{3} = \log_x (3^{-1}) = -\log_x 3 = -\frac{1}{\log_3 x}$.
Подставим преобразованные выражения в уравнение:
$4\log_3 x - \frac{1}{\log_3 x} = 3$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_3 x$. При этом $t \ne 0$, так как $x \ne 1$.
$4t - \frac{1}{t} = 3$
Умножим обе части на $t$:
$4t^2 - 1 = 3t$
$4t^2 - 3t - 1 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$.
$t_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3+5}{8} = 1$.
$t_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3-5}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$.
Вернемся к исходной переменной:
1) $\log_3 x = 1 \implies x = 3^1 = 3$.
2) $\log_3 x = -\frac{1}{4} \implies x = 3^{-1/4} = \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 3, x_2 = 3^{-1/4}$.

г) $\log_{\sqrt{2}} x + 4\log_{x^2} x + \log_8 x = 16$
ОДЗ: $x > 0$ и $x^2 \ne 1$, что означает $x \ne 1$.
Приведем все логарифмы к основанию 2.
Первый член: $\log_{\sqrt{2}} x = \log_{2^{1/2}} x = \frac{1}{1/2}\log_2 x = 2\log_2 x$.
Второй член: $4\log_{x^2} x = 4 \cdot \frac{1}{2}\log_x x = 2 \cdot 1 = 2$.
Третий член: $\log_8 x = \log_{2^3} x = \frac{1}{3}\log_2 x$.
Подставим преобразованные выражения в уравнение:
$2\log_2 x + 2 + \frac{1}{3}\log_2 x = 16$
Сгруппируем слагаемые с логарифмом:
$(2 + \frac{1}{3})\log_2 x = 16 - 2$
$\frac{7}{3}\log_2 x = 14$
$\log_2 x = 14 \cdot \frac{3}{7}$
$\log_2 x = 6$
$x = 2^6 = 64$.
Корень $x=64$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = 64$.