Номер 168, страница 299 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 168, страница 299.

Условие.

Решите неравенства (168—170).

168.

а) $\frac{16}{\sqrt{32}} \ge \left(\frac{1}{2}\right)^{3+x}$;

б) $3^{x^2+x} < 10^{\lg 9}$;

в) $3 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2-3x} < \frac{1}{9}$;

г) $4^{x^2+x-11} > 5^{\log_5 4}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $ \frac{16}{\sqrt{32}} \geqslant \left(\frac{1}{2}\right)^{3+x} $

Для решения показательного неравенства приведем обе его части к одному основанию, в данном случае к 2.

Преобразуем левую часть:

$ \frac{16}{\sqrt{32}} = \frac{2^4}{\sqrt{2^5}} = \frac{2^4}{2^{5/2}} = 2^{4 - \frac{5}{2}} = 2^{\frac{8-5}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} $.

Преобразуем правую часть:

$ \left(\frac{1}{2}\right)^{3+x} = (2^{-1})^{3+x} = 2^{-(3+x)} = 2^{-3-x} $.

Теперь неравенство имеет вид:

$ 2^{\frac{3}{2}} \geqslant 2^{-3-x} $.

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, можно перейти к неравенству для показателей степени, сохранив знак неравенства:

$ \frac{3}{2} \geqslant -3 - x $.

Решим полученное линейное неравенство относительно $x$:

$ x \geqslant -3 - \frac{3}{2} $

$ x \geqslant -\frac{6}{2} - \frac{3}{2} $

$ x \geqslant -\frac{9}{2} $

$ x \geqslant -4.5 $.

Ответ: $x \in [-4.5, +\infty)$.

б) $ 3^{x^2+x} < 10^{\lg 9} $

Упростим правую часть неравенства, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. Учитывая, что $ \lg 9 = \log_{10} 9 $:

$ 10^{\lg 9} = 10^{\log_{10} 9} = 9 $.

Неравенство принимает вид:

$ 3^{x^2+x} < 9 $.

Приведем правую часть к основанию 3:

$ 9 = 3^2 $.

Получаем неравенство:

$ 3^{x^2+x} < 3^2 $.

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция возрастающая, поэтому переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$ x^2+x < 2 $

$ x^2+x-2 < 0 $.

Для решения квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2+x-2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение равно -2. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Графиком функции $y = x^2+x-2$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции отрицательны между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-2 < x < 1$.

Ответ: $x \in (-2, 1)$.

в) $ 3 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2-3x} < \frac{1}{9} $

Приведем обе части неравенства к основанию 3.

Преобразуем левую часть:

$ 3 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2-3x} = 3^1 \cdot \left(3^{-1/2}\right)^{2-3x} = 3^1 \cdot 3^{-\frac{1}{2}(2-3x)} = 3^1 \cdot 3^{-1+\frac{3}{2}x} = 3^{1-1+\frac{3}{2}x} = 3^{\frac{3}{2}x} $.

Преобразуем правую часть:

$ \frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2} $.

Неравенство принимает вид:

$ 3^{\frac{3}{2}x} < 3^{-2} $.

Так как основание $3 > 1$, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$ \frac{3}{2}x < -2 $.

Решим это линейное неравенство:

$ 3x < -4 $

$ x < -\frac{4}{3} $.

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{4}{3})$.

г) $ 4^{x^2+x-11} > 5^{\log_5 4} $

Упростим правую часть, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$ 5^{\log_5 4} = 4 $.

Неравенство принимает вид:

$ 4^{x^2+x-11} > 4 $.

Представим правую часть как степень с основанием 4: $4 = 4^1$.

$ 4^{x^2+x-11} > 4^1 $.

Так как основание степени $4 > 1$, показательная функция является возрастающей. Перейдем к неравенству для показателей, сохранив знак:

$ x^2+x-11 > 1 $

$ x^2+x-12 > 0 $.

Для решения квадратного неравенства найдем корни уравнения $x^2+x-12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение равно -12. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$.

Графиком функции $y = x^2+x-12$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x < -4$ или $x > 3$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (3, +\infty)$.