Номер 163, страница 299 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 163, страница 299.

Условие.

Решите уравнения (163–167).

163. а) $0.2^{x^2-16x-37.5} = 5\sqrt{5}$;

б) $2^{x^2-3} \cdot 5^{x^2-3} = 0.01 \cdot (10^{x-1})^3$;

в) $2^{x^2-6x+0.5} = \frac{1}{16\sqrt{2}};

г) $\frac{6^{x^2}}{2^{-15}} = \frac{3^{-15}}{6^{12-12x}}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $0,2^{x^2-16x-37,5} = 5\sqrt{5}$

Приведем обе части уравнения к основанию 5.
Левая часть: $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$.
Тогда $0,2^{x^2-16x-37,5} = (5^{-1})^{x^2-16x-37,5} = 5^{-(x^2-16x-37,5)} = 5^{-x^2+16x+37,5}$.
Правая часть: $5\sqrt{5} = 5^1 \cdot 5^{1/2} = 5^{1+0,5} = 5^{1,5}$.
Теперь уравнение имеет вид:
$5^{-x^2+16x+37,5} = 5^{1,5}$
Приравниваем показатели степеней:
$-x^2+16x+37,5 = 1,5$
$-x^2+16x+37,5 - 1,5 = 0$
$-x^2+16x+36 = 0$
Умножим на -1, чтобы получить приведенное квадратное уравнение:
$x^2-16x-36 = 0$
Решим его через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 256 + 144 = 400$
$\sqrt{D} = \sqrt{400} = 20$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + 20}{2} = \frac{36}{2} = 18$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - 20}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: -2; 18.

б) $2^{x^2-3} \cdot 5^{x^2-3} = 0,01 \cdot (10^{x-1})^3$

Преобразуем обе части уравнения.
Левая часть: используя свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$, получаем:
$2^{x^2-3} \cdot 5^{x^2-3} = (2 \cdot 5)^{x^2-3} = 10^{x^2-3}$.
Правая часть: представим $0,01$ как степень 10 и упростим выражение в скобках.
$0,01 = \frac{1}{100} = 10^{-2}$.
$(10^{x-1})^3 = 10^{(x-1) \cdot 3} = 10^{3x-3}$.
Тогда вся правая часть равна: $10^{-2} \cdot 10^{3x-3} = 10^{-2+3x-3} = 10^{3x-5}$.
Получаем уравнение:
$10^{x^2-3} = 10^{3x-5}$
Приравниваем показатели степеней:
$x^2-3 = 3x-5$
$x^2-3x-3+5 = 0$
$x^2-3x+2 = 0$
Решим по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 3$
$x_1 \cdot x_2 = 2$
Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Ответ: 1; 2.

в) $2^{x^2-6x+0,5} = \frac{1}{16\sqrt{2}}$

Приведем правую часть уравнения к основанию 2.
$16 = 2^4$
$\sqrt{2} = 2^{1/2} = 2^{0,5}$
$16\sqrt{2} = 2^4 \cdot 2^{0,5} = 2^{4+0,5} = 2^{4,5}$
$\frac{1}{16\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{4,5}} = 2^{-4,5}$
Уравнение принимает вид:
$2^{x^2-6x+0,5} = 2^{-4,5}$
Приравниваем показатели степеней:
$x^2-6x+0,5 = -4,5$
$x^2-6x+0,5+4,5 = 0$
$x^2-6x+5 = 0$
Решим по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 6$
$x_1 \cdot x_2 = 5$
Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Ответ: 1; 5.

г) $\frac{6^{x^2}}{2^{-15}} = \frac{3^{-15}}{6^{12-12x}}$

Воспользуемся основным свойством пропорции (крест-накрест):
$6^{x^2} \cdot 6^{12-12x} = 2^{-15} \cdot 3^{-15}$
Упростим обе части уравнения, используя свойства степеней.
Левая часть (при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются):
$6^{x^2} \cdot 6^{12-12x} = 6^{x^2+12-12x} = 6^{x^2-12x+12}$.
Правая часть (при умножении степеней с одинаковым показателем их основания перемножаются):
$2^{-15} \cdot 3^{-15} = (2 \cdot 3)^{-15} = 6^{-15}$.
Уравнение принимает вид:
$6^{x^2-12x+12} = 6^{-15}$
Приравниваем показатели степеней:
$x^2-12x+12 = -15$
$x^2-12x+12+15 = 0$
$x^2-12x+27 = 0$
Решим по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 12$
$x_1 \cdot x_2 = 27$
Корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = 9$.

Ответ: 3; 9.