Номер 169, страница 299 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 169, страница 299.

Условие.

169. a) $0,04^x - 26 \cdot 0,2^x + 25 \le 0;$

б) $9^x - 84 \cdot 3^{-2x} + \frac{1}{3} > 0;$

в) $4^x - 10 \cdot 2^x + 16 < 0;$

г) $2^{2x+1} + \left(\frac{1}{2}\right)^{2x+1} - \frac{5}{2} \ge 0.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

a) $0,04^x - 26 \cdot 0,2^x + 25 \le 0$

Заметим, что $0,04 = (0,2)^2$. Тогда неравенство можно переписать в виде:

$(0,2^x)^2 - 26 \cdot 0,2^x + 25 \le 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 0,2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$:

$t^2 - 26t + 25 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 26t + 25 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 25$.

Так как ветви параболы $y = t^2 - 26t + 25$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями:

$1 \le t \le 25$

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$1 \le 0,2^x \le 25$

Представим все части неравенства как степени числа 5. Учитывая, что $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$, $1 = 5^0$ и $25 = 5^2$, получаем:

$5^0 \le (5^{-1})^x \le 5^2$

$5^0 \le 5^{-x} \le 5^2$

Так как основание степени $5 > 1$, функция $y=5^u$ возрастающая, поэтому при переходе к неравенству для показателей степени знаки неравенства сохраняются:

$0 \le -x \le 2$

Умножим все части неравенства на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:

$0 \ge x \ge -2$

Запишем в стандартном виде:

$-2 \le x \le 0$

Ответ: $[-2, 0]$

б) $9^x - 84 \cdot 3^{-2x} + \frac{1}{3} > 0$

Приведем все степени к одному основанию 3. Заметим, что $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$ и $3^{-2x} = \frac{1}{3^{2x}}$.

Неравенство принимает вид:

$3^{2x} - \frac{84}{3^{2x}} + \frac{1}{3} > 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^{2x}$. Условие: $t > 0$.

$t - \frac{84}{t} + \frac{1}{3} > 0$

Умножим обе части неравенства на $3t$. Так как $t > 0$, знак неравенства не меняется.

$3t^2 - 252 + t > 0$

$3t^2 + t - 252 > 0$

Найдем корни уравнения $3t^2 + t - 252 = 0$.

Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-252) = 1 + 3024 = 3025 = 55^2$.

Корни: $t_{1,2} = \frac{-1 \pm 55}{6}$.

$t_1 = \frac{-1-55}{6} = -\frac{56}{6} = -\frac{28}{3}$

$t_2 = \frac{-1+55}{6} = \frac{54}{6} = 9$

Ветви параболы $y = 3t^2 + t - 252$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $t < -\frac{28}{3}$ или $t > 9$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $t > 9$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$3^{2x} > 9$

$3^{2x} > 3^2$

Так как основание $3 > 1$, функция возрастающая:

$2x > 2$

$x > 1$

Ответ: $(1, +\infty)$

в) $4^x - 10 \cdot 2^x + 16 < 0$

Представим $4^x$ как $(2^2)^x = (2^x)^2$. Неравенство примет вид:

$(2^x)^2 - 10 \cdot 2^x + 16 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

$t^2 - 10t + 16 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 10t + 16 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 2$ и $t_2 = 8$.

Ветви параболы $y = t^2 - 10t + 16$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями:

$2 < t < 8$

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Вернемся к переменной $x$:

$2 < 2^x < 8$

Запишем 2 как $2^1$ и 8 как $2^3$:

$2^1 < 2^x < 2^3$

Так как основание $2 > 1$, функция возрастающая, поэтому:

$1 < x < 3$

Ответ: $(1, 3)$

г) $2^{2x+1} + (\frac{1}{2})^{2x+1} - \frac{5}{2} \ge 0$

Перепишем неравенство, используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$2^{2x+1} + \frac{1}{2^{2x+1}} - \frac{5}{2} \ge 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^{2x+1}$, где $t > 0$.

$t + \frac{1}{t} - \frac{5}{2} \ge 0$

Умножим обе части на $2t$ (так как $t>0$, знак неравенства не меняется):

$2t^2 + 2 - 5t \ge 0$

$2t^2 - 5t + 2 \ge 0$

Найдем корни уравнения $2t^2 - 5t + 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

Корни: $t_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{4}$.

$t_1 = \frac{5-3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{5+3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Ветви параболы $y = 2t^2 - 5t + 2$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $t \le \frac{1}{2}$ или $t \ge 2$.

Оба интервала удовлетворяют условию $t>0$.

Возвращаемся к переменной $x$:

Случай 1: $t \le \frac{1}{2}$

$2^{2x+1} \le \frac{1}{2}$

$2^{2x+1} \le 2^{-1}$

Так как основание $2 > 1$, функция возрастающая:

$2x+1 \le -1 \implies 2x \le -2 \implies x \le -1$

Случай 2: $t \ge 2$

$2^{2x+1} \ge 2$

$2^{2x+1} \ge 2^1$

Так как основание $2 > 1$, функция возрастающая:

$2x+1 \ge 1 \implies 2x \ge 0 \implies x \ge 0$

Объединяя решения, получаем:

$x \in (-\infty, -1] \cup [0, +\infty)$

Ответ: $(-\infty, -1] \cup [0, +\infty)$