Номер 167, страница 299 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств - номер 167, страница 299.

Условие.

167. a) $3^{2\sqrt{x}} + 3^{2\sqrt{x}-1} - 3^{2\sqrt{x}-2} = 11;$

б) $5^{\sin^2 x} - 25^{\cos x} = 0;$

в) $2^{\sin^2 x} + 2^{\cos^2 x} = 3;$

г) $3 \cdot 9^{\frac{1}{x}} + 6^{\frac{1}{x}} = 2 \cdot 4^{\frac{1}{x}}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $3^{2\sqrt{x}} + 3^{2\sqrt{x}-1} - 3^{2\sqrt{x}-2} = 11$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x \ge 0$.

Преобразуем уравнение, используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$3^{2\sqrt{x}} + \frac{3^{2\sqrt{x}}}{3^1} - \frac{3^{2\sqrt{x}}}{3^2} = 11$

Вынесем общий множитель $3^{2\sqrt{x}}$ за скобки:

$3^{2\sqrt{x}} \left(1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{9}\right) = 11$

Вычислим значение выражения в скобках:

$1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{9} = \frac{9}{9} + \frac{3}{9} - \frac{1}{9} = \frac{9+3-1}{9} = \frac{11}{9}$

Подставим полученное значение обратно в уравнение:

$3^{2\sqrt{x}} \cdot \frac{11}{9} = 11$

Разделим обе части уравнения на $\frac{11}{9}$:

$3^{2\sqrt{x}} = 11 \cdot \frac{9}{11}$

$3^{2\sqrt{x}} = 9$

Представим число 9 как степень 3:

$3^{2\sqrt{x}} = 3^2$

Так как основания степеней равны, приравняем их показатели:

$2\sqrt{x} = 2$

$\sqrt{x} = 1$

Возведем обе части в квадрат, чтобы найти $x$:

$x = 1$

Полученный корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 0$).

Ответ: $1$.

б) $5^{\sin^2 x} - 25^{\cos x} = 0$

Перепишем уравнение в виде:

$5^{\sin^2 x} = 25^{\cos x}$

Приведем обе части к основанию 5, зная что $25 = 5^2$:

$5^{\sin^2 x} = (5^2)^{\cos x}$

$5^{\sin^2 x} = 5^{2\cos x}$

Приравняем показатели степеней:

$\sin^2 x = 2\cos x$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

$1 - \cos^2 x = 2\cos x$

Введем замену $t = \cos x$. Так как область значений косинуса $[-1, 1]$, то $-1 \le t \le 1$.

$1 - t^2 = 2t$

$t^2 + 2t - 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-1) = 4 + 4 = 8$

$t_{1} = \frac{-2 + \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 + 2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} - 1$

$t_{2} = \frac{-2 - \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 - 2\sqrt{2}}{2} = -1 - \sqrt{2}$

Проверим, удовлетворяют ли корни условию $-1 \le t \le 1$.

Корень $t_1 = \sqrt{2} - 1 \approx 1.414 - 1 = 0.414$. Этот корень принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

Корень $t_2 = -1 - \sqrt{2} \approx -1 - 1.414 = -2.414$. Этот корень не принадлежит отрезку $[-1, 1]$ и является посторонним.

Выполним обратную замену для $t_1$:

$\cos x = \sqrt{2} - 1$

Отсюда находим $x$:

$x = \pm \arccos(\sqrt{2}-1) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $\pm \arccos(\sqrt{2}-1) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $2^{\sin^2 x} + 2^{\cos^2 x} = 3$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:

$2^{\sin^2 x} + 2^{1 - \sin^2 x} = 3$

По свойству степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$2^{\sin^2 x} + \frac{2}{2^{\sin^2 x}} = 3$

Введем замену $t = 2^{\sin^2 x}$. Поскольку $0 \le \sin^2 x \le 1$, то $2^0 \le 2^{\sin^2 x} \le 2^1$, следовательно $1 \le t \le 2$.

Уравнение примет вид:

$t + \frac{2}{t} = 3$

Умножим обе части на $t$ (так как $t>0$, это равносильное преобразование):

$t^2 + 2 = 3t$

$t^2 - 3t + 2 = 0$

По теореме Виета находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$. Оба корня удовлетворяют условию $1 \le t \le 2$.

Выполним обратную замену для каждого корня:

1) $2^{\sin^2 x} = 1 \implies 2^{\sin^2 x} = 2^0 \implies \sin^2 x = 0 \implies \sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $2^{\sin^2 x} = 2 \implies 2^{\sin^2 x} = 2^1 \implies \sin^2 x = 1 \implies \sin x = \pm 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя эти две серии решений, можно записать их в виде одной формулы:

$x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

г) $3 \cdot 9^{\frac{1}{x}} + 6^{\frac{1}{x}} = 2 \cdot 4^{\frac{1}{x}}$

ОДЗ: $x \ne 0$.

Представим основания степеней 9, 6 и 4 через их простые множители 2 и 3:

$3 \cdot (3^2)^{\frac{1}{x}} + (2 \cdot 3)^{\frac{1}{x}} = 2 \cdot (2^2)^{\frac{1}{x}}$

$3 \cdot 3^{\frac{2}{x}} + 2^{\frac{1}{x}} \cdot 3^{\frac{1}{x}} = 2 \cdot 2^{\frac{2}{x}}$

Данное уравнение является однородным показательным уравнением. Разделим обе части уравнения на $4^{\frac{1}{x}} = 2^{\frac{2}{x}}$, которое не равно нулю ни при каком $x$:

$3 \cdot \frac{3^{\frac{2}{x}}}{2^{\frac{2}{x}}} + \frac{2^{\frac{1}{x}} \cdot 3^{\frac{1}{x}}}{2^{\frac{2}{x}}} = 2 \cdot \frac{2^{\frac{2}{x}}}{2^{\frac{2}{x}}}$

$3 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{2}{x}} + \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{x}} = 2$

Введем замену $t = \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$. Так как основание степени положительно, то $t > 0$.

$3t^2 + t - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = 1^2 - 4(3)(-2) = 1 + 24 = 25$

$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

Корень $t_2 = -1$ является посторонним, так как не удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену для $t_1 = \frac{2}{3}$:

$\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{x}} = \frac{2}{3}$

Представим правую часть с тем же основанием, что и в левой:

$\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{x}} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-1}$

Приравняем показатели степеней:

$\frac{1}{x} = -1$

$x = -1$

Корень $x = -1$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ne 0$).

Ответ: $-1$.