Номер 165, страница 299 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 165, страница 299.

Условие.

165. a) $9^{x^2-1} - 36 \cdot 3^{x^2-3} + 3 = 0;$

Б) $16^x - 50 \cdot 2^{2x} = 896;$

б) $5^{3x+1} + 34 \cdot 5^{2x} = 7 \cdot 5^x;$

Г) $7^{4\sqrt{x}} - 8 \cdot 7^{\sqrt{4x}} + 7 = 0.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $9^{x^2-1} - 36 \cdot 3^{x^2-3} + 3 = 0$

Преобразуем уравнение, приведя степени к одному основанию 3. Заметим, что $9 = 3^2$.

$9^{x^2-1} = (3^2)^{x^2-1} = 3^{2(x^2-1)} = 3^{2x^2-2}$

Чтобы упростить уравнение, выразим степени через одну и ту же показательную функцию. Выразим $3^{x^2-3}$ через $3^{x^2-1}$: $3^{x^2-3} = 3^{(x^2-1)-2} = 3^{x^2-1} \cdot 3^{-2} = \frac{1}{9} \cdot 3^{x^2-1}$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(3^{x^2-1})^2 - 36 \cdot \left(\frac{1}{9} \cdot 3^{x^2-1}\right) + 3 = 0$

$(3^{x^2-1})^2 - 4 \cdot 3^{x^2-1} + 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^{x^2-1}$. Так как $x^2 \ge 0$, то $x^2-1 \ge -1$, следовательно $t = 3^{x^2-1} \ge 3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $t_1=1$ и $t_2=3$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge \frac{1}{3}$.

Выполним обратную замену:

1) Если $t = 1$, то $3^{x^2-1} = 1$.

$3^{x^2-1} = 3^0$

$x^2 - 1 = 0$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

2) Если $t = 3$, то $3^{x^2-1} = 3$.

$3^{x^2-1} = 3^1$

$x^2 - 1 = 1$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

Ответ: $x = -1, x = 1, x = -\sqrt{2}, x = \sqrt{2}$.

б) $5^{3x+1} + 34 \cdot 5^{2x} = 7 \cdot 5^x$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$5^{3x+1} + 34 \cdot 5^{2x} - 7 \cdot 5^x = 0$

Используя свойство степеней $a^{m+n}=a^m \cdot a^n$, преобразуем первый член:

$5 \cdot 5^{3x} + 34 \cdot 5^{2x} - 7 \cdot 5^x = 0$

Заметим, что $5^{3x} = (5^x)^3$ и $5^{2x} = (5^x)^2$. Сделаем замену переменной $t = 5^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Уравнение примет вид:

$5t^3 + 34t^2 - 7t = 0$

Вынесем $t$ за скобки:

$t(5t^2 + 34t - 7) = 0$

Отсюда либо $t=0$, либо $5t^2 + 34t - 7 = 0$.

Корень $t=0$ не удовлетворяет условию $t>0$, так как $5^x$ не может быть равно нулю. Решим квадратное уравнение $5t^2 + 34t - 7 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = 34^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-7) = 1156 + 140 = 1296 = 36^2$

$t_1 = \frac{-34 + 36}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$t_2 = \frac{-34 - 36}{2 \cdot 5} = \frac{-70}{10} = -7$

Корень $t_2 = -7$ не удовлетворяет условию $t > 0$. Остается один корень $t_1 = \frac{1}{5}$.

Выполним обратную замену:

$5^x = \frac{1}{5}$

$5^x = 5^{-1}$

$x = -1$

Ответ: $x = -1$.

в) $16^x - 50 \cdot 2^{2x} = 896$

Приведем степени к одному основанию 2. Заметим, что $16 = 2^4$.

$16^x = (2^4)^x = 2^{4x}$. Также $2^{4x} = (2^{2x})^2$.

Перепишем уравнение:

$(2^{2x})^2 - 50 \cdot 2^{2x} - 896 = 0$

Сделаем замену переменной $t = 2^{2x}$. Так как $2^{2x} > 0$, то $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - 50t - 896 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-896) = 2500 + 3584 = 6084 = 78^2$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{50 + 78}{2} = \frac{128}{2} = 64$

$t_2 = \frac{50 - 78}{2} = \frac{-28}{2} = -14$

Корень $t_2 = -14$ не удовлетворяет условию $t > 0$. Остается корень $t_1 = 64$.

Выполним обратную замену:

$2^{2x} = 64$

$2^{2x} = 2^6$

$2x = 6$

$x = 3$

Ответ: $x = 3$.

г) $7^{4\sqrt{x}} - 8 \cdot 7^{\sqrt{4x}} + 7 = 0$

Область допустимых значений для $x$ определяется подкоренным выражением: $x \ge 0$.

Упростим показатель степени во втором члене: $\sqrt{4x} = \sqrt{4}\sqrt{x} = 2\sqrt{x}$.

Уравнение принимает вид:

$7^{4\sqrt{x}} - 8 \cdot 7^{2\sqrt{x}} + 7 = 0$

Заметим, что $7^{4\sqrt{x}} = (7^{2\sqrt{x}})^2$.

Сделаем замену переменной $t = 7^{2\sqrt{x}}$. Так как $x \ge 0$, то $2\sqrt{x} \ge 0$, следовательно $t = 7^{2\sqrt{x}} \ge 7^0 = 1$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - 8t + 7 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения $t_1=1$ и $t_2=7$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 1$.

Выполним обратную замену:

1) Если $t = 1$, то $7^{2\sqrt{x}} = 1$.

$7^{2\sqrt{x}} = 7^0$

$2\sqrt{x} = 0$

$\sqrt{x} = 0$

$x = 0$

2) Если $t = 7$, то $7^{2\sqrt{x}} = 7$.

$7^{2\sqrt{x}} = 7^1$

$2\sqrt{x} = 1$

$\sqrt{x} = \frac{1}{2}$

$x = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

Оба найденных значения $x$ удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $x = 0, x = \frac{1}{4}$.