Страница 299 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

160. a) $2 \sin^2 x \le 1$;

б) $3 \operatorname{tg}^2 2x \le 1$;

в) $4 \cos^2 x \le 3$;

г) $\operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} - 1 \ge 0$.

а) Решим неравенство $2 \sin^2 x \le 1$.

Сначала разделим обе части неравенства на 2:

$\sin^2 x \le \frac{1}{2}$

Для решения этого неравенства воспользуемся формулой понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$. Подставим ее в неравенство:

$\frac{1 - \cos(2x)}{2} \le \frac{1}{2}$

Умножим обе части на 2:

$1 - \cos(2x) \le 1$

Вычтем 1 из обеих частей:

$-\cos(2x) \le 0$

Умножим на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\cos(2x) \ge 0$

Пусть $t = 2x$. Неравенство принимает вид $\cos t \ge 0$. Решением этого неравенства является промежуток, где косинус неотрицателен, то есть:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le t \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выполним обратную замену $t = 2x$:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 2x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Чтобы найти $x$, разделим все части двойного неравенства на 2:

$-\frac{\pi}{4} + \pi k \le x \le \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{4} + \pi k], k \in \mathbb{Z}$.

в) Решим неравенство $4 \cos^2 x \le 3$.

Разделим обе части на 4:

$\cos^2 x \le \frac{3}{4}$

Используем формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$:

$\frac{1 + \cos(2x)}{2} \le \frac{3}{4}$

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$2(1 + \cos(2x)) \le 3$

$2 + 2\cos(2x) \le 3$

$2\cos(2x) \le 1$

$\cos(2x) \le \frac{1}{2}$

Пусть $t = 2x$. Неравенство $\cos t \le \frac{1}{2}$ имеет решение:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le t \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Сделаем обратную замену $t = 2x$:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le 2x \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$

Разделим все части неравенства на 2, чтобы найти $x$:

$\frac{\pi}{6} + \pi k \le x \le \frac{5\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{6} + \pi k; \frac{5\pi}{6} + \pi k], k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим неравенство $3 \operatorname{tg}^2 2x \le 1$.

Разделим обе части на 3:

$\operatorname{tg}^2 2x \le \frac{1}{3}$

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-\sqrt{\frac{1}{3}} \le \operatorname{tg} 2x \le \sqrt{\frac{1}{3}}$

$-\frac{1}{\sqrt{3}} \le \operatorname{tg} 2x \le \frac{1}{\sqrt{3}}$

Пусть $t = 2x$. Решим неравенство $-\frac{1}{\sqrt{3}} \le \operatorname{tg} t \le \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Учитывая периодичность тангенса (период $\pi$), находим решение на основном промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

$-\frac{\pi}{6} \le t \le \frac{\pi}{6}$

Общее решение для $t$ имеет вид:

$-\frac{\pi}{6} + \pi k \le t \le \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Сделаем обратную замену $t = 2x$:

$-\frac{\pi}{6} + \pi k \le 2x \le \frac{\pi}{6} + \pi k$

Разделим все части неравенства на 2:

$-\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} \le x \le \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}; \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}], k \in \mathbb{Z}$.

г) Решим неравенство $\operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} - 1 \ge 0$.

Перенесем 1 в правую часть:

$\operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} \ge 1$

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$\operatorname{tg} \frac{x}{2} \ge 1$ или $\operatorname{tg} \frac{x}{2} \le -1$.

Пусть $t = \frac{x}{2}$. Решим неравенства $\operatorname{tg} t \ge 1$ и $\operatorname{tg} t \le -1$.

Учитывая область определения тангенса ($t \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$) и его периодичность, получаем:

1. Для $\operatorname{tg} t \ge 1$: решением является $\frac{\pi}{4} + \pi k \le t < \frac{\pi}{2} + \pi k$.

2. Для $\operatorname{tg} t \le -1$: решением является $-\frac{\pi}{2} + \pi k < t \le -\frac{\pi}{4} + \pi k$.

Сделаем обратную замену $t = \frac{x}{2}$ и найдем $x$ для каждого случая, умножив неравенства на 2.

1. $\frac{\pi}{4} + \pi k \le \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2} + \pi k \implies \frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x < \pi + 2\pi k$.

2. $-\frac{\pi}{2} + \pi k < \frac{x}{2} \le -\frac{\pi}{4} + \pi k \implies -\pi + 2\pi k < x \le -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Объединяя эти два множества решений, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\pi + 2\pi k; -\frac{\pi}{2} + 2\pi k] \cup [\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

161. а) $|\cos x - 1| \le 0,5;

б) $\sin x < \cos x;$

в) $|\sin 2x + \frac{1}{2}| \le \frac{1}{2};$

г) $\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x > 0.$

а) Решим неравенство $|\cos x - 1| \le 0,5$.
Данное неравенство с модулем равносильно двойному неравенству:
$-0,5 \le \cos x - 1 \le 0,5$
Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$-0,5 + 1 \le \cos x \le 0,5 + 1$
$0,5 \le \cos x \le 1,5$
Поскольку область значений функции косинус $[-1; 1]$, то неравенство $\cos x \le 1,5$ выполняется для всех допустимых $x$. Таким образом, задача сводится к решению неравенства:
$\cos x \ge 0,5$ (с учетом, что $\cos x \le 1$ выполняется всегда).
На единичной окружности это соответствует дуге, где абсцисса (косинус) больше или равна 0,5.
Найдём граничные точки из уравнения $\cos x = 0,5$. Корни этого уравнения: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, решение неравенства на основном периоде находится в интервале $[-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}]$.
Общее решение:
$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим неравенство $\sin x < \cos x$.
Перенесем все члены в одну сторону:
$\sin x - \cos x < 0$
Применим метод вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$:
$\sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) < 0$
Заметим, что $\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos \frac{\pi}{4}$ и $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin \frac{\pi}{4}$. Подставим эти значения:
$\cos \frac{\pi}{4} \sin x - \sin \frac{\pi}{4} \cos x < 0$
Используем формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$:
$\sin(x - \frac{\pi}{4}) < 0$
Пусть $t = x - \frac{\pi}{4}$. Неравенство принимает вид $\sin t < 0$.
Синус отрицателен в III и IV четвертях, то есть когда аргумент находится в интервале $(-\pi; 0)$ с периодом $2\pi$:
$-\pi + 2\pi k < t < 0 + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Произведем обратную замену $t = x - \frac{\pi}{4}$:
$-\pi + 2\pi k < x - \frac{\pi}{4} < 2\pi k$
Прибавим $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям неравенства:
$-\pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \frac{\pi}{4} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

в) Решим неравенство $|\sin 2x + \frac{1}{2}| \le \frac{1}{2}$.
Это неравенство с модулем равносильно двойному неравенству:
$-\frac{1}{2} \le \sin 2x + \frac{1}{2} \le \frac{1}{2}$
Вычтем $\frac{1}{2}$ из всех частей неравенства:
$-\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \le \sin 2x \le \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$
$-1 \le \sin 2x \le 0$
Пусть $t = 2x$. Решим неравенство $-1 \le \sin t \le 0$.
Синус принимает значения от -1 до 0 в III и IV четвертях, включая границы. Это соответствует дуге от $\pi$ до $2\pi$.
$\pi + 2\pi k \le t \le 2\pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Выполним обратную замену $t = 2x$:
$\pi + 2\pi k \le 2x \le 2\pi + 2\pi k$
Разделим все части на 2:
$\frac{\pi}{2} + \pi k \le x \le \pi + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [\frac{\pi}{2} + \pi k; \pi + \pi k], k \in \mathbb{Z}$.

г) Решим неравенство $\tan x + \cot x > 0$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Тангенс не определён при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, котангенс не определён при $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Преобразуем левую часть неравенства:
$\tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x}$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, получаем:
$\frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{2\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}$
Неравенство принимает вид:
$\frac{2}{\sin 2x} > 0$
Поскольку числитель $2$ положителен, дробь будет положительной тогда и только тогда, когда знаменатель положителен:
$\sin 2x > 0$
Пусть $t = 2x$. Решим неравенство $\sin t > 0$.
Синус положителен в I и II четвертях, то есть когда аргумент находится в интервале $(0; \pi)$ с периодом $2\pi$:
$0 + 2\pi k < t < \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$2\pi k < t < \pi + 2\pi k$
Произведем обратную замену $t = 2x$:
$2\pi k < 2x < \pi + 2\pi k$
Разделим все части на 2:
$\pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Полученное решение удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x \in (\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.

162. a) $\sin x - \sqrt{3} \cos x$;

б) $\log_{0.5} \sin x > 1$;

в) $\sin x + \cos x < 1$;

г) $\log_{\sqrt{2}} \cos x > -1$.

а)

Для упрощения выражения $ \sin x - \sqrt{3} \cos x $ используем метод вспомогательного угла. Этот метод позволяет представить выражение вида $ a \sin x + b \cos x $ в виде $ R \sin(x \pm \alpha) $ или $ R \cos(x \pm \alpha) $, где $ R = \sqrt{a^2 + b^2} $.

В данном случае $ a = 1 $ и $ b = -\sqrt{3} $. Найдем $ R $:

$ R = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2. $

Вынесем $ R $ за скобки:

$ \sin x - \sqrt{3} \cos x = 2 \left( \frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right). $

Теперь нужно представить коэффициенты в скобках как синус и косинус одного и того же угла. Мы можем использовать формулу синуса разности: $ \sin(x - \alpha) = \sin x \cos \alpha - \cos x \sin \alpha $.

Сравнивая $ \frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x $ с $ \sin x \cos \alpha - \cos x \sin \alpha $, получаем:

$ \cos \alpha = \frac{1}{2} $ и $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Этим условиям соответствует угол $ \alpha = \frac{\pi}{3} $.

Таким образом, выражение преобразуется к виду:

$ 2 \left( \sin x \cos \frac{\pi}{3} - \cos x \sin \frac{\pi}{3} \right) = 2 \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right). $

Ответ: $ 2 \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) $

б)

Решим неравенство $ \sin x + \cos x < 1 $. Применим метод вспомогательного угла. Здесь $ a = 1 $, $ b = 1 $.

$ R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}. $

Преобразуем левую часть неравенства:

$ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right). $

Используем формулу синуса суммы: $ \sin(x + \alpha) = \sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha $.

Здесь $ \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} $ и $ \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} $, что соответствует углу $ \alpha = \frac{\pi}{4} $.

Таким образом, левая часть равна $ \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) $.

Неравенство принимает вид:

$ \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) < 1 $

$ \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) < \frac{1}{\sqrt{2}}. $

Сделаем замену $ t = x + \frac{\pi}{4} $. Получаем неравенство $ \sin t < \frac{1}{\sqrt{2}} $.

На единичной окружности значения синуса меньше $ \frac{1}{\sqrt{2}} $ для углов $ t $, удовлетворяющих условию:

$ \frac{3\pi}{4} + 2\pi k < t < 2\pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Упрощая, получаем $ \frac{3\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{9\pi}{4} + 2\pi k $.

Теперь вернемся к переменной $ x $, подставив $ t = x + \frac{\pi}{4} $:

$ \frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x + \frac{\pi}{4} < \frac{9\pi}{4} + 2\pi k. $

Вычтем $ \frac{\pi}{4} $ из всех частей неравенства:

$ \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{9\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k $

$ \frac{2\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{8\pi}{4} + 2\pi k $

$ \frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < 2\pi + 2\pi k. $

Ответ: $ x \in \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k\right) $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

в)

Решим неравенство $ \log_{0.5} \sin x > 1 $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$ \sin x > 0. $

Это выполняется при $ 2\pi k < x < \pi + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь решим само неравенство. Основание логарифма $ 0.5 < 1 $, поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$ \sin x < 0.5^1 $

$ \sin x < \frac{1}{2}. $

Объединим оба условия в систему неравенств:

$ \begin{cases} \sin x > 0 \\ \sin x < \frac{1}{2} \end{cases} \implies 0 < \sin x < \frac{1}{2}. $

Рассмотрим решение на единичной окружности. Условию $ \sin x > 0 $ соответствуют углы в I и II четвертях. Условию $ \sin x < \frac{1}{2} $ в этих четвертях соответствуют два интервала: от $ 0 $ до $ \frac{\pi}{6} $ и от $ \frac{5\pi}{6} $ до $ \pi $.

Таким образом, общее решение можно записать в виде двух серий интервалов:

$ 2\pi k < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ \frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < \pi + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in \left(2\pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi k\right) \cup \left(\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \pi + 2\pi k\right) $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

г)

Решим неравенство $ \log_{\sqrt{2}} \cos x > -1 $.

Найдем ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным:

$ \cos x > 0. $

Это выполняется при $ -\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь решаем неравенство. Основание логарифма $ \sqrt{2} > 1 $, поэтому знак неравенства сохраняется:

$ \cos x > (\sqrt{2})^{-1} $

$ \cos x > \frac{1}{\sqrt{2}}. $

Нам нужно найти значения $ x $, для которых выполняются оба условия: $ \cos x > 0 $ и $ \cos x > \frac{1}{\sqrt{2}} $. Второе условие является более сильным, так как если $ \cos x > \frac{1}{\sqrt{2}} $, то $ \cos x $ автоматически больше нуля. Следовательно, достаточно решить неравенство $ \cos x > \frac{1}{\sqrt{2}} $.

На единичной окружности косинус равен $ \frac{1}{\sqrt{2}} $ при углах $ x = -\frac{\pi}{4} $ и $ x = \frac{\pi}{4} $. Косинус больше $ \frac{1}{\sqrt{2}} $ для углов, расположенных между этими значениями.

Решение для одного оборота: $ -\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4} $.

Общее решение с учетом периодичности:

$ -\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in \left(-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{4} + 2\pi k\right) $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Решите уравнения (163–167).

163. а) $0.2^{x^2-16x-37.5} = 5\sqrt{5}$;

б) $2^{x^2-3} \cdot 5^{x^2-3} = 0.01 \cdot (10^{x-1})^3$;

в) $2^{x^2-6x+0.5} = \frac{1}{16\sqrt{2}};

г) $\frac{6^{x^2}}{2^{-15}} = \frac{3^{-15}}{6^{12-12x}}$.

а) $0,2^{x^2-16x-37,5} = 5\sqrt{5}$

Приведем обе части уравнения к основанию 5.
Левая часть: $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$.
Тогда $0,2^{x^2-16x-37,5} = (5^{-1})^{x^2-16x-37,5} = 5^{-(x^2-16x-37,5)} = 5^{-x^2+16x+37,5}$.
Правая часть: $5\sqrt{5} = 5^1 \cdot 5^{1/2} = 5^{1+0,5} = 5^{1,5}$.
Теперь уравнение имеет вид:
$5^{-x^2+16x+37,5} = 5^{1,5}$
Приравниваем показатели степеней:
$-x^2+16x+37,5 = 1,5$
$-x^2+16x+37,5 - 1,5 = 0$
$-x^2+16x+36 = 0$
Умножим на -1, чтобы получить приведенное квадратное уравнение:
$x^2-16x-36 = 0$
Решим его через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 256 + 144 = 400$
$\sqrt{D} = \sqrt{400} = 20$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + 20}{2} = \frac{36}{2} = 18$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - 20}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: -2; 18.

б) $2^{x^2-3} \cdot 5^{x^2-3} = 0,01 \cdot (10^{x-1})^3$

Преобразуем обе части уравнения.
Левая часть: используя свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$, получаем:
$2^{x^2-3} \cdot 5^{x^2-3} = (2 \cdot 5)^{x^2-3} = 10^{x^2-3}$.
Правая часть: представим $0,01$ как степень 10 и упростим выражение в скобках.
$0,01 = \frac{1}{100} = 10^{-2}$.
$(10^{x-1})^3 = 10^{(x-1) \cdot 3} = 10^{3x-3}$.
Тогда вся правая часть равна: $10^{-2} \cdot 10^{3x-3} = 10^{-2+3x-3} = 10^{3x-5}$.
Получаем уравнение:
$10^{x^2-3} = 10^{3x-5}$
Приравниваем показатели степеней:
$x^2-3 = 3x-5$
$x^2-3x-3+5 = 0$
$x^2-3x+2 = 0$
Решим по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 3$
$x_1 \cdot x_2 = 2$
Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Ответ: 1; 2.

в) $2^{x^2-6x+0,5} = \frac{1}{16\sqrt{2}}$

Приведем правую часть уравнения к основанию 2.
$16 = 2^4$
$\sqrt{2} = 2^{1/2} = 2^{0,5}$
$16\sqrt{2} = 2^4 \cdot 2^{0,5} = 2^{4+0,5} = 2^{4,5}$
$\frac{1}{16\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{4,5}} = 2^{-4,5}$
Уравнение принимает вид:
$2^{x^2-6x+0,5} = 2^{-4,5}$
Приравниваем показатели степеней:
$x^2-6x+0,5 = -4,5$
$x^2-6x+0,5+4,5 = 0$
$x^2-6x+5 = 0$
Решим по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 6$
$x_1 \cdot x_2 = 5$
Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Ответ: 1; 5.

г) $\frac{6^{x^2}}{2^{-15}} = \frac{3^{-15}}{6^{12-12x}}$

Воспользуемся основным свойством пропорции (крест-накрест):
$6^{x^2} \cdot 6^{12-12x} = 2^{-15} \cdot 3^{-15}$
Упростим обе части уравнения, используя свойства степеней.
Левая часть (при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются):
$6^{x^2} \cdot 6^{12-12x} = 6^{x^2+12-12x} = 6^{x^2-12x+12}$.
Правая часть (при умножении степеней с одинаковым показателем их основания перемножаются):
$2^{-15} \cdot 3^{-15} = (2 \cdot 3)^{-15} = 6^{-15}$.
Уравнение принимает вид:
$6^{x^2-12x+12} = 6^{-15}$
Приравниваем показатели степеней:
$x^2-12x+12 = -15$
$x^2-12x+12+15 = 0$
$x^2-12x+27 = 0$
Решим по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 12$
$x_1 \cdot x_2 = 27$
Корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = 9$.

Ответ: 3; 9.

164. a) $5^{3x} - 2 \cdot 5^{3x - 1} - 3 \cdot 5^{3x - 2} = 60;$

б) $4^x - 3^{x - 0,5} = 3^{x + 0,5} - 2^{2x - 1};$

в) $2^{5x - 1} + 2^{5x - 2} + 2^{5x - 3} = 896;$

г) $5^{2x - 1} + 2^{2x} = 5^{2x} - 2^{2x + 2}.$

а) $5^{3x} - 2 \cdot 5^{3x-1} - 3 \cdot 5^{3x-2} = 60$

Для решения данного показательного уравнения вынесем за скобки общий множитель. Наименьшая степень с основанием 5 в уравнении — это $5^{3x-2}$.
Представим остальные члены уравнения через этот множитель, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$5^{3x} = 5^{(3x-2)+2} = 5^{3x-2} \cdot 5^2 = 25 \cdot 5^{3x-2}$
$5^{3x-1} = 5^{(3x-2)+1} = 5^{3x-2} \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^{3x-2}$

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:
$25 \cdot 5^{3x-2} - 2 \cdot (5 \cdot 5^{3x-2}) - 3 \cdot 5^{3x-2} = 60$
Теперь вынесем $5^{3x-2}$ за скобки:
$5^{3x-2} (25 - 2 \cdot 5 - 3) = 60$
Упростим выражение в скобках:
$5^{3x-2} (25 - 10 - 3) = 60$
$5^{3x-2} \cdot 12 = 60$

Разделим обе части уравнения на 12:
$5^{3x-2} = \frac{60}{12}$
$5^{3x-2} = 5$
Поскольку $5 = 5^1$, мы можем приравнять показатели степеней:
$3x - 2 = 1$
$3x = 3$
$x = 1$

Ответ: $x = 1$.

б) $4^x - 3^{x-0,5} = 3^{x+0,5} - 2^{2x-1}$

Сначала преобразуем и сгруппируем члены с одинаковыми основаниями. Заметим, что $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$.
Перенесем члены с основанием 2 в левую часть, а с основанием 3 — в правую:
$2^{2x} + 2^{2x-1} = 3^{x+0,5} + 3^{x-0,5}$

Вынесем общие множители за скобки в каждой части уравнения:
$2^{2x-1}(2^1 + 1) = 3^{x-0,5}(3^1 + 1)$
$2^{2x-1} \cdot 3 = 3^{x-0,5} \cdot 4$
Используя свойства степеней, перепишем уравнение:
$\frac{2^{2x}}{2} \cdot 3 = \frac{3^x}{\sqrt{3}} \cdot 4$

Сгруппируем члены с переменной $x$ в левой части, а константы — в правой:
$\frac{2^{2x}}{3^x} = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{3}$
$\frac{(2^2)^x}{3^x} = \frac{8}{3\sqrt{3}}$
$(\frac{4}{3})^x = \frac{8}{3\sqrt{3}}$

Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $\frac{4}{3}$:
$\frac{8}{3\sqrt{3}} = \frac{2^3}{(\sqrt{3})^3} = \frac{(4^{1/2})^3}{(3^{1/2})^3} = (\frac{4^{1/2}}{3^{1/2}})^3 = ((\frac{4}{3})^{1/2})^3 = (\frac{4}{3})^{3/2}$
Получаем уравнение:
$(\frac{4}{3})^x = (\frac{4}{3})^{3/2}$

Приравниваем показатели степеней:
$x = \frac{3}{2}$ или $x = 1,5$

Ответ: $x = 1,5$.

в) $2^{5x-1} + 2^{5x-2} + 2^{5x-3} = 896$

Вынесем за скобки общий множитель $2^{5x-3}$:
$2^{5x-3}(2^2 + 2^1 + 1) = 896$
Упростим выражение в скобках:
$2^{5x-3}(4 + 2 + 1) = 896$
$2^{5x-3} \cdot 7 = 896$

Разделим обе части уравнения на 7:
$2^{5x-3} = \frac{896}{7}$
$2^{5x-3} = 128$

Представим число 128 как степень двойки: $128 = 2^7$.
$2^{5x-3} = 2^7$
Приравниваем показатели степеней:
$5x - 3 = 7$
$5x = 10$
$x = 2$

Ответ: $x = 2$.

г) $5^{2x-1} + 2^{2x} = 5^{2x} - 2^{2x+2}$

Сгруппируем члены с одинаковыми основаниями: члены с основанием 2 — слева, с основанием 5 — справа.
$2^{2x} + 2^{2x+2} = 5^{2x} - 5^{2x-1}$

Вынесем общие множители за скобки в обеих частях уравнения:
$2^{2x}(1 + 2^2) = 5^{2x-1}(5^1 - 1)$
$2^{2x}(1 + 4) = 5^{2x-1}(4)$
$5 \cdot 2^{2x} = 4 \cdot 5^{2x-1}$

Разделим обе части уравнения на $5 \cdot 5^{2x-1}$ (это выражение не равно нулю), чтобы сгруппировать переменные:
$\frac{2^{2x}}{5^{2x-1}} = \frac{4}{5}$
$\frac{2^{2x}}{5^{2x} \cdot 5^{-1}} = \frac{4}{5}$
$\frac{5 \cdot 2^{2x}}{5^{2x}} = \frac{4}{5}$
$5 \cdot (\frac{2}{5})^{2x} = \frac{4}{5}$

Разделим обе части на 5:
$(\frac{2}{5})^{2x} = \frac{4}{25}$
Представим правую часть как степень с основанием $\frac{2}{5}$:
$\frac{4}{25} = (\frac{2}{5})^2$
Получаем уравнение:
$(\frac{2}{5})^{2x} = (\frac{2}{5})^2$
Приравниваем показатели степеней:
$2x = 2$
$x = 1$

Ответ: $x = 1$.

165. a) $9^{x^2-1} - 36 \cdot 3^{x^2-3} + 3 = 0;$

Б) $16^x - 50 \cdot 2^{2x} = 896;$

б) $5^{3x+1} + 34 \cdot 5^{2x} = 7 \cdot 5^x;$

Г) $7^{4\sqrt{x}} - 8 \cdot 7^{\sqrt{4x}} + 7 = 0.$

а) $9^{x^2-1} - 36 \cdot 3^{x^2-3} + 3 = 0$

Преобразуем уравнение, приведя степени к одному основанию 3. Заметим, что $9 = 3^2$.

$9^{x^2-1} = (3^2)^{x^2-1} = 3^{2(x^2-1)} = 3^{2x^2-2}$

Чтобы упростить уравнение, выразим степени через одну и ту же показательную функцию. Выразим $3^{x^2-3}$ через $3^{x^2-1}$: $3^{x^2-3} = 3^{(x^2-1)-2} = 3^{x^2-1} \cdot 3^{-2} = \frac{1}{9} \cdot 3^{x^2-1}$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(3^{x^2-1})^2 - 36 \cdot \left(\frac{1}{9} \cdot 3^{x^2-1}\right) + 3 = 0$

$(3^{x^2-1})^2 - 4 \cdot 3^{x^2-1} + 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^{x^2-1}$. Так как $x^2 \ge 0$, то $x^2-1 \ge -1$, следовательно $t = 3^{x^2-1} \ge 3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $t_1=1$ и $t_2=3$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge \frac{1}{3}$.

Выполним обратную замену:

1) Если $t = 1$, то $3^{x^2-1} = 1$.

$3^{x^2-1} = 3^0$

$x^2 - 1 = 0$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

2) Если $t = 3$, то $3^{x^2-1} = 3$.

$3^{x^2-1} = 3^1$

$x^2 - 1 = 1$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

Ответ: $x = -1, x = 1, x = -\sqrt{2}, x = \sqrt{2}$.

б) $5^{3x+1} + 34 \cdot 5^{2x} = 7 \cdot 5^x$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$5^{3x+1} + 34 \cdot 5^{2x} - 7 \cdot 5^x = 0$

Используя свойство степеней $a^{m+n}=a^m \cdot a^n$, преобразуем первый член:

$5 \cdot 5^{3x} + 34 \cdot 5^{2x} - 7 \cdot 5^x = 0$

Заметим, что $5^{3x} = (5^x)^3$ и $5^{2x} = (5^x)^2$. Сделаем замену переменной $t = 5^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Уравнение примет вид:

$5t^3 + 34t^2 - 7t = 0$

Вынесем $t$ за скобки:

$t(5t^2 + 34t - 7) = 0$

Отсюда либо $t=0$, либо $5t^2 + 34t - 7 = 0$.

Корень $t=0$ не удовлетворяет условию $t>0$, так как $5^x$ не может быть равно нулю. Решим квадратное уравнение $5t^2 + 34t - 7 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = 34^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-7) = 1156 + 140 = 1296 = 36^2$

$t_1 = \frac{-34 + 36}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$t_2 = \frac{-34 - 36}{2 \cdot 5} = \frac{-70}{10} = -7$

Корень $t_2 = -7$ не удовлетворяет условию $t > 0$. Остается один корень $t_1 = \frac{1}{5}$.

Выполним обратную замену:

$5^x = \frac{1}{5}$

$5^x = 5^{-1}$

$x = -1$

Ответ: $x = -1$.

в) $16^x - 50 \cdot 2^{2x} = 896$

Приведем степени к одному основанию 2. Заметим, что $16 = 2^4$.

$16^x = (2^4)^x = 2^{4x}$. Также $2^{4x} = (2^{2x})^2$.

Перепишем уравнение:

$(2^{2x})^2 - 50 \cdot 2^{2x} - 896 = 0$

Сделаем замену переменной $t = 2^{2x}$. Так как $2^{2x} > 0$, то $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - 50t - 896 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-896) = 2500 + 3584 = 6084 = 78^2$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{50 + 78}{2} = \frac{128}{2} = 64$

$t_2 = \frac{50 - 78}{2} = \frac{-28}{2} = -14$

Корень $t_2 = -14$ не удовлетворяет условию $t > 0$. Остается корень $t_1 = 64$.

Выполним обратную замену:

$2^{2x} = 64$

$2^{2x} = 2^6$

$2x = 6$

$x = 3$

Ответ: $x = 3$.

г) $7^{4\sqrt{x}} - 8 \cdot 7^{\sqrt{4x}} + 7 = 0$

Область допустимых значений для $x$ определяется подкоренным выражением: $x \ge 0$.

Упростим показатель степени во втором члене: $\sqrt{4x} = \sqrt{4}\sqrt{x} = 2\sqrt{x}$.

Уравнение принимает вид:

$7^{4\sqrt{x}} - 8 \cdot 7^{2\sqrt{x}} + 7 = 0$

Заметим, что $7^{4\sqrt{x}} = (7^{2\sqrt{x}})^2$.

Сделаем замену переменной $t = 7^{2\sqrt{x}}$. Так как $x \ge 0$, то $2\sqrt{x} \ge 0$, следовательно $t = 7^{2\sqrt{x}} \ge 7^0 = 1$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - 8t + 7 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения $t_1=1$ и $t_2=7$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 1$.

Выполним обратную замену:

1) Если $t = 1$, то $7^{2\sqrt{x}} = 1$.

$7^{2\sqrt{x}} = 7^0$

$2\sqrt{x} = 0$

$\sqrt{x} = 0$

$x = 0$

2) Если $t = 7$, то $7^{2\sqrt{x}} = 7$.

$7^{2\sqrt{x}} = 7^1$

$2\sqrt{x} = 1$

$\sqrt{x} = \frac{1}{2}$

$x = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

Оба найденных значения $x$ удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $x = 0, x = \frac{1}{4}$.

166. a) $3 \cdot 4^x + 2 \cdot 9^x = 5 \cdot 6^x;$

B) $2 \cdot 25^x - 5 \cdot 10^x + 2 \cdot 4^x = 0;$

Г) $3 \cdot 16^x + 2 \cdot 81^x = 5 \cdot 36^x.$

б) $8^x + 18^x = 2 \cdot 27^x;$

а) $3 \cdot 4^x + 2 \cdot 9^x = 5 \cdot 6^x$

Данное уравнение является однородным показательным уравнением. Для его решения преобразуем основания степеней:

$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$

$9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$

$6^x = (2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$3 \cdot (2^x)^2 + 2 \cdot (3^x)^2 = 5 \cdot 2^x \cdot 3^x$

Разделим обе части уравнения на $9^x = (3^x)^2$. Так как $9^x > 0$ при любом действительном $x$, это преобразование является равносильным.

$3 \cdot \frac{(2^x)^2}{(3^x)^2} + 2 \cdot \frac{(3^x)^2}{(3^x)^2} = 5 \cdot \frac{2^x \cdot 3^x}{(3^x)^2}$

$3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} + 2 = 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x$

Введем новую переменную. Пусть $t = \left(\frac{2}{3}\right)^x$. Учитывая, что значение показательной функции всегда положительно, имеем $t > 0$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:

$3t^2 - 5t + 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

Оба корня положительны, следовательно, оба подходят. Выполним обратную замену:

1) При $t = \frac{2}{3}$:

$\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{2}{3} \implies x = 1$.

2) При $t = 1$:

$\left(\frac{2}{3}\right)^x = 1 \implies \left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^0 \implies x = 0$.

Ответ: $x=0, x=1$.

б) $8^x + 18^x = 2 \cdot 27^x$

Преобразуем основания степеней, представив их через степени простых чисел:

$8^x = (2^3)^x = (2^x)^3$

$27^x = (3^3)^x = (3^x)^3$

$18^x = (2 \cdot 3^2)^x = 2^x \cdot (3^2)^x = 2^x \cdot (3^x)^2$

Подставим в уравнение:

$(2^x)^3 + 2^x \cdot (3^x)^2 = 2 \cdot (3^x)^3$

Разделим обе части на $(3^x)^3 \neq 0$:

$\frac{(2^x)^3}{(3^x)^3} + \frac{2^x \cdot (3^x)^2}{(3^x)^3} = 2 \cdot \frac{(3^x)^3}{(3^x)^3}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^{3x} + \left(\frac{2}{3}\right)^x = 2$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{2}{3}\right)^x$, где $t > 0$.

Получаем кубическое уравнение: $t^3 + t - 2 = 0$.

Подбором находим, что $t=1$ является корнем уравнения: $1^3 + 1 - 2 = 0$.

Разделим многочлен $t^3 + t - 2$ на $(t-1)$, например, по схеме Горнера или "уголком", и получим:

$(t-1)(t^2 + t + 2) = 0$

Отсюда либо $t-1=0$, либо $t^2 + t + 2 = 0$.

Первое уравнение дает корень $t=1$.

Для второго уравнения $t^2 + t + 2 = 0$ найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.

Поскольку $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, единственным действительным решением для $t$ является $t=1$.

Выполняем обратную замену:

$\left(\frac{2}{3}\right)^x = 1 \implies \left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^0 \implies x = 0$.

Ответ: $x=0$.

в) $2 \cdot 25^x - 5 \cdot 10^x + 2 \cdot 4^x = 0$

Преобразуем основания степеней:

$25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$

$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$

$10^x = (2 \cdot 5)^x = 2^x \cdot 5^x$

Подставим в уравнение:

$2 \cdot (5^x)^2 - 5 \cdot 2^x \cdot 5^x + 2 \cdot (2^x)^2 = 0$

Разделим обе части уравнения на $4^x = (2^x)^2 \neq 0$:

$2 \cdot \frac{(5^x)^2}{(2^x)^2} - 5 \cdot \frac{2^x \cdot 5^x}{(2^x)^2} + 2 \cdot \frac{(2^x)^2}{(2^x)^2} = 0$

$2 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^{2x} - 5 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^x + 2 = 0$

Введем замену $t = \left(\frac{5}{2}\right)^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение: $2t^2 - 5t + 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

$t_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

Оба корня положительны. Выполним обратную замену:

1) $\left(\frac{5}{2}\right)^x = \frac{1}{2}$. Прологарифмируем обе части по основанию $\frac{5}{2}$:

$x = \log_{5/2}\left(\frac{1}{2}\right) = \log_{5/2}(2^{-1}) = -\log_{5/2}(2)$.

2) $\left(\frac{5}{2}\right)^x = 2$. Прологарифмируем обе части по основанию $\frac{5}{2}$:

$x = \log_{5/2}(2)$.

Ответ: $x = \pm \log_{5/2}(2)$.

г) $3 \cdot 16^x + 2 \cdot 81^x = 5 \cdot 36^x$

Преобразуем основания степеней:

$16^x = (4^2)^x$

$81^x = (9^2)^x$

$36^x = (4 \cdot 9)^x = 4^x \cdot 9^x$

Подставим в уравнение:

$3 \cdot (4^x)^2 + 2 \cdot (9^x)^2 = 5 \cdot 4^x \cdot 9^x$

Разделим обе части на $81^x = (9^x)^2 \neq 0$:

$3 \cdot \frac{(4^x)^2}{(9^x)^2} + 2 \cdot \frac{(9^x)^2}{(9^x)^2} = 5 \cdot \frac{4^x \cdot 9^x}{(9^x)^2}$

$3 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^{2x} + 2 = 5 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^x$

Введем замену $t = \left(\frac{4}{9}\right)^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение: $3t^2 - 5t + 2 = 0$.

Корни этого уравнения (как в пункте а): $t_1 = \frac{2}{3}$ и $t_2 = 1$.

Выполним обратную замену:

1) $\left(\frac{4}{9}\right)^x = \frac{2}{3}$. Так как $\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$, то уравнение принимает вид:

$\left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^1 \implies \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} = \left(\frac{2}{3}\right)^1$

Отсюда $2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$.

2) $\left(\frac{4}{9}\right)^x = 1$.

$\left(\frac{4}{9}\right)^x = \left(\frac{4}{9}\right)^0 \implies x = 0$.

Ответ: $x=0, x=1/2$.

167. a) $3^{2\sqrt{x}} + 3^{2\sqrt{x}-1} - 3^{2\sqrt{x}-2} = 11;$

б) $5^{\sin^2 x} - 25^{\cos x} = 0;$

в) $2^{\sin^2 x} + 2^{\cos^2 x} = 3;$

г) $3 \cdot 9^{\frac{1}{x}} + 6^{\frac{1}{x}} = 2 \cdot 4^{\frac{1}{x}}.$

а) $3^{2\sqrt{x}} + 3^{2\sqrt{x}-1} - 3^{2\sqrt{x}-2} = 11$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x \ge 0$.

Преобразуем уравнение, используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$3^{2\sqrt{x}} + \frac{3^{2\sqrt{x}}}{3^1} - \frac{3^{2\sqrt{x}}}{3^2} = 11$

Вынесем общий множитель $3^{2\sqrt{x}}$ за скобки:

$3^{2\sqrt{x}} \left(1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{9}\right) = 11$

Вычислим значение выражения в скобках:

$1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{9} = \frac{9}{9} + \frac{3}{9} - \frac{1}{9} = \frac{9+3-1}{9} = \frac{11}{9}$

Подставим полученное значение обратно в уравнение:

$3^{2\sqrt{x}} \cdot \frac{11}{9} = 11$

Разделим обе части уравнения на $\frac{11}{9}$:

$3^{2\sqrt{x}} = 11 \cdot \frac{9}{11}$

$3^{2\sqrt{x}} = 9$

Представим число 9 как степень 3:

$3^{2\sqrt{x}} = 3^2$

Так как основания степеней равны, приравняем их показатели:

$2\sqrt{x} = 2$

$\sqrt{x} = 1$

Возведем обе части в квадрат, чтобы найти $x$:

$x = 1$

Полученный корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 0$).

Ответ: $1$.

б) $5^{\sin^2 x} - 25^{\cos x} = 0$

Перепишем уравнение в виде:

$5^{\sin^2 x} = 25^{\cos x}$

Приведем обе части к основанию 5, зная что $25 = 5^2$:

$5^{\sin^2 x} = (5^2)^{\cos x}$

$5^{\sin^2 x} = 5^{2\cos x}$

Приравняем показатели степеней:

$\sin^2 x = 2\cos x$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

$1 - \cos^2 x = 2\cos x$

Введем замену $t = \cos x$. Так как область значений косинуса $[-1, 1]$, то $-1 \le t \le 1$.

$1 - t^2 = 2t$

$t^2 + 2t - 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-1) = 4 + 4 = 8$

$t_{1} = \frac{-2 + \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 + 2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} - 1$

$t_{2} = \frac{-2 - \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 - 2\sqrt{2}}{2} = -1 - \sqrt{2}$

Проверим, удовлетворяют ли корни условию $-1 \le t \le 1$.

Корень $t_1 = \sqrt{2} - 1 \approx 1.414 - 1 = 0.414$. Этот корень принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

Корень $t_2 = -1 - \sqrt{2} \approx -1 - 1.414 = -2.414$. Этот корень не принадлежит отрезку $[-1, 1]$ и является посторонним.

Выполним обратную замену для $t_1$:

$\cos x = \sqrt{2} - 1$

Отсюда находим $x$:

$x = \pm \arccos(\sqrt{2}-1) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $\pm \arccos(\sqrt{2}-1) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $2^{\sin^2 x} + 2^{\cos^2 x} = 3$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:

$2^{\sin^2 x} + 2^{1 - \sin^2 x} = 3$

По свойству степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$2^{\sin^2 x} + \frac{2}{2^{\sin^2 x}} = 3$

Введем замену $t = 2^{\sin^2 x}$. Поскольку $0 \le \sin^2 x \le 1$, то $2^0 \le 2^{\sin^2 x} \le 2^1$, следовательно $1 \le t \le 2$.

Уравнение примет вид:

$t + \frac{2}{t} = 3$

Умножим обе части на $t$ (так как $t>0$, это равносильное преобразование):

$t^2 + 2 = 3t$

$t^2 - 3t + 2 = 0$

По теореме Виета находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$. Оба корня удовлетворяют условию $1 \le t \le 2$.

Выполним обратную замену для каждого корня:

1) $2^{\sin^2 x} = 1 \implies 2^{\sin^2 x} = 2^0 \implies \sin^2 x = 0 \implies \sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $2^{\sin^2 x} = 2 \implies 2^{\sin^2 x} = 2^1 \implies \sin^2 x = 1 \implies \sin x = \pm 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя эти две серии решений, можно записать их в виде одной формулы:

$x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

г) $3 \cdot 9^{\frac{1}{x}} + 6^{\frac{1}{x}} = 2 \cdot 4^{\frac{1}{x}}$

ОДЗ: $x \ne 0$.

Представим основания степеней 9, 6 и 4 через их простые множители 2 и 3:

$3 \cdot (3^2)^{\frac{1}{x}} + (2 \cdot 3)^{\frac{1}{x}} = 2 \cdot (2^2)^{\frac{1}{x}}$

$3 \cdot 3^{\frac{2}{x}} + 2^{\frac{1}{x}} \cdot 3^{\frac{1}{x}} = 2 \cdot 2^{\frac{2}{x}}$

Данное уравнение является однородным показательным уравнением. Разделим обе части уравнения на $4^{\frac{1}{x}} = 2^{\frac{2}{x}}$, которое не равно нулю ни при каком $x$:

$3 \cdot \frac{3^{\frac{2}{x}}}{2^{\frac{2}{x}}} + \frac{2^{\frac{1}{x}} \cdot 3^{\frac{1}{x}}}{2^{\frac{2}{x}}} = 2 \cdot \frac{2^{\frac{2}{x}}}{2^{\frac{2}{x}}}$

$3 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{2}{x}} + \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{x}} = 2$

Введем замену $t = \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$. Так как основание степени положительно, то $t > 0$.

$3t^2 + t - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = 1^2 - 4(3)(-2) = 1 + 24 = 25$

$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

Корень $t_2 = -1$ является посторонним, так как не удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену для $t_1 = \frac{2}{3}$:

$\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{x}} = \frac{2}{3}$

Представим правую часть с тем же основанием, что и в левой:

$\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{x}} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-1}$

Приравняем показатели степеней:

$\frac{1}{x} = -1$

$x = -1$

Корень $x = -1$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ne 0$).

Ответ: $-1$.

Решите неравенства (168—170).

168.

а) $\frac{16}{\sqrt{32}} \ge \left(\frac{1}{2}\right)^{3+x}$;

б) $3^{x^2+x} < 10^{\lg 9}$;

в) $3 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2-3x} < \frac{1}{9}$;

г) $4^{x^2+x-11} > 5^{\log_5 4}$.

а) $ \frac{16}{\sqrt{32}} \geqslant \left(\frac{1}{2}\right)^{3+x} $

Для решения показательного неравенства приведем обе его части к одному основанию, в данном случае к 2.

Преобразуем левую часть:

$ \frac{16}{\sqrt{32}} = \frac{2^4}{\sqrt{2^5}} = \frac{2^4}{2^{5/2}} = 2^{4 - \frac{5}{2}} = 2^{\frac{8-5}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} $.

Преобразуем правую часть:

$ \left(\frac{1}{2}\right)^{3+x} = (2^{-1})^{3+x} = 2^{-(3+x)} = 2^{-3-x} $.

Теперь неравенство имеет вид:

$ 2^{\frac{3}{2}} \geqslant 2^{-3-x} $.

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, можно перейти к неравенству для показателей степени, сохранив знак неравенства:

$ \frac{3}{2} \geqslant -3 - x $.

Решим полученное линейное неравенство относительно $x$:

$ x \geqslant -3 - \frac{3}{2} $

$ x \geqslant -\frac{6}{2} - \frac{3}{2} $

$ x \geqslant -\frac{9}{2} $

$ x \geqslant -4.5 $.

Ответ: $x \in [-4.5, +\infty)$.

б) $ 3^{x^2+x} < 10^{\lg 9} $

Упростим правую часть неравенства, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. Учитывая, что $ \lg 9 = \log_{10} 9 $:

$ 10^{\lg 9} = 10^{\log_{10} 9} = 9 $.

Неравенство принимает вид:

$ 3^{x^2+x} < 9 $.

Приведем правую часть к основанию 3:

$ 9 = 3^2 $.

Получаем неравенство:

$ 3^{x^2+x} < 3^2 $.

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция возрастающая, поэтому переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$ x^2+x < 2 $

$ x^2+x-2 < 0 $.

Для решения квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2+x-2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение равно -2. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Графиком функции $y = x^2+x-2$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции отрицательны между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-2 < x < 1$.

Ответ: $x \in (-2, 1)$.

в) $ 3 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2-3x} < \frac{1}{9} $

Приведем обе части неравенства к основанию 3.

Преобразуем левую часть:

$ 3 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2-3x} = 3^1 \cdot \left(3^{-1/2}\right)^{2-3x} = 3^1 \cdot 3^{-\frac{1}{2}(2-3x)} = 3^1 \cdot 3^{-1+\frac{3}{2}x} = 3^{1-1+\frac{3}{2}x} = 3^{\frac{3}{2}x} $.

Преобразуем правую часть:

$ \frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2} $.

Неравенство принимает вид:

$ 3^{\frac{3}{2}x} < 3^{-2} $.

Так как основание $3 > 1$, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$ \frac{3}{2}x < -2 $.

Решим это линейное неравенство:

$ 3x < -4 $

$ x < -\frac{4}{3} $.

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{4}{3})$.

г) $ 4^{x^2+x-11} > 5^{\log_5 4} $

Упростим правую часть, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$ 5^{\log_5 4} = 4 $.

Неравенство принимает вид:

$ 4^{x^2+x-11} > 4 $.

Представим правую часть как степень с основанием 4: $4 = 4^1$.

$ 4^{x^2+x-11} > 4^1 $.

Так как основание степени $4 > 1$, показательная функция является возрастающей. Перейдем к неравенству для показателей, сохранив знак:

$ x^2+x-11 > 1 $

$ x^2+x-12 > 0 $.

Для решения квадратного неравенства найдем корни уравнения $x^2+x-12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение равно -12. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$.

Графиком функции $y = x^2+x-12$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x < -4$ или $x > 3$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (3, +\infty)$.

169. a) $0,04^x - 26 \cdot 0,2^x + 25 \le 0;$

б) $9^x - 84 \cdot 3^{-2x} + \frac{1}{3} > 0;$

в) $4^x - 10 \cdot 2^x + 16 < 0;$

г) $2^{2x+1} + \left(\frac{1}{2}\right)^{2x+1} - \frac{5}{2} \ge 0.$

a) $0,04^x - 26 \cdot 0,2^x + 25 \le 0$

Заметим, что $0,04 = (0,2)^2$. Тогда неравенство можно переписать в виде:

$(0,2^x)^2 - 26 \cdot 0,2^x + 25 \le 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 0,2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$:

$t^2 - 26t + 25 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 26t + 25 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 25$.

Так как ветви параболы $y = t^2 - 26t + 25$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями:

$1 \le t \le 25$

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$1 \le 0,2^x \le 25$

Представим все части неравенства как степени числа 5. Учитывая, что $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$, $1 = 5^0$ и $25 = 5^2$, получаем:

$5^0 \le (5^{-1})^x \le 5^2$

$5^0 \le 5^{-x} \le 5^2$

Так как основание степени $5 > 1$, функция $y=5^u$ возрастающая, поэтому при переходе к неравенству для показателей степени знаки неравенства сохраняются:

$0 \le -x \le 2$

Умножим все части неравенства на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:

$0 \ge x \ge -2$

Запишем в стандартном виде:

$-2 \le x \le 0$

Ответ: $[-2, 0]$

б) $9^x - 84 \cdot 3^{-2x} + \frac{1}{3} > 0$

Приведем все степени к одному основанию 3. Заметим, что $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$ и $3^{-2x} = \frac{1}{3^{2x}}$.

Неравенство принимает вид:

$3^{2x} - \frac{84}{3^{2x}} + \frac{1}{3} > 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^{2x}$. Условие: $t > 0$.

$t - \frac{84}{t} + \frac{1}{3} > 0$

Умножим обе части неравенства на $3t$. Так как $t > 0$, знак неравенства не меняется.

$3t^2 - 252 + t > 0$

$3t^2 + t - 252 > 0$

Найдем корни уравнения $3t^2 + t - 252 = 0$.

Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-252) = 1 + 3024 = 3025 = 55^2$.

Корни: $t_{1,2} = \frac{-1 \pm 55}{6}$.

$t_1 = \frac{-1-55}{6} = -\frac{56}{6} = -\frac{28}{3}$

$t_2 = \frac{-1+55}{6} = \frac{54}{6} = 9$

Ветви параболы $y = 3t^2 + t - 252$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $t < -\frac{28}{3}$ или $t > 9$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $t > 9$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$3^{2x} > 9$

$3^{2x} > 3^2$

Так как основание $3 > 1$, функция возрастающая:

$2x > 2$

$x > 1$

Ответ: $(1, +\infty)$

в) $4^x - 10 \cdot 2^x + 16 < 0$

Представим $4^x$ как $(2^2)^x = (2^x)^2$. Неравенство примет вид:

$(2^x)^2 - 10 \cdot 2^x + 16 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

$t^2 - 10t + 16 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 10t + 16 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 2$ и $t_2 = 8$.

Ветви параболы $y = t^2 - 10t + 16$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями:

$2 < t < 8$

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Вернемся к переменной $x$:

$2 < 2^x < 8$

Запишем 2 как $2^1$ и 8 как $2^3$:

$2^1 < 2^x < 2^3$

Так как основание $2 > 1$, функция возрастающая, поэтому:

$1 < x < 3$

Ответ: $(1, 3)$

г) $2^{2x+1} + (\frac{1}{2})^{2x+1} - \frac{5}{2} \ge 0$

Перепишем неравенство, используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$2^{2x+1} + \frac{1}{2^{2x+1}} - \frac{5}{2} \ge 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^{2x+1}$, где $t > 0$.

$t + \frac{1}{t} - \frac{5}{2} \ge 0$

Умножим обе части на $2t$ (так как $t>0$, знак неравенства не меняется):

$2t^2 + 2 - 5t \ge 0$

$2t^2 - 5t + 2 \ge 0$

Найдем корни уравнения $2t^2 - 5t + 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

Корни: $t_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{4}$.

$t_1 = \frac{5-3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{5+3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Ветви параболы $y = 2t^2 - 5t + 2$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $t \le \frac{1}{2}$ или $t \ge 2$.

Оба интервала удовлетворяют условию $t>0$.

Возвращаемся к переменной $x$:

Случай 1: $t \le \frac{1}{2}$

$2^{2x+1} \le \frac{1}{2}$

$2^{2x+1} \le 2^{-1}$

Так как основание $2 > 1$, функция возрастающая:

$2x+1 \le -1 \implies 2x \le -2 \implies x \le -1$

Случай 2: $t \ge 2$

$2^{2x+1} \ge 2$

$2^{2x+1} \ge 2^1$

Так как основание $2 > 1$, функция возрастающая:

$2x+1 \ge 1 \implies 2x \ge 0 \implies x \ge 0$

Объединяя решения, получаем:

$x \in (-\infty, -1] \cup [0, +\infty)$

Ответ: $(-\infty, -1] \cup [0, +\infty)$

170. a) $x^2 \cdot 3^x - 3^{x+1} \le 0$;

б) 3,7 $\frac{x^2+2x-15}{x-4} > 1$;

В) $x^2 \cdot 5^x - 5^2+x < 0$;

Г) $2^{x+2} - 2^{x+3} - 2^{x+4} > 5^{x+1} - 5^{x+2}$

а) $x^2 \cdot 3^x - 3^{x+1} \le 0$

Преобразуем неравенство, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$x^2 \cdot 3^x - 3^x \cdot 3^1 \le 0$
Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:
$3^x(x^2 - 3) \le 0$
Так как показательная функция $3^x$ всегда строго положительна ($3^x > 0$ при любом $x$), мы можем разделить обе части неравенства на $3^x$, не меняя знака неравенства:
$x^2 - 3 \le 0$
$x^2 \le 3$
Это неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x \le \sqrt{3} \\ x \ge -\sqrt{3} \end{cases}$
Следовательно, решением является промежуток $[-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$.
Ответ: $x \in [-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$.

б) $3.7^{\frac{x^2+2x-15}{x-4}} > 1$

Представим число 1 в виде степени с основанием 3.7:
$1 = 3.7^0$
Получаем неравенство:
$3.7^{\frac{x^2+2x-15}{x-4}} > 3.7^0$
Так как основание степени $3.7 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$\frac{x^2+2x-15}{x-4} > 0$
Найдем корни числителя, решив уравнение $x^2+2x-15=0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 3$.
Найдем корень знаменателя: $x-4=0$, откуда $x=4$.
Разложим числитель на множители и перепишем неравенство:
$\frac{(x+5)(x-3)}{x-4} > 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси точки -5, 3 и 4. Точка $x=4$ выколота, так как знаменатель не может быть равен нулю. Точки -5 и 3 также выколоты, так как неравенство строгое.
Определим знаки выражения на интервалах:
- при $x > 4$: $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$ (подходит)
- при $3 < x < 4$: $\frac{(+)(+)}{(-)} < 0$ (не подходит)
- при $-5 < x < 3$: $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$ (подходит)
- при $x < -5$: $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$ (не подходит)
Объединяя подходящие интервалы, получаем решение.
Ответ: $x \in (-5, 3) \cup (4, \infty)$.

в) $x^2 \cdot 5^x - 5^{2+x} < 0$

Преобразуем второй член, используя свойство степеней:
$x^2 \cdot 5^x - 5^2 \cdot 5^x < 0$
$x^2 \cdot 5^x - 25 \cdot 5^x < 0$
Вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:
$5^x(x^2 - 25) < 0$
Так как $5^x > 0$ для любого действительного $x$, разделим обе части неравенства на $5^x$ без изменения знака:
$x^2 - 25 < 0$
$x^2 < 25$
Это неравенство эквивалентно $|x| < 5$, что означает:
$-5 < x < 5$
Ответ: $x \in (-5, 5)$.

г) $2^{x+2} - 2^{x+3} - 2^{x+4} > 5^{x+1} - 5^{x+2}$

Упростим левую и правую части неравенства, вынося за скобки степени с основанием $x$.
Левая часть:
$2^x \cdot 2^2 - 2^x \cdot 2^3 - 2^x \cdot 2^4 = 2^x(4 - 8 - 16) = 2^x(-20) = -20 \cdot 2^x$
Правая часть:
$5^x \cdot 5^1 - 5^x \cdot 5^2 = 5^x(5 - 25) = 5^x(-20) = -20 \cdot 5^x$
Подставим упрощенные выражения в исходное неравенство:
$-20 \cdot 2^x > -20 \cdot 5^x$
Разделим обе части на -20. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$2^x < 5^x$
Разделим обе части на $5^x$. Так как $5^x > 0$ при любом $x$, знак неравенства не изменится:
$\frac{2^x}{5^x} < 1$
$(\frac{2}{5})^x < 1$
Представим 1 как степень с основанием $\frac{2}{5}$:
$(\frac{2}{5})^x < (\frac{2}{5})^0$
Так как основание степени $\frac{2}{5}$ находится в интервале $(0, 1)$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$x > 0$
Ответ: $x \in (0, \infty)$.