Номер 161, страница 299 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 161, страница 299.

Условие.

161. а) $|\cos x - 1| \le 0,5;

б) $\sin x < \cos x;$

в) $|\sin 2x + \frac{1}{2}| \le \frac{1}{2};$

г) $\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x > 0.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Решим неравенство $|\cos x - 1| \le 0,5$.
Данное неравенство с модулем равносильно двойному неравенству:
$-0,5 \le \cos x - 1 \le 0,5$
Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$-0,5 + 1 \le \cos x \le 0,5 + 1$
$0,5 \le \cos x \le 1,5$
Поскольку область значений функции косинус $[-1; 1]$, то неравенство $\cos x \le 1,5$ выполняется для всех допустимых $x$. Таким образом, задача сводится к решению неравенства:
$\cos x \ge 0,5$ (с учетом, что $\cos x \le 1$ выполняется всегда).
На единичной окружности это соответствует дуге, где абсцисса (косинус) больше или равна 0,5.
Найдём граничные точки из уравнения $\cos x = 0,5$. Корни этого уравнения: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, решение неравенства на основном периоде находится в интервале $[-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}]$.
Общее решение:
$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим неравенство $\sin x < \cos x$.
Перенесем все члены в одну сторону:
$\sin x - \cos x < 0$
Применим метод вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$:
$\sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) < 0$
Заметим, что $\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos \frac{\pi}{4}$ и $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin \frac{\pi}{4}$. Подставим эти значения:
$\cos \frac{\pi}{4} \sin x - \sin \frac{\pi}{4} \cos x < 0$
Используем формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$:
$\sin(x - \frac{\pi}{4}) < 0$
Пусть $t = x - \frac{\pi}{4}$. Неравенство принимает вид $\sin t < 0$.
Синус отрицателен в III и IV четвертях, то есть когда аргумент находится в интервале $(-\pi; 0)$ с периодом $2\pi$:
$-\pi + 2\pi k < t < 0 + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Произведем обратную замену $t = x - \frac{\pi}{4}$:
$-\pi + 2\pi k < x - \frac{\pi}{4} < 2\pi k$
Прибавим $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям неравенства:
$-\pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \frac{\pi}{4} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

в) Решим неравенство $|\sin 2x + \frac{1}{2}| \le \frac{1}{2}$.
Это неравенство с модулем равносильно двойному неравенству:
$-\frac{1}{2} \le \sin 2x + \frac{1}{2} \le \frac{1}{2}$
Вычтем $\frac{1}{2}$ из всех частей неравенства:
$-\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \le \sin 2x \le \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$
$-1 \le \sin 2x \le 0$
Пусть $t = 2x$. Решим неравенство $-1 \le \sin t \le 0$.
Синус принимает значения от -1 до 0 в III и IV четвертях, включая границы. Это соответствует дуге от $\pi$ до $2\pi$.
$\pi + 2\pi k \le t \le 2\pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Выполним обратную замену $t = 2x$:
$\pi + 2\pi k \le 2x \le 2\pi + 2\pi k$
Разделим все части на 2:
$\frac{\pi}{2} + \pi k \le x \le \pi + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [\frac{\pi}{2} + \pi k; \pi + \pi k], k \in \mathbb{Z}$.

г) Решим неравенство $\tan x + \cot x > 0$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Тангенс не определён при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, котангенс не определён при $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Преобразуем левую часть неравенства:
$\tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x}$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, получаем:
$\frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{2\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}$
Неравенство принимает вид:
$\frac{2}{\sin 2x} > 0$
Поскольку числитель $2$ положителен, дробь будет положительной тогда и только тогда, когда знаменатель положителен:
$\sin 2x > 0$
Пусть $t = 2x$. Решим неравенство $\sin t > 0$.
Синус положителен в I и II четвертях, то есть когда аргумент находится в интервале $(0; \pi)$ с периодом $2\pi$:
$0 + 2\pi k < t < \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$2\pi k < t < \pi + 2\pi k$
Произведем обратную замену $t = 2x$:
$2\pi k < 2x < \pi + 2\pi k$
Разделим все части на 2:
$\pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Полученное решение удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x \in (\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.